Batuhan Özer 10 - H 292

Ders = Matematik Konu = Çarpanlara Ayırma Kaynak BAŞLIKLAR – 1- Tanım 2- Çarpanlara Ayırma Metodları 3- Polinomlarda E.B.O.B ve E.K.O.K 4- Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi 5- Rasyonel Denklemler Kaynak Güvender Yayınaları

TANIM… NOT = İndirgenemez Polinom = Sabit olmayan ve birden fazla Bir polinomun indirgenemeyen ya da asal polinomların çarpımı biçiminde yazılmasına bu polinomu Çarpanlara Ayırma denir. NOT = İndirgenemez Polinom = Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlardır Asal Polinom = Baş kat sayısı 1 olan indirgenemeyen polinomlardır.

ÇARPANALARA AYIRMA METODLARI 1 - Ortak Çarpan Parantezine Alma : Ortak çarpan parantezine almak için, her terimde ortak çarpanlar bulunmalıdır. Bu ortak çarpan parantezin önüne alınır. Parantezin içine ‘de verilen ifadenin parantezin önüne yazılmış ifadeye bölümü yazılır. Bu durumu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz … P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) = P(x) . ( Q(x) + R(x) ) P(x) .Q(x) – P(x) . R(x) = P(x) . ( Q(x) – R(x) )

ÖRNEKLER 2x + 2y ‘ yi çarpanlarına ayıralım… 2x + 2y = 2 . x + 2 . y a4 + a2 ‘ yi çarpanlarına ayıralım… a4 + a2 = a2 . a2 + 1 + a2 a2 . ( a2 + 1 )

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI 2 - Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma : Verilen ifadenin bütün terimlerinin ortak çarpanı bulunmayabilir. Bu durumda ikişer ikişer, üçer üçer …. gruplandırılır. Böylece, her grupta parantez içindeki ifadeler ortak duruma getirilir. Sonra ortak çarpan parantezine alınarak, verilen ifade çarpanlarına ayrılır.

ÖRNEK a5 + a4 + a3 + a2 İfadesini çarpanlarına ayıralım… a5 + a4 + a3 + a2 = ( a5 + a4 ) + ( a3 + a2 ) ( a4 . a + a4 . 1 ) + ( a2 . a1 + a2 . 1 ) a4 ( a + 1 ) + a2 ( a + 1 ) ( a + 1 ) ( a4 + a2 )

Uyarı = a – b = – ( b – a ) ( a – b )2 = ( b – a )2 ÖRNEK (a – c )( a – b )2 – ( b – a )2 ( c – a ) ifadesini çarpanlara ayıralım… (a – c ) ( a – b )2 – ( b – a )2 ( c – a ) = – ( c – a) ( b – a )2 – ( b – a )2 ( c – a ) = ( c – a) ( b – a )2 . ( – 1 – 1 ) = ( c – a ) ( b – a )2 . (- 2 ) = - 2( c – a ) ( b – a )2 2( a – c ) ( b – a )2

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI 3 – Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma İçindeki değişkenlere verilen her değer için doğru olan eşitliklere ÖZDEŞLİK denir. a – İki Kare Farkı…… x2 – y2 = ( x – y ) . ( x + y )

ÖRNEKLER a2 – 9 ifadesini çarpanlara ayıralım… a2 – 9 = a2 – 32 4 . x2 – 25 . y2 ifadesini çarpanlara ayıralım… 4 . x2 – 25 . y2 = ( 2x )2 – (5y)2 = ( 2x – 5y ) ( 2x + 5y )

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI b –İki Küp Farkı yada Toplamı x3 - y3 = (x – y ) ( x2 + xy + y2) x3 - y3 = (x – y )3 + 3xy . ( x – y ) x3 + y3 = (x + y ) ( x2 – xy + y2) x3 + y3 = (x –+y )3 – 3xy . ( x + y )

ÖRNEK x6 – y6 ifadesini çarpanlarına ayıralım… x6 – y6 = ( x3)2 – ( y3 )2 = ( x3 – y3 ) (x3 + y3 ) = ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) . ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )

ÖRNEK a + b = 5 a . b = 7 olduğuna göre, a3 + b3 ‘ ün değerini bulalım… a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab ( a + b ) 53 – 3 . 7 . 5 125 – 105 = 20

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI c – Tam Kare İfadeler ( a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a – b )2 = a2 - 2ab + b2 ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc )

ÖRNEK a – b + c = - 6 olduğuna göre a2 + b2 + c2 kaçtır ? ab – ac + bc = 5 ( a – b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( -ab + ac – bc ) ( - 6 )2 = a2 + b2 +c2 - 2 ( ab – ac + bc ) 36 = a2 + b2 +c2 – 2 . 5 36 = a2 + b2 +c2 – 10 46 = a2 + b2 +c2

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI d – Bir Terim Ekleyip Çıkarma Yoluyla Çarpanlara Ayırma … Verilen metodlarla çarpanlarına ayrılmayan ifadelere uygun terimler eklenip çıkarılarak, ifade bilinen özdeşliklere benzetilip çarpanlarına ayrılır.

ÖRNEK x8 – 3x4 + 1 ifadesini çarpanlarına ayıralım… x8 – 3x4 + 1 = x8 – 3x4 + 1 + x4 – x4 ( x8 – 3x4 + x4 + 1 ) – x4 ( ( x4 )2 – 2x4 + 12 ) – x4 ( x4 – 1 )2 – x4 ( x4 – 1 )2 – ( x2)2 = ( x – 1 – x ) ( x – 1 + x )

Not = Özdeşlik = n herhangi bir pozitif doğal sayı olmak üzere xn – yn = ( x – y ) ( xn -1 + xn -2y + xn – 3 y2 +…+ xyn – 2 + yn-1 Örnek … x5 – 32 ifadesini çarpanlarına ayıralım… x5 – 32 = x5 – 25 ( x – 2 ) ( x4 + x32 + x2 22 + x 23 + 24 ) ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 )

Not = Özdeşlik = n tek doğal sayım ise xn + yn = ( x + y ) ( xn -1 - xn -2y + xn – 3 y2 - …- xyn – 2 + yn-1 Örnek … x5 + 32 ifadesini çarpanlarına ayıralım… x5 + 32 = x5 + 25 ( x + 2 ) ( x4 - x32 + x2 22 - x 23 + 24 ) ( x + 2 ) ( x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16 )

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI e – ( x + y )n ifadesinin açılımı… ( x + y )n ifadesinin açılımında kat sayıları Pascal üçgeni denilen tablo ile bulunur. Pascal üçgeni oluşturulurken her satırın başına ve sonuna 1 yazılır. Bundan sonraki terimler bir önceki satırdaki iki terimin toplanarak terimlerin arasına yazılmasıyla oluşturulur.

Pascal Üçgeni

ÖRNEK ( x + 2 )2 ifadesinin açılımı ….. Önce verilen ifadeyi x’ in azalan kuvvetlerine göre dizelim… ( x + 2 )2 = ? . x2 + ? . x . 2 + ? . 22 ? ‘nin bulunduğu yere n = 2 olduğu için 1, 2, 1 gelir… ( x + 2 )2 = 1 . x2 + 2 . x . 2 + 1 . 22 = x2 – 4x + 4

ÖRNEK ( x + y )3 ifadesini çarpanlarına ayıralım… ( x + y )3 = ? . x3 + ? . x2 . y + ? . x1 . y2 + ? . y3 n = 3 olduğundan… ( x + y )3 = 1 . x3 + 3 . x2 . y + 3 . x1 . y2 + 1 . y3 = x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI 4 – ax2 + bx + c Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanlarına Ayrılması ax2 + bx + c ifadesinin reel sayılar kümesinde çarpanlarına ayrılabilmesi için, b2 – 4ac 0 olmalıdır. 1. Yöntem… A - x2 nin kat sayısı 1 ise, Kural b = m + n ve c = m . n olmak üzere, x2 + bx + c = ( x + m ) ( x + n )

ÖRNEK x2 + 13x + 12 ifadesini çarpanlarına ayıralım... Çarpımı 12, toplamı 13 olan iki sayı, 1 ile 12 dir. x2 + 13x + 12 = = x2 + ( 1 + 12 )x + ( 1 . 12) ( x + 1 ) ( x + 12 ) olur.

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI B – x2 nin kat sayısı 1 den farklı ise Kural a = m . p , c = n . q ve b = m . q + n . p olmak üzere … ax2 + bx + c = ( mx + n ) ( px + q )

ÖRNEK 6x2 + x – 2 ifadesini çarpanlarına ayıralım… 6x2 + x – 2 3x . ( -1 ) + 2x . 2 = x 6x2 + x – 2 = ( 3x + 2 ) ( 2x – 1 )

ÖRNEK 5a2 + 4a – 12 ifadesini çarpanlarına ayıralım… 5a2 + 4a – 12 5a . 2 + ( - 6 ) . a = 4a 5a2 + 4a – 12 = ( 5a – 6 ) ( a + 2 )

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI 2 . Yöntem Kural Çarpımı a . c yi, toplamı b yi veren iki sayı bulunur. Bu durumda… ax2 + bx + c = ax2 + ( p + r )x + c ax2 + px + rx + c olur.

ÖRNEK x2 + 7x + 12 ifadesini çarpanlara ayıralım … x2 + 7x + 12 ifadesinde a = 1 , b = 7 , c = 12 ve a . c = 12 dir. Çarpımı 12, toplamı 7 olan iki sayı 4 ile 3 tür. x2 + 7x + 12 = x2 + ( 4 + 3 )x + 12 x2 + 4 . x + 3 . x + 12 x . ( x + 4 ) + 3 . ( x + 4 ) ( x + 4 ) ( x + 3 )

POLİNOMLARDA E.K.O.K ve E.B.O.B Sıfırdan farklı olan ve sabit olmayan iki yada daha çok polinomun, her birine tam olarak bölünebilen en küçük dereceli polinoma, bu polinomun E.K.O.K’ u denir. Uyarı = En az iki polinomun e.k.o.k’ unu bulurken bu yollar izlenir. Verilen polinom çarpanlarına ayrılır Ortak olanların en büyük üslüleri ve ortak olamayanların çarpımı ile e.k.o.k bulunur.

POLİNOMLARDA E.K.O.K ve E.B.O.B Sıfırdan farklı olan ve sabit olmayan iki ya da daha çok polinomun, her birini tam olarak bölen en büyük dereceli polinoma, bu polinomların E.B.O.B’ u denir. Uyarı = En az iki polinomun e.b.o.b’ unu bulurken bu yollar izlenir. Verilen polinom çarpanlarına ayrılır Ortak bölenlerin en küçük üslüleri alınıp çarpılarak e.b.o.b’ u bulunur

ÖRNEK e.b.o.b { P(x) ; Q(x) } = 3x( x – 1 ) ( x + 4 ) e.k.o.k { P(x) ; Q(x) } = 3x2( x2 – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2 P(x) = ( x2 – 1 ) ( 3x2 + 12x) Olduğuna göre Q(x) i bulalım…

Çözüm… İki polinomun çarpımı, bu polinomların e.b.o.b’ u ile e.k.o.k’ una eşit olduğuna göre,P(x) ile Q(x) in e.b.o.b ile e.k.o.k unun çarpımı P(x) e bölünürse ,Q(x) bulunur. (e.b.o.b) . (e.k.o.k) = 3x( x – 1 ) ( x + 4 ) . 3x2( x2 – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2 P(x) = ( x2 – 1 ) ( 3x2 + 12x) = ( x2 – 1 ) 3x ( x + 4 ) olduğuna göre… Q(x) = 9x3 ( x – 1 ) ( x + 4 ) ( x2 – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2 ( x2 – 1 ) 3x ( x + 4 ) 9x3 ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2 3x 3x2 ( x – 1 ) ( x +3 ) ( x + 4 )2

RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ B(x) 0 olmak üzere, rasyonel ifadesinin payı ve paydası ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpanlar sadeleştirilir.

ÖRNEK x3 – 1 ifadesini sadeleştirelim… x2 + x + 1 x3 – 13

RASYONEL DENKLEMLER B(x) 0 olmak üzere , denklemine rasyonel denklem denir. ise ( P(x) = 0 ve B(x) 0 ) eşitliğini sağlayan x sayılarının her birine denklemin kökü, oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.