END 503 Doğrusal Programlama YAPAY DEĞİŞKEN KULLANIMI İ.Kara,2007

Büyük M Yöntemi Ax = b x ≥ 0 k.a. ENK x0=Cx Ax+xa = b x, xa ≥ 0 k.a. ENK x0=Cx+MΣxai P: P(M): İ.Kara,2007

BÜYÜK M YÖNTEMİ SONUCU P(M) Çözümü A B Eniyi Çözüm Var Sınırsız Xa=0 P nin Eniyi Çözümüne Erişilmiştir Xa≠0 P nin Uygun Çözüm Alanı Boştur Xa=0 P nin Sınırsız Çözümü Var Xa≠0 P Tutarsız İ.Kara,2007

A1: P(M)’nin Eniyi Çözümü (X,0) x0 = Cx + MΣxai, Enk x0 Cx ≤ Cx + MΣxai Xai = 0  Cx ≤ Cx  P’nin eniyi çözümü İ.Kara,2007

A2: P(M)’nin Eniyi Çözümü (x,xa),xa≠0 P’nin en az bir uygun çözümü olsun ve x# ile gösterilsin. (x#,0) P(M) uygun çözümü olur ki, (x,xa) eniyi çözüm olduğundan, Cx + Mxa ≤ C x# yazılır. İ.Kara,2007

A2: Devam x, xa ve x# ≥ 0 iken M>0 ve çok büyük olduğundan bu eşitsizlik mümkün değildir. O halde, P’nin bir uygun çözümü olamaz ki, P’nin uygun çözüm alanı boş demektir. İ.Kara,2007

B1: P(M) Sınırsız xa=0 P(M) sınırsız  Э d=(d1,d2) ≥ 0  Cd1 + Md2 < 0 M>0 ve çok büyük olduğundan, d2=0 demektir ki Cd1<0, d1 ≥ 0 elde edilir. P sınırsızdır. İ.Kara,2007

B2: xa≠0, xk temele girebilir, Yk≤0 Tüm yapay değişkenler için Σyij ≤0 dır. zj-Cj = Σciyij + M(Σyij) – Cj Enb{zj-cj} = zk-ck Simpleks tablosunun yapay değişkenlere karşı gelen ana blok satırları toplanırsa Σxi + Σxj(Σyij) = Σbi bulunur. İ.Kara,2007

B2: Devam P’nin en az bir uygun çözümü varsa, xi=0, xj≥0 olacağından, Σyij≤0 iken, Σbi≥0 olamaz. P tutarsız olup, uygun çözüm alanı boş demektir. İ.Kara,2007

ÖRNEK: Büyük M İ.Kara,2007

ÖRNEK Devam İ.Kara,2007

Örnek Devam İ.Kara,2007

İki Evreli Simpleks Algoritması Ax + Y = b x ≥ 0 Y ≥ 0 k.a. ENK(ENB) Y0=? P: İ.Kara,2007

1. Evre Ax + Y = b x ≥ 0, Y ≥ 0 k.a. ENB Y0=Σ-yi veya ENK Y0=Σyi Eniyi y0 = 0 Temelde yi yok. Temelde yi var ama sıfır değerini almış. Eniyi y0 ≠ 0  UÇA boş. DUR İ.Kara,2007

2. Evre (x0 satırı x0=Cx’e göre) Tüm yapay değişkenler temel dışı B-1 gerekiyorsa yi lere (0) katkı ver. SA uygula. B-1 gerekmiyorsa, yi lere karşı gelen sütunu çıkart SA uygula. Temelde sıfır değeriyle yapay değişken var SA’nı yapay değişkenler temele girmeyecek şekilde uygula. İ.Kara,2007

Temelde sıfır değeriyle yer alan yapay değişkenler var xk temele girecek değişken iken buna karşı gelen sütun yk olsun. xk STS zk-ck x0 y1k b1 y2k b2 yik 0 ymk bm yi + yik = 0 İ.Kara,2007

Bazı i’ler için yik<0. yik ≥ 0 tüm yapay değişkenler için enküçük oran testi  xk girer, karşı gelen yapay değişken çıkar. xk=0 ve x0=0 olur. Bazı i’ler için yik<0. xk ↑  yik<0 olduğundan yi ↑ (uygunluk bozulur) xk girer, yi çıkar, xk=0 ve x0=0 olur. İ.Kara,2007

Tek Yapay Değişken Tekniği Model Ax=b haline getirildiğinde, A’da I matris var fakat en az bir bi<0 ise başvurulan bir tekniktir. Modelin tüm kısıtlarına, xy≥0 bir yapay değişken iken, -xy’yi ekleyelim. İ.Kara,2007

TEK YAPAY DEĞİŞKEN TEKNİĞİ x0 XB XR xy ST 1 CBB-1b-CR CBB-1b I B-1R -1 . b1 bm İ.Kara,2007

TEK YAPAY DEĞİŞKEN ENK{bi}=br olsun (br<0) br‘a karşı gelen xr temelden çıkartılır, yerine xy temele alınırsa; İ.Kara,2007

TEK YAPAY DEĞİŞKEN A xi + yiyxy = bi xi – xy = bi xr – xy = br, xr=0  xy=-br>0 xi = bi + xy xi = bi – br ≥ 0 i (br<0 ve br≤0) olup, izleyen ardıştırma ile modele bir temle uygun çözüm bulunmuş olur. Bundan sonra, xy bir yapay değişken olarak işlemlere tabi tutulur (Büyük M veya İki Evreli Simpleks Algoritması). A İ.Kara,2007