SİMPLEKS YÖNTEM (Özel Durumlar)

ÖZEL DURUMLAR Simpleks yöntemi uygulanırken bazı durumlar ortaya çıkabilir. Bu özel durumlar; 1. Dejenerasyon 2. Alternatif optimum çözümler 3. Sınırlandırılmamış çözüm 4. Çözümün olmayışı

Dejenerasyon Simpleks yöntemi uygulanırken tabandan çıkacak değişkenin seçiminde minimum oran kuralında eşitlik olabilir. Birden fazla aynı minimum orana sahip değer varsa çıkan değişken, bu eşit oranlardan birinin rastgele seçilmesiyle belirlenir.

Dejenerasyon Problemde böyle bir durum gerçekleştiğinde bir sonraki iterasyonda bir ya da birden fazla taban değişken sıfır değerini alarak tabloda kalacaktır. Bu yeni çözüme dejenere çözüm adı verilmektedir. Modelin çözümünün bu şekilde çıkması çok önemli değildir. Kısıtlardan en az birinin fazla olduğu yorumu yapılabilir.

Dejenerasyon Maksimum Z = 3x1 + 9x2 Kısıtlar : x1 + 4x2 ≤ 8 (Örnek) Maksimum Z = 3x1 + 9x2 Kısıtlar : x1 + 4x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

Başlangıç Simpleks Tablosu Dejenerasyon (Örnek) Başlangıç Simpleks Tablosu A.K. cj Temel 3 x1 9 x2 0 s1 0 s2 Çözüm s1 1 4 8 s2 2   zj cj - zj 3 9 8/4= 2 4/2= 2 Oranlara bakarsak; 8 / 4 =2 ve 4 / 2 =2 çıkmaktadır. Dolayısıyla S1 ve S2’ nin her ikiside çıkan değişken olabilir. Burada rastgele bir seçim sözkonusu olacağı için S1’i çıkaralım ve iterasyona devam edelim.

1’inci İterasyon Tablosu Dejenerasyon (Örnek) 1’inci İterasyon Tablosu A.K. cj Temel 3 x1 9 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 9 x2 1/4 1 2 s2 1/2 - 1/2   zj cj - zj 9/4 3/4 - 9/4 18 8/ (1/4)= 32 0/ (1/2)= 0

2’nci İterasyon Tablosu Dejenerasyon (Örnek) 2’nci İterasyon Tablosu A.K. cj Temel 3 x1 9 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 9 x2 1 1/2 - 1/2 2 3 x1 - 1   zj cj - zj 3/2 - 3/2 18

Dejenerasyon (Örnek) Grafik Çözüm Optimum dejenere çözüm 2 x1 + 4x2 ≤ 8 Optimum dejenere çözüm 4 8 x1 + 2x2 ≤ 4

Alternatif optimum çözüm (Örnek) Maksimum Z = 2x1 + 4x2 Kısıtlar : x1 + 2x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

Alternatif optimum çözüm Başlangıç Simpleks Tablosu (Örnek) Başlangıç Simpleks Tablosu A.K. cj Temel 2 x1 4 x2 0 s1 0 s2 Çözüm s1 1 2 5 s2 4   zj cj - zj 5/2= 2,5 4/1= 4

Alternatif optimum çözüm 1’inci İterasyon Tablosu (Örnek) 1’inci İterasyon Tablosu A.K. cj Temel 2 x1 4 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 4 x2 1/2 1 5/2 s2 - 1/2 3/2   zj cj - zj 2 - 2 10 (5/2)/(1/2)= 5 (3/2)/(1/2)= 3 Birinci iterasyonda x1 = 0, x2 = 2.5 ve Z = 10 olmak üzere B noktasındaki optimum değeri göstermektedir. Alternatif optimum çözüm olup olmadığını anlamak için Cj - Z j satırındaki tabandışı kalan değişkenlerin katsayılarına bakılır. x1 tabandışı değişkeninin katsayısı sıfırdır. Bu Z’yi değiştirmeden bir başka optimum çözüme gidilebileceğini gösterir. İkinci iterasyonda x1 değişkeninin tabana girmesine izin verilirken S2 ‘nin çıkması istenir.

Alternatif optimum çözüm 2’nci İterasyon Tablosu (Örnek) 2’nci İterasyon Tablosu A.K. cj Temel 2 x1 4 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 4 x2 1 - 1 2 x1 3   zj cj - zj - 2 10 Yeni çözüm noktası C noktasıdır. Bu noktada x1=3, x2=1 ve Z=10 değerindedir. Amaç fonksiyonunun değeri değişmemiş ancak değişkenlerin değerleri değişmiştir. Alternatif optimum pratikte, amacın değerini değiştirmeden çözümler arasından seçim yapmayı sağlar.

Alternatif optimum çözüm (Örnek) Grafik Çözüm 4 5/2 Z = 2x1 + 4x2 B C (3,1) Optimum Çözümler 4 5 D A x1 + 2x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 4

Sınırlandırılmamış çözüm (Örnek) Maksimum Z = 2x1 + x2 Kısıtlar : x1 - x2 ≤ 10 2x1 ≤ 40 x1, x2 ≥ 0

Sınırlandırılmamış çözüm Başlangıç Simpleks Tablosu (Örnek) Başlangıç Simpleks Tablosu A.K. cj Temel 2 x1 1 x2 0 s1 0 s2 Çözüm s1 1 - 1 10 s2 2 40   zj cj - zj x1 ve x2 tabana girecek değişkenlerdir. x1, Cj - Z j satırında daha büyük katsayıya sahip olduğu için giren değişken olarak seçilir. Ancak x2’nin altındaki sütunda bulunan tüm katsayılar negatif veya sıfırdır. Bu x2’nin diğer kısıtları bozmadan sürekli artabileceğini gösterir. x2’deki bir birimlik artış Z’ yi de bir birim artıracaktır. x2’ deki artış sonsuz olduğundan Z deki artış da sonsuz olacaktır. Bu modelin sınırlandırılmış bir çözümü olmadığını söyleyebiliriz.

Sınırlandırılmamış çözüm Sınırlandırılmamışlığı belirlemek için tabloda şuna dikkat edilmelidir: Herhangi bir iterasyonda, herhangi bir tabandışı değişkenin kısıt katsayıları negatifse çözüm uzayı sınırsızdır. Ya da böyle bir değişkenin, amaç fonksiyonunun maksimumu aranırken kısıt katsayıları negatif, amaç fonksiyonunun minimumu aranırken kısıt katsayıları pozitifse amaç fonksiyonunun değeri sınırlandırılmamış demektir.

Sınırlandırılmamış çözüm Sınırlandırılmamış çözüm uzayı (Örnek) Grafik Çözüm X2 2x1 ≤ 40 Sınırlandırılmamış çözüm uzayı x1 - x2 ≤ 10 X1 10 20

Uygun çözümün olmaması (Örnek) Maksimum Z = 3x1 + 2x2 Kısıtlar : 2x1 + x2 ≤ 2 3x1 + 4x2 ≥ 12 x1, x2 ≥ 0

Uygun çözümün olmaması Başlangıç Simpleks Tablosu (Örnek) Başlangıç Simpleks Tablosu A.K. cj Temel 3 x1 2 x2 0 s1 0 V1 -M A1 Çözüm s1 2 1 3 4 - 1 12   zj cj - zj -3M 3+3M -4M 2+4M M -12M

Uygun çözümün olmaması 1’inci İterasyon Tablosu (Örnek) 1’inci İterasyon Tablosu A.K. cj Temel 3 x1 2 x2 0 s1 0 V1 -M A1 Çözüm 2 x2 1 -5 -4 - 1 4   zj cj - zj 4+5M -1-5M 2+4M -2-4M M 4-4M Cj - Z j satırında pozitif sayı kalmadığı için iterasyona son verilir. Ancak amaç fonksiyonu 4- 4M değerindedir. Optimum çözümde M’nin sıfırlanması gerektiğinden problemin uygun çözümü olmadığına karar verilir.

Uygun çözümün olmaması (Örnek) Grafik Çözüm X2 3 2 X1 1 4 3x1 + 4x2 ≥ 12 2x1 + x2 ≤ 2