The Solution of Linear Systems (Doğrusal Sistemlerin Çözümü, AX=B ) SAYISAL ÇÖZÜMLEME The Solution of Linear Systems (Doğrusal Sistemlerin Çözümü, AX=B ) Hazırlayan 098001116 M.Hanefi CALP

Triangular Systems and Back Substitution We will now develop the back-substitution algorithm, which is useful for solving a linear system of equations that has an upper-triangular matrix.

a. Upper-Triangular Matrix (Üst Üçgen Matris): An nxn matrix A= [ai,j] is called upper-triangular provided that the elements satisfy ai,j=0 whenever i>j.  If A is an upper-triangular matrix, then AX=B is said to be an upper-triangular system of linear equations.

(1)

(Üst Üçgen Matris) denir. Özetle; Matrisin köşegeni altındaki elemanları sıfıra eşitse, bu matrislere Upper-Triangular Matrix (Üst Üçgen Matris) denir. Örneğin, gibi.

Theorem (Back Substitution): Suppose that   AX=B  is an upper-triangular system with the form given above in (1).  If ai,i≠0 for i=1,2,….,n then there exists a unique solution.

The back substitution algorithm Back-substitution metoduyla AX=B üst üçgen sistemini çözmek için; tüm köşegen elemanları sıfırdan farklı ise ilk olarak,

    and then use the rule   for  

Or, use the "generalized rule" for

Konuyla Alakalı Alt Program Mathematica Subroutine (Back Substitution).

Pedagogical version for "printing all the details."

Example Use the back-substitution method to solve the upper-triangular linear system  

Solution Use the menu "Input" then submenu "Create Table/Matrix/Palette" to enter matrix A and vector B.

Sistemin çözümü; Sonra back-substitution gerçeklerştirelim.

Çözümü doğrulayalım.

b. Lower-Triangular Matrix (Alt Üçgen Matris): Tanım: An nxn matrix A= [ai,j] is called lower-triangular provided that the elements satisfy ai,j=0 whenever i<j.   If A is an lower-triangular matrix, then AX=B is said to be a lower-triangular system of linear equations.

(2)

Özetle; Matris köşegeni üstündeki elemanları sıfıra eşitse bunun gibi matrislere Lower-Triangular Matrix (alt üçgen matris) denir. Örneğin, gibi.

Theorem (Forward Substitution): Suppose that AX=B is an lower-triangular system with the form given above in (2).   If ai,i≠0 for i=1,2,….,n then there exists a unique solution.

The forward substitution algorithm Forward-substitution metoduyla AX=B alt üçgen sistemini çözmek için; tüm köşegen elemanları sıfırdan farklı ise ilk olarak, hesaplarız.

and then use the rule  

Konuyla Alakalı Alt Program Mathematica Subroutine (Forward Substitution)

Example Use the forward-substitution method to solve the lower-triangular linear system  

Solution Use the menu "Input" then submenu "Create Table/Matrix/Palette" to enter matrix A and vector B.

Sistemin çözümü; Sonra forward-substitution gerçekleştirelim.

Çözümü doğrulayalım; Does AX=B?

2. Gauss-Jordan Elimination and Pivoting Theorem (Unique Solutions): Assume that A is an nxn matrix.The following statements are equivalent.

Birim matris ise, köşegen üzerindeki elemanları 1 olan matrise denir. Not: Bu yöntem, Gauss Eliminasyon Yöntemiyle aynı esasa dayanmaktadır. Ancak Gauss Eliminasyon yönteminde katsayılar matrisi üst üçgen matris haline getiriliyordu. Bu yöntemde ise katsayılar matrisi birim matris haline getirerek çözüme gidiyoruz. Birim matris ise, köşegen üzerindeki elemanları 1 olan matrise denir.

Konuyla Alakalı Alt Programlar Mathematica Subroutine (Limited Gauss-Jordan Elimination)

Mathematica Subroutine (Complete Gauss-Jordan Elimination)

Mathematica Subroutine (Concise Gauss-Jordan Elimination)

Use the Gauss-Jordan elimination method to solve the linear system Example Use the Gauss-Jordan elimination method to solve the linear system  

Solution Use the menu "Input" then submenu "Create Table/Matrix/Palette" to enter matrices A and M and vector B.

Sistemin çözümü; .   İlk olarak arttırılmış matris;

Sonra Gauss-Jordan elimination gerçekleştirelim.

Çözümü doğrulayalım.

Pivoting (Yok etme) Gauss eliminasyonun uygulanması esnasında köşegen üzerinde sıfır değerli eleman bulunması problem olacaktır. Bu durumda sıfıra bölme söz konusu olacağından sonuca gidilemeyecektir. Bu problemi önlemek için pivot elemanın en büyük olacak şekilde eşitlikler arasında değişikliğe gidilir. Hem köşegen üzerindeki sıfır elemanlar varsa o giderilir hem de yuvarlatma hataları sıfıra/aza indirilmiş olur.

Ancak, çoğunlukla kısmi pivotlama kullanılır. Sadece pivot elemanın büyük yapılması durumuna veya sadece satırların(veya sütunların) yer değiştirmesi durumuna kısmi pivotlama, bütün satırlar dikkate alınarak büyük elemanlar seçilmesi durumuna veya hem satırların hem de sütunların kendi aralarında yer değiştirmeleri durumuna ise tam pivotlama denir. Ancak, çoğunlukla kısmi pivotlama kullanılır.

Example: Aşağıda verilen denklem sistemini Gauss eleminasyon yöntemi ile çözünüz?

Denklem sistemi dizey notasyonunda yazılırsa, Solution: Denklem sistemi dizey notasyonunda yazılırsa,

Dizeyin ve karşılık gelen vektörün birinci satırı a1,1’ e bölünür. Adım 1: Dizeyin ve karşılık gelen vektörün birinci satırı a1,1’ e bölünür.

Adım 2: İkinci satırın birinci elemanı, a2,1 dizeyin ve karşılık gelen vektörün birinci satır ile çarpılarak ikinci satırdan çıkartılır.

Adım 3: Üçüncü satırın birinci elemanı, a3,1 birinci satır ve karşılık gelen vektörün birinci satırı ile çarpılarak üçüncü satırdan çıkartılır.

Bu adım sonunda katsayı dizeyinin birinci sütunu sıfırlanmış olur. Bu aşamadan sonra a2,2 ikinci satıra ve karşılık gelen vektörün ikinci satırına bölünür.

Benzer şekilde a3,2 ikinci satır ve karşılık gelen vektörün ikinci satırı ile çarpılır ve üçüncü satırda çıkartılır.

Son olarak a3,3 üçüncü satır ve karşılık gelen vektörün üçüncü satırına bölünerek üst üçgen dizey elde edilmiş olur.

Bu aşamadan sonra son satırdan başlayarak bilinmeyenler tek tek yerine koymak suretiyle hesaplanır.

3. Tri-Diagonal (Üç-Köşegen) Matrisler Definition (Tridiagonal Matrix):  An  n×n  matrix A is called a tridiagonal matrix if  ai,j=0 whenever . Diagonal (Köşegen) Matrisler, sadece köşeleri üzerinde değer bulunan diğer elemanları sıfır (0) olan matrise denir. Üç-Köşegen Matris ise köşegen ve köşegenin alt ve üstündeki köşegen değerleri hariç, diğer elemanları sıfır (0) olan matrislerdir.

Tri-Diagonal Matris

Tridiagonal matris, köşegenlerinde ve köşegen elemanlarının sağ ve solunda (veya alt ve üstünde) birer tane eleman olan matris xx....... xxx...... ..xxx.... ....xxx.. ......xxx ..........xx….. şeklindeki matrislerdir.

If A is tridiagonal, then a tridiagonal system is

A tri-diagonal linear system can be written in the form

Konuyla Alakalı Alt Program Mathematica Subroutine (tri-diagonal linear system)

Example: 31x31’lik bir A matrisi olsun. iken AX=B lineer sistemini ondalık aritmetik kullanarak çözelim.

Solution The column form for B is:                                                              

The matrix A can be constructed with the command.

We can print out the system to be solved if we wish.

Solve the system Mathematica's built in LinearSolve[A,B] procedure.

4. The Matrix Inverse (TERS MATRİS) nxn’lik bir A kare matris varsayalım. Bu matrisin ek matrisinin o matrisin determinantına bölünmesi ile elde edilen matrise o matrisin ters matrisi denir. ile gösterilir.

Gauss yok etme yöntemiyle bir matrisin tersini bulmak için önce matris sağa genişlemiş matris olarak tanımlanır. Sağa genişleme, tersi bulunacak matrisin sağına eşit boyutlu bir birim matris eklemekle yapılır. Eğer a matrisi (nxn) boyutlu bir matrisse, bunun sağına yine aynı boyutta bir birim matris eklenerek [A|I] şeklinde (nx2n) boyutlu matris oluşturulacaktır.

Konuyla Alakalı Alt Program Mathematica Subroutine (Complete Gauss-Jordan Elimination)

Use Gauss-Jordan elimination to find the inverse of the matrix. Example Use Gauss-Jordan elimination to find the inverse of the matrix.  

Solution Enter the matrix A and the augmented matrix . Form the augmented matrix                

Get the inverse of  A  out of  this augmented(arttırılmış) matrix, and store it in the matrix  B.

5- LU Factorization (Lu Ayrıştırma) The nonsingular matrix A has an LU-factorization if it can be expressed as the product of a lower-triangular matrix L and an upper triangular matrix U: A=LU

Bir denklem takımının çözülmesi için Gauss-jordan yöntemine göre daha karmaşıkça görünen fakat daha verimli bir yöntem kısa adıyla LU ayrıştırma yöntemidir. Gerçekte LU ayrıştırma yöntemi, bir matrisin çarpanlara ayrılması esasına dayanır. Fakat matrisler, bu yöntemde rastgele veya keyfi çarpanlara değil, alt üçgen L ve üst üçgen U matrislerden oluşan çarpanlara ayrılacaktır.

M bilinmeyenli bir AX=B denklem takımını alalım M bilinmeyenli bir AX=B denklem takımını alalım. Katsayılar matrisi A, (MxM) boyutlu bir matristir ve bu matris; A=LU biçiminde yazılabilir. Eğer, L ve U matrisleri elde edilebilirse denklem takımı; LUx=b olarak yazılır. Bu denklem yeniden düzenlenerek;L(Ux)=Ly=b sonucu elde edilecektir. (Ux=y alınmıştır.)

Böylece işlem, eşitliğin sol tarafında Ux=y tanımının yapılmasıyla devam edecek, sonra da sol tarafta alt üçgen matrisin olması nedeniyle geriye doğru yerine koyma işlemi yapılarak çözüm elde edilecektir. Bu yöntemde bütün işlem, A=LU eşitliğini sağlayan L ve U matrislerinin bulunması üzerine kurulmuştur.

Şemalize edilmiş hali

Mathematica Subroutine (LandU)

Example Given   .    Find matrices L and U so that LU = A.  

Solution Use the LandU subroutine and construct matrices L and U so that LU = A.

Does  L.U = A ?  

6. Jacobi and Gauss-Seidel Iteration a. Jacobi: Consider that the n×n square matrix A is split into three parts, the main diagonal D, below diagonal L and above diagonal U.   We have  A = D - L - U.

Konuyla Alakalı Alt Programlar Mathematica Subroutine (Jacobi Iteration) 1

2

3

Use Jacobi iteration to solve the linear system Example Use Jacobi iteration to solve the linear system  

Enter the matrix A, vector B and starting vector P. Solution Enter the matrix A, vector B and starting vector P.

Determine if the method has converged.

Use 20 iterations.

Determine if the method has converged.

Use 30 iterations.

Determine if the method has converged.

b. Gauss-Seidel İterasyon Yöntemi: The solution to the linear system AX=B can be obtained starting with P0, and using iteration scheme.

Konuyla Alakalı Alt Programlar Mathematica Subroutine (Gauss-Seidel Iteration) 1

2

Use Gauss-Seidel iteration to solve the linear system Example Use Gauss-Seidel iteration to solve the linear system  

Enter the matrix A, vector B and starting vector P.

Use 10 iterations.

Use 20 iterations.

-- SON --