TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 3 : Limit ve Süreklilik Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Limit. Bir f fonksiyonu ile c ve L reel sayıları verilmiş olsun Limit. Bir f fonksiyonu ile c ve L reel sayıları verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. f fonksiyonu c’de tanımlı olsun veya olmasın bazen aşağıdaki soru önem kazanır: L: x değişkeni c ye gittikçe yaklaşan değerler alırken f(x) in aldığı değerler nasıl değişir? “x değişkeninin c ye gittikçe yaklaşan değerler alması” ifadesinden ne anlaşılması gerekir? 0.99995 1 1.00005 0.998 1.002 0.999 1.001 0.9995 1.0005 0.9999 1.0001 0.99999 1.00001 Şekilden görüldüğü üzere, aşağıdaki listede soldan sağa doğru gidildikçe listedeki sayıla-rın 1 e olan uzaklığı sıfıra yaklaşır: x |1-x| 0.998 0.002 1.002 0.002 0.999 0.001 1.001 0.001 0.9995 0.0005 1.0005 0.0005 0.9999 0.0001 0.99995 0.00005 1.00005 0.00005 0.99999 0.00001 1.00001 0.00001 1

x değişkeni bir c sayısına gittikçe yaklaşan değerler alıyorsa, x, c ye yaklaşıyor denir ve x c yazılır. x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin bir kısmı c den küçük bir kısmı c den büyük olabilir. Eğer x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin hepsi c den küçükse, o takdirde x, c ye soldan yaklaşıyor denir ve xc– yazılır. Eğer x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin hepsi c den büyükse, o takdirde x, c ye sağdan yaklaşıyor denir ve x c+ yazılır. Sayı ekseni üzerinde c den küçük olan sayıların c nin solunda, c den büyük olan sayıların ise c nin sağında yer alması neden bu isimlendirmelerin yapıldığını açıklar. x   c c   x x  c– x  c+

L: x değişkeni c ye gittikçe yaklaşan değerler alırken f(x) in aldığı değerler nasıl değişir? L1: x değişkeni c ye yaklaşırken f(x) de L ye yaklaşır. L2: x in c ye yeterince yakın her değeri için f(x) de L ye istenildiği kadar yakın olur. L3: x ile c arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşırsa, f(x) ile L arasındaki uzaklık da sıfıra yaklaşır.  L1, L2 ve L3 cümlelerinden herhangi birinin geçerli olması durumunda L sayısına x, c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve veya iken yazılır. x y (0,0) (x,f(x)) f(x) (c,L) L (x,f(x)) x c x

3 Örnek. veya x y (0,0) (x,f(x)) f(x) (c,L) L (x,f(x)) x c x x y (0,0) 2 Yukarıda verilen limit tanımı, matematiksel olarak ifade edilirse, “ -  tanımı” olarak da adlandırılan bir sonraki slaytta vereceği-miz tanım ortaya çıkar: 1/2 1

Tanımdaki koşul şöyle de ifade edilebilir: Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L  R verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, L sayısına x sayısı c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve veya iken yazılır. x y (0,0) Tanımdaki koşul şöyle de ifade edilebilir: Her  > 0 için L+ (x,f(x)) olduğunda f(x) (c,L) L olacak biçimde bir  >0 bulunabilmesi. L- c- c x c+ Bu durumu yandaki şekilden izleyelim.

Daha önce verdiğimiz limit örneği için “ -  tanımı” şöyle uygulanabilir: dır; çünkü,  > 0 verildiğinde tanımdaki koşulu sağlayan  >0 sayısı olarak  = /2 almak yeterli olur. Gerçekten Bu muhakemenin en son kısmını gözden geçirerek  > 0 verildiğinde tanımdaki koşulu sağlayan  >0 sayısının nasıl belirlendiğini anlamaya çalışınız. Bundan sonraki uygulama ve örneklerimizde “ -  tanımı” üzerinde çok durmaya-cağız.

2 x  1 için YOK! y Örnek. 2 (0,0) x 1 Eğer olan bir L sayısı yoksa, f fonksiyonunun x  c iken limiti yoktur denir. Örnek. YOK! y x (0,0) 1 1 -1

x y Örnek. YOK! (0,0) x y Örnek. YOK! (0,0)

veya x  c iken f(x)  L olup olmadığı araştırılırken x in c ye her iki taraftan da yakın değerleri, yani hem c den küçük hem de c den büyük değerleri için f(x) in L ye yakın olup olmadığı kontrol edilmektedir. x in c ye sadece bir taraftan yakın değerleri için de f (x) in L ye yakın olup olmadığı sorgulanabilir. Bu düşünce bizi tek yanlı limit kavramına götürür. Eğer x in c ye yakın fakat c den küçük her değeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti (the limit of f as x approaches c from the left) denir ve veya yazılır. x y (0,0) Bu durumu açıklayan şekli yandaki yeşil bölgeden izleyelim. (c,L) L (x,f(x)) x c

y x (0,0) Örnek. -1 1 1 -1 Örnek. x y (0,0) (5,0)

Eğer olan bir L sayısı yoksa, x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksi- yonunun limiti yoktur denir. x y Örnek. YOK! (0,0) x y Örnek. YOK! (0,0)

Soldan limit için de “ -  tanımı” verilebilir: Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L  ℝ verilmiş olsun. f nin c den küçük sayılar da kapsayan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa L sayısına x sayısı c ye soldan yaklaşır-ken f fonksiyonunun limiti denir ve veya yazılır. x y (0,0) Bu tanımı yandaki şekil üzerinde açıklayalım. L+ (c,L) L f(x) (x,f(x)) L- c- x c

Eğer x in c ye yakın fakat c den büyük her değeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti (the limit of f as x approaches c from the right) denir ve veya yazılır. x y (0,0) (x,f(x)) Örnek. 1 f(x) (c,L) L y x (0,0) c x 1 1 -1

y x (0,0) Örnek. 1 1 2 -1 Örnek. x y (0,0)

Eğer olan bir L sayısı yoksa, x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksi- yonunun limiti yoktur denir. x y Örnek. YOK! (0,0) x y Örnek. YOK! (0,0)

veya yazılır. Sağdan limit için de “ -  tanımı” verilebilir: Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L  ℝ verilmiş olsun. f nin c den küçük sayılar da kapsayan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa L sayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşır-ken f fonksiyonunun limiti denir ve veya yazılır. x y (0,0) Bu tanımı yandaki şekil üzerinde açıklayalım. L+ (x,f(x)) f(x) (c,L) L L- c x c+

İfade kolaylığı sağlamak için limitine f nin x = c’deki sol limiti, limitine de f nin x = c’deki sağ limiti denir. Limit Sol Limit Sağ Limit mevcut değildir.

y = f(x) Örnek. Öyle bir grafik ( y = f(x) ) çiziniz ki, olsun. y (1,3) y = f(x) (-1,2) (1,2) (0,1) (0,0) (2,0) (1,-2)

Limit ile ilgili bazı özellikler. f ve g fonksiyonlar; c , L , M  R ; olsun. Bu takdirde, Burada listelenen limit özellikleri x  c yerine x  c+ veya x  c - yazıldığı takdirde de geçerli-dir.

Örnek.

Süreklilik. Aşağıdaki fonksiyonlardan her birinin x = 2 civarında grafiğini gözden geçirelim: (0,0) y x (0,0) y x (0,0) 4 4 1 2 2 2 -1 2 x = 2’de sürekli x = 2’de sürekli değil x = 2’de sürekli değil Tanım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir:

Tanım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = c’de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c’de süreksiz fonksiyon denir. Yukarıda verilen örneklere ek olarak aşağıdaki şekilde gösterildiği biçimde süreksizlik örnekleri de vardır: x y (0,0) y = f(x) L c (c,L) f(c) (c,f(c)) Somut bir örnek: x y (0,0)

Tanım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = c’de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c’de süreksiz fonksiyon denir. Tanım. a, b  R, a < b olsun. Eğer a < c < b olan her c için f fonksiyonu x = c’de sürekli ise, f fonksiyonu (a , b) aralığında süreklidir denir. x y (-1,2) (1,3) (1,-2) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x) f nin sürekli olduğu aralıklar: (-,-1) , (-1,0) , (0,1) , (1, )

Bir aralık üzerinde sürekli olan fonksiyonların önemli bir özelliğini yansıtan aşağıdaki teorem aşikâr görünmekle birlikte ispatı göründüğü kadar kolay değildir. Teorem. f fonksiyonu (a , b) aralığında sürekli ve her x  (a , b) için f (x)  0 ise, ya her x  (a , b) için f(x) > 0 dır; ya da her x  (a , b) için f (x) < 0 dır. y x (0,0) y = f(x) a b Tanım. f nin süreksiz olduğu x sayıları ile f (x) = 0 olan x sayılarına f nin parçalanış sayıları (partition numbers) veya işaret sayıları denir. Parçalanış sayıları ve yukarıdaki teorem yardımıyla, hangi x sayıları için f(x) > 0 ve hangi x sayıları için f (x) < 0 olduğu kolayca belirlenir.

Örnek. p(x)=x–2 nin bir tek işaret sayısı vardır: x = 2. Bu fonksiyon, (–,2) aralığında negatif; (2,) aralığında pozitif değerler alır. Bu durumu işaret tablosu dediğimiz tablo ile şöyle göste-ririz: x -  2 x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + Örnek. p(x)=x2–1 in iki işaret sayısı vardır: x = -1 ve x = 1 . Bu fonksiyonun işaret tablosu şöyledir: x -  1 -1 x-1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + x+1 - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + x2-1 + + + + + - - - - - - - - + + + + + +

Örnek. denklemi ile verilen fonksiyonun işaret sayıları x = -1 , 1 ve 2 dir. f (x) > 0 ve f (x) < 0 olan bölgeler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: x -  2 1 -1 x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + x2 - 1 + + + + + + + + - - - - - - 0 + + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + - - - + + + + + Bu fonksiyonun grafiği sonraki slaytta gösterilmiştir.

x y -1 1 2

ise, f fonksiyonu x = c’de sağdan süreklidir denir. Tanım. Eğer ise, f fonksiyonu x = c’de soldan süreklidir denir. Eğer ise, f fonksiyonu x = c’de sağdan süreklidir denir. y x (0,0) Örnekler. y x (0,0) y x (0,0) x = 0’da sağdan sürekli -1 1 x = -1’de sağdan sürekli x = 1’ de soldan sürekli x = 0’da ne sağdan ne de soldan sürekli

veya yazılır. veya yazılır. Sonsuz Limitler ve Düşey Asimptotlar. f fonksiyonu bir c reel sayısını içine alan bir açık aralığın belki c hariç her noktasında tanımlı olsun. Eğer x , c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınırsız olarak artıyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonu-nun limiti sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. Benzer şekilde, eğer x , c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınır- sız olarak azalıyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) eksi sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. y x Yandaki şekillerin bu tanımlar için açıklayıcı olacağını düşünüyoruz. y x (0,0) c (0,0) c

veya yazılır. veya yazılır. Sonsuz limitlerin de “ -  tanımı” verilebilir. Tanım. Bir f fonksiyonu; c  R verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. Benzer şekilde, eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) eksi sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır.

Örnek. y x (0,0) 2 y x (0,0) 2

x , c ye soldan veya sağdan yaklaşırken f nin limitinin sonsuz veya eksi sonsuz olma-sı da yukarıdakilere benzer biçimde tanımlanabilir. Örneğin, x , c ye sağdan yaklaşır-ken f nin limitinin sonsuz olması ve x , c ye sağdan yaklaşırken f nin limitinin eksi sonsuz olması aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir. y x (0,0) y x (0,0) c c

Örnekler. y x (0,0) y x (0,0) 1

Eğer aşağıdaki durumlarından biri geçerli ise, x = c doğrusu f fonksiyonunun grafiğine düşey asimptot-tur veya f fonksiyonunun düşey asimptotudur denir. Yukarıdaki örneklerden, x = 1 doğrusunun nin grafiğine ve aynı zamanda in grafiğine düşey asimptot olduğu görülür. x = 2 doğrusu ve ün grafiğine düşey asimptottur. ün grafiğine bir düşey asimptot daha vardır: x = -2 , çünkü

veya yazılır. Sonsuzda Limitler. c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c , ) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x  için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak artarken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır. Eğer ise, x in büyük değerleri için fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir y x (0,0) y x (0,0) b b

Benzer biçimde, c herhangi bir reel sayı olmak üzere (-,c) aralığında tanımlı bir f fonk-siyonu için x sınırsız olarak azalırken, yani x - için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak azalırken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x eksi sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır. Eğer ise, x in küçük değerleri için fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir y x (0,0) y x (0,0) b b

veya yazılır. veya yazılır. Bütünlüğü korumak adına sonsuzda limitler için de “ -  tanımı” nı verelim. Tanım. Bir f fonksiyonu; b, c  ℝ verilmiş olsun. f nin (c , ) aralığında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır. Benzer biçimde, f nin (- , c) aralığında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer veri- len her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x eksi sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır.

olduğundan, x = 1 düşey asimptot. Örnekler. Eğer veya ise, y = b doğrusu f fonksiyonunun grafiğine yatay asimptottur denir. Örnek. in düşey ve yatay asimptotları: ve olduğundan, x = 1 düşey asimptot. ve olduğundan, y = 2 yatay asimptot.

veya yazılır. veya yazılır. ve Sonsuzda Sonsuz Limitler. c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c , ) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x   için f (x) de sınırsız olarak artıyorsa, x sonsuza ıraksarken f nin limiti sonsuzdur denir ve veya yazılır. Benzer şekilde, x sınırsız olarak artarken, yani x   için f (x) sınırsız olarak azalıyorsa, x sonsuza ıraksarken f nin limiti eksi sonsuzdur denir ve veya yazılır. Bu tanımlara ek olarak ve gösterimlerinin hangi anlamda kullanıldığının okuyucu tarafından kolayca anla-şılabileceğini kabul ediyoruz.

Örnekler. y x (0,0) y x (0,0) y x (0,0) y x (0,0)

Örnekler.