B AÇIORTAY: Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışına açıortay denir. A D C

A Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu noktada üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. O B C

A Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta (P) dan açının kenarlarına çizilen dik uzaklıklar birbirine eşittir. Yani IPAI = IPCI dir. (açıortay doğrusu simetri ekseni olduğundan) B P C IPAI = IPCI IBAI = IBCI ve m(APB) = m (PBC) A(BAP) = A(BPC) dir.

İÇ AÇIORTAY TEOREMİ A b c B m n N C IANI² = b.c – m.n

DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ A c b B N y C x ABC üçgeninde [AN], BAC nin dış açıortayı olmak üzere IACI INCI b x => bağıntısı vardır. = = c x+y IABI INBI IANI ise; IANI² = x(x+y) – b.c formülüyle bulunur.

ÖRNEK: A 3 D C B 8 ABC bir diküçgen [AB] [AC] [BD] iç açıortay IADI =3 cm IBCI = 8cm Verilenlere göre A(BDC) = ?

ÖRNEK: ABC bir diküçgen [AB] [AC] [CD] iç açı ortay IBCI = IACI + 2 IADI =4 cm IBDI = x Verilenlere göre x=? ┴ A 4 D x C B

ÖRNEK: A 10 8 B C N 9 ABC bir üçgen [AN] iç açıortay IABI = 8cm IBCI = 9cm IACI 10cm IANI = ?

ÖRNEK: A ABC bir diküçgen [AN] iç açı ortay IBNI = 2cm INCI = 3cm x Verilenlere göre IACI = ? B C 2 N 3

ÖRNEK: A 3 2 B N 4 C ABC üçgeninde [AN] dış açıortay IACI = 2 cm IABI = 3 cm IBCI = 4 cm Verilenlere göre IANI = ?

ÖRNEK: A x 4 B N C ABC bir üçgen [AN] dış açıortay A(ABC) = 9cm² A(ACN) = 12cm² IACI = 4cm IABI = ?

ÖRNEK: A ABC bir diküçgen [AD] iç açıortay m(ACB) = 45º IBDI = 2cm IDCI = ? B 45 x C 2 N

ÖRNEK: ABD bir üçgen [AC] iç açıortay IACI = IADI ICDI = 2 cm IBCI = 3 cm IABI = ? A x B 3 C 2 D

ÖRNEK: A ABC bir üçgen M(BAD) = B (DAC) = 15º IABI = 10 cm IACI = 15 cm A(ABD) = ? 15º 15º 10 15 B D C

ÖRNEK: ABC bir üçgen [AD] dış açıortay [AC] [BD] IBCI = 9 cm IABI = 15 cm ICDI = ? A ┴ 15 B 9 C x D

ÇÖZÜM: A 3 D [BD, açıortay olduğundan D noktasından çizilen dik uzaklıklar eşittir. 3 H C B 8 Yani IADI = IDHI = 3cm olur. Dolayısıyla A(DBC) = 8x3 / 2 = 12cm²

ÇÖZÜM: A 4 a D x B 2 H a C [CD açıortay olduğundan D noktasından [BC] ye çizilen dikme [Ad] ye eşit olur. IDHI = IADI = 4cm olur. Açıortay doğrusu simetrik olduğundan IACI = IHCI = a dersek, IBCI = a+ 2 olacağından IBHI = 2cm olur. DBH diküçgeninde pisagor bağıntısından x² = 4² + 2² , x = 2√5

ÇÖZÜM: ABC üçgeninde INCI = x dersek IBNI = 9-x olur. A 10 8 8 10 = 9-x x Buradan x = 5cm bulunur. B 9-x x C N İç açıortay teoreminden; IANI² = 8.10 – 4.5 IANI² = 60 IANI = 2√15

ÇÖZÜM: A İç açıortay teoreminden IABI 2 olduğundan = IACI 3 x = 3a a IABI = 2a IACI = 3a dersek B C 2 N 3 ABC üçgeninde pisagor bağıntısından IACI² = IABI² + IBCI² (3a)² = (2a)² + 5² Buradan a = √5 O halde IACI = 3a = 3√5

ÇÖZÜM: A 3 2 B N 4 C x IACI INCI 2 x = = => => x = 8cm bulunur IABI INBI 3 x+4 Dış açıortay ise IANI² = x(x+4) – 2.3 IANI² = 90 IANI = 3√10

ÇÖZÜM: A x 4 Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir. 9 12 B N C A(ABC) IBCI 9 3 = = = IBCI = 3a, ICNI = 4a dersek IBNI=7a A(ACN) ICNI 12 4 IACI INCI 4 4a = => = => x = 7cm IABI INBI x 7a

ÇÖZÜM: A [AD] iç açıortay olduğundan D noktasından [AC] ye çizilen dikme [BD] ye eşit olur. IBDI = IDHI = 2cm H B 45 45 DHC üçgeni ikizkenar diküçgen olduğundan x = 2√2 cm bulunur. x C 2 N

ÇÖZÜM: A ABC üçgeninde [AC] iç açıortay olduğundan 3a = x 2a 2a IABI 3 = dir. IADI 2 B 3 C 2 D IABI = 3a, IADI = 2a dersek IACI = IADI = 2a olur. İç açıortay formülünden; (2a)² = 3a.2a – 3.2 4a² = 6a² - 6 => 2a² = 6 a = √3 olur. IABI = 3a = 3√3 bulunur.

ÇÖZÜM: A [AD] iç açıortay olduğundan IABI IBDI 10 2 15º 15º = = = IACI IDCI 15 3 10 15 IBDI = 2a, IDCI = 3a dersek A(ABD) = 2S, A(ADC) = 3S, A(ABC) = 5S olur. B D C 1 1 A(ABC) = .10.15.sin30 => 5S = 10.15.0,5 2 2 75 15 5S = cm² => S = cm² 2 2 15 A(ABD) = 2S = 2. = 15 cm² 2

ÇÖZÜM: A ABC diküçgeninde pisagor bağıntasından IACI² + IBCI² = IABI² IACI² + 9² = 15² IACI² = 144 IACI = 12 cm bulunur. 15 B 9 C x D Dış açıortay teoreminden; IACI IDCI 12 x = = = => x = 36 cm bulunur. IABI IDBI 15 x + 9