Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 7 : Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar L’Hospital Kuralı Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

{x  ℝ : g(x) ve f(g(x)) tanımlı}. Bileşke Fonksiyonları(Composite Functions). f , g ve B fonksiyonları için B(x) = f(g(x)) ise, B fonksiyonuna f ve g nin bileşke fonksiyonu denir. f ve g nin bileşkesi olan B nin tanım kümesi, g nin tanım kümesinde olan ve g(x) değeri de f nin tanım kümesinde olan tüm x sayılarıdır: {x  ℝ : g(x) ve f(g(x)) tanımlı}. Örnek. f (x) = x10 , g(x) = (3x + 5 ) için B(x) = (3x + 5 )10. B fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi ℝ dir. Örnek. f (x) = ln x , g(x) = 3x + 2 için B(x) = ln (3x+2) dir. B fonksiyonunun tanım kümesi 3x+2 > 0 olan tüm x sayılarının kümesi, yani (-2/3 ,  ) dur. Örnek. için

y ´ = B´(x) = f ´(g(x)) · g´(x) Zincir Kuralı(Chain Rule). y = f (u) ve u = g(x) ise, y = B(x) = f(g(x)) bileşke fonksiyonunun türevi ( f ´(g(x)) ve g´(x) var olmak koşuluyla) y ´ = B´(x) = f ´(g(x)) · g´(x) dir. Diğer gösterimle Örnek. B(x) = (3x + 5 )10. B´ (x) = ? Burada f(u) = u10 , g(x) = (3x + 5 ) . B(x) = f(g(x)) = (3x + 5 )10 . Böylece, B´ (x) = f ´(g(x)) · g´(x) = 10·(3x+5)9·3 = 30·(3x+5)9 Örnek. Burada, Böylece,

Örnek. Örnek.

Türev hesabına birkaç örnek daha verelim:

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri. Doğal Logaritma fonksiyonunun türevi ile başlayalım.

Şimdi, üstel fonksiyonun türevini zincir kuralı yardımıyla bulabiliriz: olduğunu kullanalım. alınırsa Zincir kuralı ile birleştirilirse Örnek. u

Örnek. u Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek.

Örnek. Herhangi bir tabanda üstel veya logaritmik fonksiyonun türevi taban değişimi for-mülleri, doğal üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi ve zincir kuralı yardımıyla bulunur.

Herhangi bir tabanda üstel veya logaritmik fonksiyonun türevi ile ilgili formüller zincir kuralı ile birleştirilince aşağıdaki formüller elde edilir: Örnekler.

Örnek. Bir istatistikçi yaşadığı kentte yapılan nüfus sayımı verilerini kullanarak t yı- lında internet abonesi olan vatandaşların sayısı S(t) ile gösterilmek üzere modelini oluşturuyor. Burada, 2000 yılında t = 0 kabul ediliyor. Bu modele göre, o kentte 2015 yılında kaç adet internet abonesi bulunacağını tahmin ediniz. Ayrıca 2015 yılında internet abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranını bulunuz. Çözüm. 2015 yılında t = 15 olacaktır. Dolayısıyla, 2015 yılında internet abonesi sayısı olarak tahmin edilir. t yılında internet abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranı dir. Dolayısıyla, 2015 yılında internet abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranı olur.

Örnek. İyi kalite Kayseri pastırması satan bir süpermarket, kilogramı p TL den x kilogram pastırma satması durumunda fiyat talep denkleminin olacağını tespit ediyor. Talep 800 kg olduğu anda fiyatın talebe göre değişim oranını bulunuz. Çözüm. Fiyatın talebe göre değişim oranı dur. Dolayısıyla, talep 800 kg olunca, olur. Talep 800 kg olunca, fiyat kilogram başına 0.016 TL düşüyor.

Ortalama Değerler ve Marjinal Ortalama Değerler Ortalama Değerler ve Marjinal Ortalama Değerler. Bir işletmede x adet ürün üretmek için toplam gider M(x) ise, bir ürün üretmek için ortalama gider olarak tanımlanır. Burada, ortalama gider ile marjinal gideri bir arada düşünmekte yarar vardır. x ürün üretmek için toplam gider M(x) ise, marjinal gider M'(x) , bir sonraki ürünün yaklaşık maliyetini, ise üretilen üründe ürün başına ortalama gideri verir. Dolayısıyla, M'(x) ileriye doğru bakarak bir sonraki ürün için yapılacak gideri tahmin etme olanağı verirken geriye doğru bakılarak o ana kadar yapılan üretimde ürün başına ortalama gideri verir. Eğer ise, bir sonraki ürünü üretmek ortalama gideri düşürür. Eğer ise, bir sonraki ürünü üretmek ortalama gideri yükseltir. Ortalama gider minimum ise, olur. Marjinal ortalama gider fonksiyonu olarak tanımlanır.

Günde 10 ürün üretilince ürün başına ortalama gider. a) i bulunuz. Örnek. Bir tür üründen günde x adet üreten bir firmanın günlük toplam gideri TL olarak veriliyor. Günde 10 ürün üretilince ürün başına ortalama gider. a) i bulunuz. Bu gider parça başına 9.9 TL azalmaktadır.. b) u bulunuz ve yorumlayınız. c) 11 inci ürünü üretmek ortalama gideri düşürür mü, yoksa yükseltir mi? Önceki şıkta bulduğunuz değerleri kullanarak günde 11 ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama gideri yaklaşık olarak belirleyiniz. ç) Ortalama giderin minimum olduğu üretim seviyesini belirleyiniz. Çözüm. a) b) c) negatif olduğundan 11 inci ürünün üretilmesi, ortalama gideri düşürür. Bu sonuca, olduğu gözlemlenerek de ulaşılabilir. 11 ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama giderin yaklaşık değeri : ç) 100 ürün üretilince ortalama gider minimum olur. Minimum ortalama gider: TL.

Örnek. Ahşap kapı üreten bir şirketin günde x adet kapı üretmesi durumunda günlük toplam gideri TL olarak veriliyor. Günde 10 kapı üretilince ürün başına ortalama gider. a) i bulunuz. Bu gider parça başına 1.35 TL azalmaktadır.. b) u bulunuz ve yorumlayınız. c) 11’inci kapıyı üretmek ortalama gideri düşürür mü, yoksa yükseltir mi? Önceki şıkta bulduğunuz değerleri kullanarak günde 11 ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama gideri yaklaşık olarak belirleyiniz. ç) Ortalama giderin minimum olduğu üretim seviyesini belirleyiniz. Çözüm. a) b) c) negatif olduğundan 11’ inci ürünün üretilmesi, ortalama gideri düşürür. Bu sonuca, olduğu gözlemlenerek de ulaşılabilir. 11 ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama giderin yaklaşık değeri : ç) olduğundan 148 < e5 < 149 ve minimum ortalama gider 148 kapı üretilince yaklaşık 350 TL olarak gerçekleşir.

Ortalama gelir, ortalama kâr, marjinal ortalama gelir ve marjinal ortalama kâr da benzer biçimde tanımlanır. Ortalama gelir : Marjinal ortalama gelir : Ortalama kâr : Marjinal ortalama kâr :

Örnek. Yeni üretilen bir üründen x adet üretilip piyasaya sürülmesi durumunda uygun fiyat p(x)=14-0.001x ve toplam gider fonksiyonu M(x)=18000+4x TL olarak veriliyor. a) Gelir ve kâr fonksiyonlarını bulunuz. b) 3000 ürün üretilmesi durumunda marjinal kâr, ortalama kâr ve marjinal ortalama kârı bulunuz. Çözüm. a) Gelir fonksiyonu kâr fonksiyonu, TL olarak bulunur. b) Marjinal kâr fonksiyonu ortalama kâr fonksiyonu, ve marjinal ortalama kâr fonksiyonu dir. Dolayısıyla, 3000 ürün seviyesinde marjinal kâr ortalama kâr marjinal ortalama kâr ise TL olarak bulunur.

L’Hospital Kuralı. Limit hesaplarken belirsiz haller dediğimiz durumları ile karşılaşılınca kullanılan yöntemdir. Belirsiz hallerden ilk ikisi ile gibi bir kesrin limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Eğer ve ise, kesri için belirsiz halindedir denir. Benzer şekilde, eğer ve ise, kesri için belirsiz halin- dedir denir. Teorem. f ve g türevli ( differentiable ) fonksiyonlar, kesri için veya belirsiz halinde ise ve mevcut ise dir. L’Hospital Kuralının ifadesinde yerine veya dan herhangi biri alınsa da kural geçerlidir.

Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek.

 belirsiz hali ile f(x) 0 .  belirsiz hali ile f(x) . g(x) gibi bir çarpımın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Eğer ve ise, bu takdirde, veya yazılarak 0 .  belirsiz hali, belirsiz haline veya belirsiz haline dönüştürülerek L’Hospital Kuralı uygulanır. Örnek.  -  belirsiz hali ile f(x) - g(x) gibi bir farkın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Bu durumda da verilen ifade veya belirsiz hallerinden birine dönüştürüle- rek sonuca gidilir. Örnek.

Bazen bir limit hesaplanırken L’Hospital Kuralının art arda uygulanması gerekebilir. Örnek. Örnek. Bir kesrin limitinin hesabında L’Hospital Kuralı uygulanırken kesrin belirsiz halde olduğundan emin olunmalıdır. Belirsiz halde olmayan bir kesir için L’Hospital kuralının uygulanması çoğu zaman yanlış sonuçlara götürür. Örnek.