PRİMAL-DUAL SİMPLEKS ÖRNEK

Primal Problem Bir marangoz işletmesinde masa ve sandalye üretilmektedir. Bir masa yapımı için 30 metre tahta ve 5 saat işgücüne ihtiyaç vardır. Bir sandalye yapımı için de 20 metre tahta ve 10 saat işgücü kullanılmaktadır. Bir masanın satışından 6 TL, bir sandalyenin satışından 8 TL kâr elde edilmektedir.

Primal Çözüm Maksimum Z = 6x1 + 8x2 Kısıtlar : 30x1 + 20x2 ≤ 300 (tahta kısıtı) 5x1 + 10x2 ≤ 110 (işgücü kısıtı) x1, x2 ≥ 0 x1 : Masa miktarı x2 : Sandalye miktarı

Primal Çözüm Kısıtlar : 30x1 + 20x2 + 0s1 = 300 5x1 + 10x2 + 0s2 = 110 x1, x2, s1, s2 ≥ 0 Amaç Fonk.: Maksimum Z = 6x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2

Başlangıç Simpleks Tablosu Primal Çözüm Başlangıç Simpleks Tablosu A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm s1 30 20 1 300 s2 5 10 110   zj cj - zj 6 8 300/20= 15 110/10= 11

Birinci Simpleks Çözüm Tablosu Primal Çözüm Birinci Simpleks Çözüm Tablosu A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm s1 20 1 -2 80 8 x2 1/2 1/10 11   zj cj - zj 4 2 8/10 -8/10 88 80/20= 4 11/(1/2)= 22

İkinci Simpleks Çözüm Tablosu (Optimum) Primal Çözüm İkinci Simpleks Çözüm Tablosu (Optimum) A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 6 x1 1 1/20 -1/10 4 8 x2 -1/40 3/20 9   zj cj - zj 1/10 3/5 -3/5 96 Yorum : Marangoz x1= 4 birim masa ve x2= 9 birim sandalye üretirse maksimum kârı Zmax = 96 TL olacaktır.

Dual Çözüm Minimum Z = 300y1 + 110y2 Kısıtlar : 30y1 + 5y2 ≥ 6 (masa kısıtlayıcısı) 20y1 + 10y2 ≥ 8 (sandalye kısıt.) y1, y2 ≥ 0 y1 : 1 metre tahtanın maliyeti y2 : 1 saat işgücünün maliyeti

Dual Çözüm Kısıtlar : 30y1 + 5y2 – v1 + A1 = 6 y1, y2, v1, v2, A1, A2 ≥ 0 Amaç Fonk.: Min Z = 300y1 + 110y2 + 0v1 + 0v2 + MA1 + MA2

Başlangıç Dual Simpleks Tablosu Dual Çözüm Başlangıç Dual Simpleks Tablosu A.K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 30 5 -1 1 6 20 10 8   zj cj - zj 50M 300-50M 15M 110-15M -M 14M 6/30= 1/5 8/20= 2/5

Birinci Dual Simpleks Tablosu Dual Çözüm Birinci Dual Simpleks Tablosu A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 1/6 -1/30 1/30 1/5 20/3 2/3 -1 -2/3 4   zj cj - zj 50+20M/3 60-20M/3 -10+2/3M 10-2/3M -M 5/3M-10 60+4M (1/5) / (1/6)= 6/5 4/ (20/3) = 3/5

İkinci Dual Simpleks Tablosu (Optimum) Dual Çözüm İkinci Dual Simpleks Tablosu (Optimum) A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 -1/20 1/40 1/20 -1/40 1/10 110 y2 -3/20 -1/10 3/20 3/5   zj cj - zj -4 4 -9 9 M-4 M-9 96 Yorum : Bir metre tahtanın maliyeti y1= 0,1 TL ve bir saat işgücünün maliyeti y2= 0,6 TL’dir. Masa ve sandalye üretimi için kullanılan tahta ve işgücüne ödenen minimum maliyet Zmin = 96 TL’dir.

Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 6 x1 1 1/20 -1/10 4 8 x2 -1/40 3/20 9   zj cj - zj 1/10 3/5 -3/5 96 A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 -1/20 1/40 1/20 -1/40 1/10 110 y2 -3/20 -1/10 3/20 3/5   zj cj - zj -4 4 -9 9 M-4 M-9 96

Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 6 x1 1 1/20 -1/10 4 8 x2 -1/40 3/20 9   zj cj - zj 1/10 3/5 -3/5 96 s1 s2 -1/10 -3/5 A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 -1/20 1/40 1/20 -1/40 1/10 110 y2 -3/20 -1/10 3/20 3/5   zj cj - zj -4 4 -9 9 M-4 M-9 96 y1 1/10 y2 3/5

Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 6 x1 1 1/20 -1/10 4 8 x2 -1/40 3/20 9   zj cj - zj 1/10 3/5 -3/5 96 x1 x2 A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 -1/20 1/40 1/20 -1/40 1/10 110 y2 -3/20 -1/10 3/20 3/5   zj cj - zj -4 4 -9 9 M-4 M-9 96 v1 v2

Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 6 x1 1 1/20 -1/10 4 8 x2 -1/40 3/20 9   zj cj - zj 1/10 3/5 -3/5 96 s1 s2 A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 -1/20 1/40 1/20 -1/40 1/10 110 y2 -3/20 -1/10 3/20 3/5   zj cj - zj -4 4 -9 9 M-4 M-9 96 y1 y2

Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma A.K. cj Temel 6 x1 8 x2 0 s1 0 s2 Çözüm 6 x1 1 1/20 -1/10 4 8 x2 -1/40 3/20 9   zj cj - zj 1/10 3/5 -3/5 96 x1 4 x2 9 A. K. cj Temel 300 y1 110 y2 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 300 y1 1 -1/20 1/40 1/20 -1/40 1/10 110 y2 -3/20 -1/10 3/20 3/5   zj cj - zj -4 4 -9 9 M-4 M-9 96 v1 v2 A1 A2 4 9 M-4 M-9

Primal’den Dual’e Fen Motor Şti. gömlek ve piston üretmektedir. Bir gömlek yapımı için 1 saat torne işine, 1 kg.da çeliğe ihtiyaç vardır. Bir piston üretimi için de 1,5 saat torna zamanı, 0,5 saat kaplama, 1 kg.da çelik kullanılmaktadır. Şirketin haftalık elverişli kaynakları ise; 750 saat torna, 200 saat kaplama kapasitesi ile 600 kg. çeliktir. Bir gömlek satımından şirketin kârı 3 TL, bir piston satımından ise 4 TL’dir.

Primal Çözüm Maksimum Z = 3x1 + 4x2 Kısıtlar : x1 + 1,5x2 ≤ 750 (torna kısıtı) 0,5x2 ≤ 200 (kaplama kısıtı) x1 + x2 ≤ 600 (çelik kısıtı) x1, x2 ≥ 0 x1 : Haftada üretilecek gömlek miktarı x2 : Haftada üretilecek piston miktarı

Dual Çözüm Minimum Z = 750y1 + 200y2 + 600y3 Kısıtlar : y1 + y3 ≥ 3 (gömlek kısıtlayıcısı) 1,5y1 + 0,5y2 + y3 ≥ 4 (piston kısıt.) y1, y2, y3 ≥ 0 y1 : 1 saat torna maliyeti y2 : 1 saat kaplama maliyeti y3 : 1 kg. çelik maliyeti

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm   zj cj - zj

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm   zj cj - zj 2100

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 750 y1 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 750 y1 2   zj cj - zj 2100

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 750 y1 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 750 y1 2 1   zj cj - zj 2100

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 750 y1 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 750 y1 2 1   zj cj - zj -300 300 M-300 2100

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 750 y1 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 750 y1 2 1   zj cj - zj 150 50 -300 300 M-300 2100

Primal’den Dual’e 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50 zj cj - zj 2100 750 y1 A.K. cj Temel 3 x1 4 x2 s1 0 s2 0 s3 Çözüm 3 x1 1 -2 300 4 x2 2 s2 -1 50   zj cj - zj 2100 A. K. cj Temel 750 y1 200 y2 600 y3 0 v1 v2 M A1 A2 Çözüm 750 y1 1 2 -2 -1 -3 3   zj cj - zj 150 50 -300 300 M-300 2100