TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 2 : Fonksiyonlar Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Fonksiyonlar. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler veya büyüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böyle bir eşleme kurulması, çözümleme yapma ve tahmin yürütme olanağı verir. Örneğin, bir maliyet analizcisi, üretim sürecinde çeşitli seviyelerdeki ürünlerin maliyetini tahmin etmek ister; bir tıp araştırmacısı, şişmanlıkla kalp rahatsızlıkları arasındaki ilişkiyi ; bir ziraatçı, aynı topraktan değişik tür buğday tohumlarının ne kadar verim verdiğini tahmin etmek ister. Bu örneklerde yapılan eşlemeler, sırasıyla, üretim seviyesi  maliyet, şişmanlık  kalp rahatsızlığı, buğday türü  verim biçiminde gösterilebilir. Fonksiyon denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük hayatımızda pek çok eşleme örneğiyle karşılaşırız. Bunlardan bazılarını ifade edelim: Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deyimle, her öğrenci bir sayı ile eşlenir. Burcu Işık  205 93 045 Ali Demir  20694 005

Mustafa Kemal Atatürk  1881 Her insanın doğum yılı da o insan ile eşlenen bir sayı olarak düşünülebilir. Mustafa Kemal Atatürk  1881 Cahit Arf  1910 Bir marketteki her malın bir fiyatı vardır. Makarna  76 Kr. Sabun  89 Kr. Her sayının “iki katı” vardır. 1  2 2  4 3  6 x  2x

1  1 2  4 3  9 x  x2 Her sayının bir “kare”si vardır. 1  1 2  4 3  9 x  x2 Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleyen bir kural vardır. Son örneğimiz, sayılar kümesinin her elemanını yine sayılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksiyon kavramı-nın tanımına götürür: Tanım. İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesi-nin bir ve yalnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B ye bir fonksiyon denir. A kümesine bu fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir.

f : A  B f : A  B a b=f(a) x y=f(x) A B A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu f : A  B ile gösterilir. f nin a  A ile eşlediği eleman b  B ise, b = f(a) yazılır ve b = f(a) ya a nın f altındaki görüntüsü veya f nin a daki değeri denir. f nin tüm görüntülerinin kümesine, yani {f(a) : a A } kümesine f nin görüntü kümesi denir. f : A  B fonksiyonunun tanım kümesinin her hangi bir alt kümesi KA için f(K) = {f(x) : xK}  kümesine K nın f altındaki görüntüsü denir. Böylece, f nin görüntü kümesi, f(A) dır. Fonksiyonlar çizelgelerle de gösterilebilir: a b=f(a) x y=f(x) A f : A  B B

Tanıma göre A dan B ye f fonksiyonunun A nın her a elemanına B den bir ve yalnız bir, yani tek türlü belirli bir eleman karşılık getirmesi gerektiğini unutmamak gerekir. Bu bağlamda, A B 1 a 2 b 3 c çizelgesi A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlar. Ancak, aşağıdaki çizelge A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlamaz. A B 1 a 2 b 3 c

y (x,f(x)) y=f(x) y= f(x) x x Bu derste ele alacağımız fonksiyonların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri sayı kümeleri olacaktır. Böyle bir fonksiyonun tanım kümesindeki her x sayısı için değer kümesinde bir ve yalnız bir y = f(x) sayısı bulunacak ve dolayısıyla (x,y) sıralı ikilisi, ya da noktası, ortaya çıkacaktır. Bu şekilde ortaya çıkan noktaların Kartezyen düzlemde oluşturduğu nokta kümesine f fonksiyonunun grafiği(grafik) denir. y (x,f(x)) y=f(x) y= f(x) x x

y = 2x y = x2 y (2,4) (1,2) x (0,0) (-1,-2) (-2,-4) y (-2,4) (2,4) Örnek. Her reel sayıya o sayının iki katını karşılık getiren fonksi-yonun grafiği (2,4) (1,2) y = 2x (-1,-2) (-2,-4) x y (0,0) Örnek. Her reel sayıya o sayının karesini karşılık getiren fonksiyo-nun grafiği (-2,4) (2,4) y = x2 (-1,1) (1,1)

(Independent variable) Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi ℝ deki her x sayısına karşılık değer kümesi ℝ’de y = 2x sayısı; ikinci örnekte de tanım kümesi ℝ deki her x sayısına karşılık değer kümesi ℝ’de y = x2 sayısı verilmektedir. Bu derste ele alacağımız fonksiyonlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler yardımıyla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her x sayısı için görüntü kümesinde karşılık gelen y sayısı, x e bağlı bir ifade ile verilecektir: Çıktı (output) Girdi (input) y = f(x) Bağımsız Değişken (Independent variable) Bağımlı Değişken (dependent variable) Bağımlı ve bağımsız değişkenler için başka harf veya semboller kullanılabileceği açıktır. Örneğin, t zamanda alınan yolu s=t2–t+1 hareket denklemi ile tanımlayan fonksiyon için bağımsız değişken t, bağımlı değişken s dir.

y = f(x) gibi bir denklemle tanımlanmış bir fonksiyon verildiğinde, tanım kümesindeki her a sayısı için f(a), verilen denklemde x yerine a yerleştirilerek hesaplanır. Örnek . y = f(x) = x2 + 2x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi ℝ dir ve f(0) = 0, f(1) = 3, f(2) = 8, f(3) = 15, f(–1) = –1, f(–2) = 0, f(–3) = 3  tür. Herhangi bir a reel sayısı için f(a)=a2 + 2a, f(a+1)=(a+1)2 +2(a+1)=a2+4a+3, f(a+2)=(a+2)2 + 2(a+2)=a2+6 a +8 dir. Örnek. y = x(x+2) denklemi tüm reel sayılar kümesi ℝ den ℝ ye bir fonksiyon tanımlar. x = 1 olunca y = 3 x = 5 olunca y = 35 x =1/2 olunca y=5/4 x x+2 Burada, pozitif x sayıları için, y, kenar uzunlukları x ve (x+2) birim olan bir dikdört- genin alanı olarak yorumlanabilir..

denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi görüntü kümesi Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksiyonun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel sayı olarak tanımlayabildiği değerlerin tümü olarak; görüntü kümesi de bağımlı değişken için böylece tanımlanan tüm değerler olarak alınır. Bundan böyle, söylem ve yazım kolaylığı ve kısalığı sağlamak için “y=f(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyon” deyimi yerine “y=f(x) fonksiyonu” deyimini de kullanacağız. Örnek. denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi görüntü kümesi dur. Çünkü, in tanımlı olması için olmalıdır. Ayrıca, negatif olmayan her reel sayı, uygun bir için biçiminde ifade edilebilir. Örnek. fonksiyonunun tanım kümesi [-1,1] aralığıdır. Çünkü, nin tanımlı olması için olmalıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyonun tanım kümesi eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [–1,1] kümesidir.

Örnek. denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi (-∞ , -2)  (-2 , ∞) = ℝ \ {-2} dir, çünkü kesri -2 dışında her reel sayı için tanımlıdır. Bazen kapalı denklemler de fonksiyon tanımlayabilir. Örneğin, x bağımsız ve y bağım-lı değişkenler olmak üzere, 2x+3y=1 denklemi bir fonksiyon tanımlar. Çünkü, bu denklem her x reel sayısına karşılık y = (-2/3)x + (1/3) sayısını verir. Bununla beraber, fonksiyon tanımlamayan kapalı denklemler de vardır. Örnek olarak, x bağımsız ve y bağımlı değişkenler olmak üzere y2 – x2 = 4 denklemi bir fonksiyon tanımlamaz. Çünkü, örneğin x = 0 değeri için hem y = 2 hem de y = -2 sayıları bu denklemi sağlarlar. O halde bu denklem x = 0 sayısına birden çok sayı karşılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksiyon tanımlamaz.

Bir denklemin fonksiyon tanımlayıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir yolu, o denklemin grafiğinin düşey doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşey doğru grafiği en çok bir noktada kesiyorsa, o denklem bir fonksiyon tanımlar ve denklemin grafiği fonksiyonun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşey doğrular varsa, o denklem bir fonksiyon tanımlamaz. x y (0,0) x y (0,0) 2 -2 2x+3y = 1 Fonksiyon tanımlar y2 – x2 = 4 Fonksiyon tanımlamaz

fonksiyonunun x–kesişimleri, denkleminin çözümleri Bir Fonksiyonun Koordinat Kesişimleri. Bir fonksiyonun grafiğine bakınca grafiğin koordinat eksenlerini kestiği noktalar hemen dikkatimizi çekecek noktalar arasında bulunacaktır. Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktalara o fonksiyonun koordinat kesişimleri denir. Grafiğin x–eksenini kestiği noktalar varsa, o noktalara fonksiyonun x–kesişimleri denir. Grafiğin y–eksenini kestiği nokta varsa, o noktaya da fonksiyonun y–kesişimi denir. Bir f fonksiyonunun x–kesişimleri, varsa f(x) = 0 olan (x,0) noktaları; y–kesişimi de varsa (0,f(0)) noktasıdır. Tanım gereği, bir fonksiyonun en çok bir y–kesişimi bulunabilir; ancak, birden çok x–kesişimine sahip olan fonksiyonlar vardır. y x y= f(x) y–kesişimi x–kesişimleri Örnek. fonksiyonunun x–kesişimleri, denkleminin çözümleri x=–3 ve x=5 olduğundan, (–3,0) ve (5,0) noktaları; y–kesişimi de f(0 )= -15 ten görüleceği üzere, (0,–15) noktasıdır. Örnek. fonksiyonunun x–kesişimleri (-1,0) ve (1,0), y-kesişimi (0,1) noktasıdır. fonksiyonunun x – kesişimi yoktur; y – kesişimi (0,1) noktasıdır. fonksiyonunun ne x – kesişimi ne de y – kesişimi vardır.

ürün sayısı (bağımsız değişken) Uygulama. Ekonomide Fonksiyonlar , Kâr – Zarar Analizi. Gider (Maliyet) Fonksiyonu (Cost Function): M M= (sabit gider) + (değişken gider). Örneğin, bir firmanın aylık sabit gideri 100 TL ve ürün başına gideri 5 TL ise, bu firmanın ayda x ürün üretmesi durumunda aylık toplam gideri M(x) = 100 + 5x TL olur. sabitler ürün sayısı (bağımsız değişken) Gelir Fonksiyonu (Revenue Function): G G = (satılan ürün miktarı) . (birim ürün fiyatı). Örneğin, bir firma bir ayda her biri p TL den x tane ürün satmışsa, bu firmanın aylık toplam geliri G(x) = xp TL olur.

p Fiyat Fonksiyonu (Price Function) : Bir ürün için piyasadan talep edilen miktar x ile ve bu ürün için birim fiyatı p (TL) ile gösterilirse, x ile p arasındaki bağıntıyı ifade eden denkleme fiyat–talep denklemi denir. Örneğin, x = 20 – (0.2) p fiyat–talep denklemi, piyasaya p TL fiyatla sürülecek ürün için x birim talep olacağını gösterir. Fiyat–talep denkleminde, x bağımsız değişken, p bağımlı değişken kabul edilerek elde edilen fonksiyona fiyat – talep fonksiyonu denir. Örneğimizde, fiyat – talep fonksiyonu p = 100 – 5x denklemi ile tanımlanan fonksiyondur. Bir ürün için piyasaya sunulan (arz edilen) miktar x ile ve bu ürünün birim fiyatı p (TL) ile gösterilirse, x ile p arasındaki bağıntıyı ifade eden denkleme fiyat–arz denklemi denir. Örneğin, x = 5 + (0.1)p fiyat–arz denklemi, p TL fiyatla piyasaya sürülecek ürün miktarının x birim olacağını gösterir. Fiyat–arz denkleminde, x bağımsız değişken, p bağımlı değişken kabul edilerek elde edilen fonksiyona fiyat–arz fonksiyonu denir. Örneğimizde, fiyat–arz fonksiyonu p = 10 x - 50 denklemi ile tanımlanan fonksiyondur.

K(x) = G(x) – M(x) =( 80x - 2x2 ) – (100 + 5x) = -2 x2 +75x -100 Arz ve talebin birbirine eşit olduğu fiyata pazar denge fiyatı denir. Örnek 1. Yukarıda verilen fiyat–talep denklemi ve fiyat–arz denkleminin aynı ürün için denklemler olduğunu varsayalım ve pazar denge fiyatını bulalım:. Fiyat–Talep Denklemi: x = 20 – (0.2)p , Fiyat–Arz Denklemi : x = 5 + (0.1)p . Arz edilen ürün miktarı ile talep edilen ürün miktarının eşit olacağı dikkate alınarak  Pazar denge fiyatı, 50 TL dir ve bu fiyatla piyasaya arz edilecek ürün miktarı x = 5 + (0.1)50=10 birim, piyasanın talebi de : x = 20 – (0.2)50=10 birim olup arz ve talep çakışmaktadır. Kâr Fonksiyonu (Profit Function) : K Gelir ile gider arasındaki farkı verir. K(x)= G(x) – M(x) Örneğin, M(x)= 100+ 5x ve p(x) = 80 – 2x ise, G(x) = x p(x) = x(80-2x) =80x -2x2 ve böylece K(x) = G(x) – M(x) =( 80x - 2x2 ) – (100 + 5x) = -2 x2 +75x -100 TL olur.

Bir Problem. Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, yılda x adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin M(x)=15+(1.2)x bin TL; makine başına uygun satış fiyatının da p(x)=6-0.075x bin TL olacağını tespit ediyor. Bu firma yılda en çok 80 adet makine üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsayarak a) Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda toplam gider ve bir makinenin satış fiyatnı bulunuz. b) Gelir fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın gelirini belirleyiniz. c) Kâr fonksiyonunu veren denklemi yazınız. Yılda 50 adet makine üretilmesi duru-munda firmanın kârını bulunuz. Çözüm. a) Yıllık toplam gider bin TL, bir makinenin satış fiyatı bin, yani 2250 TL. b) bin, yani 112 500 TL. c) olup 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârı K(50)=112.5-75=37.5 bin, yani 37500 TL dir.

Basit Fonksiyonlar (Elementary Functions) Basit Fonksiyonlar (Elementary Functions). Bu derste ve benzeri matematik ders-lerinde en çok karşılaşacağınız fonksiyonlar, basit fonksiyonlar olarak bilinen fonksiyonlar ile onlardan temel dönüşümlerle elde edilen fonksiyonlardır. Aşağıda, basit fonksiyonları, grafikleriyle birlikte listeliyoruz: y Birim Fonksiyon: Her reel sayıya kendisini karşılık getiren fonksiyon. f(x) = x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : ℝ x y = x Mutlak Değer Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının mutlak değerini karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : [0,) y = |x|

Kare Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karesini karşılık getiren fonksiyon. x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : [0,) y = x2 y Küp Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küpünü karşılık getiren fonksiyon. x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : ℝ y = x3

Karekök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karekökünü karşılık getiren fonksiyon. x Tanım Kümesi : [0,) Görüntü Kümesi : [0,) Küpkök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küp kökünü karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : ℝ

Hiperbolik Fonksiyon: Her reel sayıya o sayının çarpımsal tersini karşılık getiren fonksiyon. x Tanım Kümesi : ℝ\{0} Görüntü Kümesi : ℝ\{0}

Bu fonksiyonlar fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir: Aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h, k, l, m ve n fonksiyonlarını ele alalım: Bu fonksiyonlar fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir: Aşağıda göreceğimiz üzere g, h, k, l, m ve n fonksiyonlarının grafikleri de f fonksiyo-nunun grafiği cinsinden elde edilebilir. g, h, k, l, m ve n fonksiyonlarının f fonksiyonu cinsinden tanımı en genel biçimiyle şöyle verilebilir: a, b ve c reel sayılar, c > 1 olmak üzere Yansıma Germe Büzme Yatay kayma Düşey kayma Bu fonksiyonlardan her birinin grafiği f nin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesiyle elde edildiğinden yukarıdaki ifadelerden her birine bir temel dönüşüm denir.

y = f(x+a) yı sağlar y = f(x) i sağlar y g(x) = f(x+a) (x ,g(x)) Yatay Kayma. g(x) = f(x+a) y = f(x) i sağlar y g(x) = f(x+a) (x ,g(x)) g(x)=f(x+a) (x+a ,g(x)) (x+a ,g(x)) a > 0 ise a < 0 ise x x+a x+a x y = f(x+a) nın grafiğinin y = f(x) in grafiğinden elde edilişi: Eğer a > 0 ise, y = f(x+a) nın grafiği y = f(x) in grafiğinin a birim sola kaydırıl-masıyla elde edilir. Eğer a < 0 ise, y = f(x+a) nın grafiği y = f(x) in grafiğinin -a birim sağa kaydı-rılmasıyla elde edilir.

Örnek. y = f(x) = in yatay kaymaları. x y (0,0) x (0,0) y x (0,0) y

y = (x-3)2 x y (0,0) 1 birim sola (-1,0) (2,0) (3,0) 2 birim sağa Örnek. y = f(x) = x2 nin yatay kaymaları. y = (x-3)2 x y (0,0) 1 birim sola (-1,0) (2,0) (3,0) 2 birim sağa 3 birim sağa y = (x+1)2 y = x2 y = (x-2)2 y = (x-2)2 y = (x+1)2 y = (x-3)2

Örnek. y = f(x) = |x| in yatay kaymaları. y = |x-3| x y (0,0) y = |x+1| 1 birim sola y = |x-2| 2 birim sağa 3 birim sağa y = |x| (-1,0) (2,0) (3,0) y = |x-3| y = |x-2| y = |x+1|

y = f(x) + b yi sağlar y (x ,h(x)) h(x)=f(x) + b b > 0 ise Düşey Kayma. h(x) = f(x) + b y = f(x) + b yi sağlar y (x ,h(x)) h(x)=f(x) + b b > 0 ise y = f(x) i sağlar f(x) (x ,f(x)) y = f(x) + b yi sağlar h(x)=f(x) + b b < 0 ise (x ,h(x)) x x y = f(x) + b nin grafiğinin y = f(x) in grafiğinden elde edilişi: Eğer b > 0 ise, y = f(x) + b nin grafiği y = f(x) in grafiğinin b birim yukarıya kay-dırılmasıyla elde edilir. Eğer b < 0 ise, y=f(x) + b nin grafiği y = f(x) in grafiğinin -b birim aşağıya kay-dırılmasıyla elde edilir.

Örnek. y = f(x) = in düşey kaymaları. x (0,0) y x y (0,0) x (0,0) y

y = x2 + 1 x y (0,0) y = x2 1 birim yukarıya 2 birim aşağıya (0,1) Örnek. y = f(x) = x2 nin düşey kaymaları. y = x2 + 1 x y (0,0) y = x2 1 birim yukarıya 2 birim aşağıya (0,1) y = x2 -2 (0,-2) y = x2 + 1 y = x2 - 2

y = |x|+1 y y = |x| 1 birim yukarıya 2 birim aşağıya (0,1) (0,0) x Örnek. y = f(x) = |x| in düşey kaymaları. y = |x|+1 x y (0,0) y = |x| 1 birim yukarıya 2 birim aşağıya (0,1) y = |x| - 2 (0,-2) y = |x|+1 y = |x| - 2

x y (-x , f(-x)) x (x ,f(-x)) -x Yansıma(y-eksenine göre). k(x) = f(-x) x y (0,0) y = f(x) i sağlar y = f(-x) i sağlar (-x , f(-x)) x (x ,f(-x)) -x y = f(-x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin y – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir.

ve y = x2 nin y–eksenine göre yansımaları verilmiştir. Örnek. Aşağıda ve y = x2 nin y–eksenine göre yansımaları verilmiştir. x y (0,0) x (0,0) y y=(–x)2 y=x2 y = x2 nin y–eksenine göre yansımasında dikkatinizi çeken bir durum var mı? y=(–x–2)2 (–2,0) y=(x–2)2 (2,0) Örnek. Şimdi y = (x-2)2 nin y–eksenine göre yansımasını görelim. x y

y y = f(x) i sağlar f(x) (x ,f(x)) (0,0) x x - f(x) (x ,- f(x)) Yansıma (x-eksenine göre). l(x) = - f(x) y y = f(x) i sağlar f(x) (x ,f(x)) (0,0) x x - f(x) (x ,- f(x)) y = -f(x) i sağlar y = - f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin x – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir.

y y = x2 y x (0,0) (0,0) x y = - x2 Örnek. y = f(x) = x2 ve y = in x-eksenine göre yansıması x y (0,0) y = x2 x y (0,0) y = - x2

Örnek. y = f(x) = |x| in x-eksenine göre yansıması. (0,0) y = |x| y = - |x|

x Germe ve Büzme. m(x) = c f(x), y c f(x) (x ,c f(x)) f(x) (x ,f(x)) x (0,0) y = c f(x) i sağlar c f(x) (x ,c f(x)) y = f(x) i sağlar f(x) (x ,f(x)) i sağlar x y = c f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğindeki her noktanın ordinatı c ile çarpılarak , in grafiği, y = f(x) in grafiğindeki her noktanın ordinatı c ile bölünerek elde edilir. Eğer c > 1 ise, y = c f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda gerilmiş biçimi olur. Eğer c > 1 ise, in grafiği, y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda büzülmüş biçimi olur.

y y = 2x2 y = (1/2)x2 gerilme y = x2 büzülme (1, 2) (1,1) (1,1/2) Örnek. y = f(x) = x2 nin gerilme ve büzülmeleri. x y (0,0) y = 2x2 y = (1/2)x2 gerilme y = x2 büzülme (1, 2) (1,1) (1,1/2) y = (1/2)x2 y = 2x2

y = 3|x| x y (0,0) gerilme y = |x| büzülme (1, 3) y = (1/3) |x| (1,1) Örnek. y = f(x) = |x| in büzülme ve gerilmeleri. y = 3|x| x y (0,0) gerilme y = |x| büzülme (1, 3) y = (1/3) |x| (1,1) (1,1/3) y = (1/3)|x| y = 3 |x|

Temel dönüşümleri aşağıdaki tabloda özetliyoruz: g yi tanımlayan temel dönüşüm y=g(x) in grafiğinin y=f(x) in grafiğinden elde edilişi g(x) = f(x+a), a>0 a birim sola kayma g(x) = f(x+a), a<0 –a birim sağa kayma g(x) = f(x)+b, b>0 b birim yukarı kayma g(x) = f(x)+b, b<0 –b birim aşağı kayma g(x) = f(–x) y–eksenine göre yansıma g(x)= – f(x) x–eksenine göre yansıma g(x) = cf(x), c>1 Düşey doğrultuda c kat gerilme g(x) = (1/c) f(x), c>1 Düşey doğrultuda c kat büzülme

y = |x|  y = |x - 1|  y = 3|x - 1|  y = -(3|x - 1| ) Kayma, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Uygulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksiyonlardan pek çoğu, elemanter fonksiyonlara daha önce gördüğü-müz transformasyonların art arda uygulanmasıyla elde edilir. Örnek. y = -3 |x - 1| + 2 nin grafiği, y = |x| in grafiğinden elde edilebilir. y = |x|  y = |x - 1|  y = 3|x - 1|  y = -(3|x - 1| )  y = -(3|x - 1| ) + 2

(1,2) y y = 3|x-1| y = |x| y = |x-1| (2, 3) (2, 1) (1,1) (0,0) (1,0) x

y = x2  y = (x-1)2 = x2 – 2x +1  y = (x-1)2 –1 = x2 – 2x x y (0,0) Örnek. y = x2 – 2x in grafiği, y = x2 nin grafiğinden elde edilebilir. x2 – 2x = x2 – 2x +1 – 1 = (x-1)2 –1 olduğu göz önüne alınarak, y = x2  y = (x-1)2 = x2 – 2x +1  y = (x-1)2 –1 = x2 – 2x x y (0,0) y = (x-1)2 y = x2 (1,0) y = x2 – 2x (1,-1)

Örnek. Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, yılda x adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin M(x)=15+(1.2)x bin TL; makine başına uygun satış fiyatının da p(x)=6-0.075x bin TL olacağını tespit ediyor. Bu firma yılda en çok 80 adet makine üretecektir. Gelir ve kâr fonksiyonlarının grafiğini çiziniz. x y (0,0) (40,0) (80,0) (40,120) x y (0,0) (32,0) (80,0) (32,61.8)