TÜREV UYGULAMALARI

Artan ve Azalan Fonksiyonlar: fonksiyonu verilsin. Her oluyorsa f ye monoton artan (azalmayan) fonksiyon denir. oluyorsa kesin artan fonksiyon denir.

Benzer şekilde; her oluyorsa f ye monoton azalan (artmayan) fonksiyon denir. Her oluyorsa kesin azalan fonksiyon denir.

Eğer her için ise fonksiyon monoton azalan, ise kesin azalan fonksiyondur. Eğer her için ise fonksiyon monoton artan, ise kesin artan fonksiyondur.

Örnek: Bir malın toplam maliyet fonksiyonu, x mal miktarı, bin TL olmak üzere toplam gelir fonksiyonu, bin TL olmak üzere, dır. Kârın artan ve azalan olduğu üretim satış aralıklarını bulunuz.

Çözüm: Kâr, gelir ile maliyetin farkı olduğundan K kâr fonksiyonu, olur. K fonksiyonunun türevinin işaretini incelememiz gerekiyor.

x 0 124 200 + - K

Bu durumda (0,124) aralığında kâr artmakta, (124,200) aralığında ise azalmaktadır.

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum: fonksiyonu verilsin ve için noktasını içeren uygun bir aralık olsun. * Eğer her için oluyorsa noktasına f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktası, f( ) sayısına da bir yerel maksimum değeri denir.

* Eğer her için oluyorsa noktasına f fonksiyonunun bir yerel minimum noktası, f( ) sayısına da bir yerel minimum değeri denir.

* Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarına fonksiyonun ekstremum noktaları denir. fonksiyonu sürekli ve her için türevi olan bir fonksiyon olsun. Eğer bir noktası f fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktası ise dır.

Türevi olan bir f fonksiyonu için koşulunu sağlayan noktalar ekstremum noktası olmaya aday noktalardır. Böyle noktalara kritik noktalar denir.

Örnek: fonksiyonunun kritik noktalarını bulalım. noktaları kritik noktalardır.

Ekstremum noktaların bulunması: 1.YOL: Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için türevi ve türevin kökleri, yani kritik noktaları bulunur. Daha sonra varsa fonksiyonun türevinin olmadığı noktalar da belirlenip türevin işareti incelenir. Sürekli fonksiyonun türevinin işaretinin + dan – ye geçtiği nokta yerel maksimum noktası, -den + ya geçtiği nokta yerel minimum noktasıdır. Türevin işaret değiştirmediği nokta ekstremum nokta değildir.

Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım.

x + - f -1 0 3

x=-1 yerel maksimum noktasıdır. x=0 ekstremum nokta değildir. x=3 yerel minimum noktasıdır.

2.YOL: ikinci mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon ve bu fonksiyonun kritik noktası olsun. * Eğer ise noktası f fonksiyonunun bir yerel minimum noktasıdır. *Eğer ise noktası f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır.

Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. Bu noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.

olur. olduğundan x=0 bir yerel minimum noktasıdır. olduğundan x=1 bir yerel maksimum noktasıdır. olduğundan x=2 bir yerel minimum noktasıdır.

Örnek: Bir malın, x mal miktarı türünden kâr fonksiyonu, bin TL cinsinden dir. Maksimum karın elde edildiği mal miktarını bulunuz. Çözüm:

Bu üründen 1500 tane üretilip satıldığında x 0 1500 3000 + - K 750 Bu üründen 1500 tane üretilip satıldığında maksimum kâr olarak 750 bin TL elde edilir.

BÜKEYLİK ikinci mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon olsun. * Her için ise f fonksiyonu aralığında yukarı bükey (konveks) fonksiyondur.

* Her için ise f fonksiyonu aralığında aşağı bükey (konkav) fonksiyondur.

* Bir fonksiyonun bükeyliğinin değiştiği noktaya büküm noktası denir.

fonksiyonunu göz önüne alalım. Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. olur. İkinci mertebeden türevin kökü x=-1 olur. x - - o + + f Aşağı Bükey Yukarı Bükey -1

ASİMPTOTLAR Bir eğriye, orijinden sonsuz yaklaştığımızda teğet olan eğriye veya doğruya asimptot denir. 1. Yatay Asimptot: fonksiyonu verilsin. Eğer limitleri var ve oluyorsa y=b ve y=c doğrularına yatay asimptot denir.

fonksiyonunu göz önüne alalım. Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. olduğundan y=2 yatay asimptottur.

2. Düşey Asimptot: fonksiyonu verilsin. x=a için oluyorsa x=a doğrusuna fonksiyonun düşey asimptotu denir. Bu tanıma göre bir rasyonel fonksiyonda pay sıfırdan farklı olmak üzere paydayı sıfır yapan değerler bize düşey asimptotu verir.

Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulalım. Paydayı sıfır yapan değerler; olur. Dolayısıyla x=-1 ve x=2 doğruları düşey asimptottur.

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için aşağıdaki 7 adım takip edilir.

1.Fonksiyonun tanım kümesi bulunur. 2.Fonksiyonun belirttiği eğrinin varsa eksenleri kestiği noktalar bulunur. 3.Eğer varsa asimptotlar bulunur. 4.Türev alınır ve işareti incelenir. 5.İkinci türev alınır ve işareti incelenir. 6.İlk beş adımda bulunanlar bir tabloda gösterilir. 7.Altıncı adımdaki tablo kullanılarak grafik çizilir.

Örnek: fonksiyonunun grafiğini çizelim. 1.Tanım kümesi olur.

2. y=0 için olur. Dolayısıyla x eksenini kestiği nokta noktasıdır. x=0 için y=-3 olup y eksenini kestiği nokta (0,-3) noktasıdır. 3. Verilen fonksiyon rasyonel olduğundan paydayı sıfır yapan x=-5 düşey asimptottur.

olduğundan y=2 yatay asimptottur. 4. olur. Bu fonksiyon x=-5 noktasında tanımlı değildir. Dolayısıyla x=-5 hariç her yerde pozitiftir.

5. olur. x -50 - - - - o + + + +

6. İşaret tablosu; x + + + + - - 2 + + + + - - 2 x=-5 noktasında fonksiyonun davranışını incelemek gerekir. Pratik olarak düşey asimptotun solundaki sonsuzun işareti bu noktanın hemen solundaki türevin işareti ile aynı, sağındaki sonsuzun işareti ise bu noktanın solundaki türevin işareti ile ters olur.

7. Fonksiyonun grafiği:

BELİRSİZ HALLER belirsizliği için L’Hospital kuralı: f ve g, (a,b) açık aralığının her noktasında türevlenebilir iki fonksiyon, ayrıca ve (a,b) aralığındaki her x için olsun. Bu durumda olur.

Bu kural olması durumunda uygulanabilir. şeklinde bir belirsizlik oluyorsa bu kural kullanılır. Aksi halde kullanılmaz.

Örnek: limitini hesaplayalım. olup belirsizliği vardır. Kuralı uygularsak: bulunur.