ABUL-VEFA (940 - 998) İran'da doğan Abul - Vefa gençlik yaşlarında Bağdat’a göç etti. Darül Hikme’nin yetiştirdiği büyük matematikçi ve astronomudur. Abul - Vefa Bağdat rasathanesinde uzun yıllar astronomik gözlemler yaptı. O da kendinden önceki Müslüman bilim adamları gibi Euclid’in Diophantus’un Ptolemy’nin eserlerini inceledi ve bunları bir araya toplayan bir eser yazdı. Türkçe’si bilim adamları ve iş adamlarının aritmetik biliminden bilmesi gerekenler anlamına gelen “Kitab fi ma yaktaj ilayh al kuttab weal ummal min ilm al hisab” olarak bilinen kitabı 7 bölümden oluşur. İlk üç bölüm oran-orantı, çarpma, bölme, alan hesabı gibi matematik konularını içerir. Son dört bölümde işçi, ölçüm ve çeşitli tahıl değişimi ve satımı ile ilgili uygulamalı problemlerin çözümleri yer almaktadır.

Abul Vefa’nın trigonometri problemlerinin çözümünde kullanılan tabloların hazırlanmasında gösterdiği başarı kuşkusuz trigonometrinin gelişmesinde en önemli adımdır. Hazırladığı tablolarda Abul Vefa sin 30’u çok küçük hatalarla hesap etmiştir. Trigonometride bugün kullandığımız sinüs, kosinüs terimleri ilk defa bu dönemde kullanılmıştır ve Arapça kelimelerdir. Çok az hatalarla gösterdiği trigonometrik değerleri hesaplarken kullandığı yöntem modern gösterimlerle şu şekilde ifade edilebilir: Abul Vefa 60 yarıçaplı bir çember için 30° sinüsünü =31I 2.4II 5.5III 54IV 55V olarak hesaplayabilmektedir. Bugünkü hesaplamalarla karşılaştırıldığında Abul Vefa’nın bu sonucu sadece dördüncü değerden sonrası için çok küçük bir hata vermektedir. R = l için sin 30 Abul Vefa’nın hesaplamasında = 0,0087265373 olarak bulunmakta, bugünkü hesaplamalarda ise = 0,0087265355 çıkmaktadır. Bu karşılaştırma ile Abul Vefa’nın ne kadar hassas hesaplama yapabildiği ortaya çıkmaktadır.

Abul Vefa küresel trigonometri hesaplamaları için yeni aletler geliştirdi. Tanjant teoremini küresel yüzeydeki dik üçgenler için uyguladı. Dik olmayan üçgenler için genel sinüs teoremini ilk uygulayan matematikçidir. Abul Vefa’nın anısına Ay üzerindeki bir kratere onun ismi verilmiştir.

AL-KARHİ (AI-Karaji) (--1029) Bağdat'ın son dönemlerinde Darül Hikme’nin yetiştirdiği büyük matematikçilerdendir. Doğum yerine bağlı olarak verilen adı üzerinde tam bir uzlaşma yoktur. Milliyeti ister Arap olsun ister Acem olsun çalışmalarını Bağdat’ta yapmış ve o günün matematiğine büyük katkılarda bulunmuştur. Gerçekten, Al-Karkhi'nin çalışmaları matematik tarihinde önemli bir yer tutar. Diophantus, Harizmi ve Abu Kamilin çözümlerini düzenleyerek tamamlanmış ilk cebir kitabını Karkhi sunmuştur. Cebiri geometrik gösterimlerden [0,) aralığında sayısal gösterimlere taşımıştır.

Al-Karhi, m ve n doğal sayı olmak üzere xnxm = xm+n olduğunu genellemesine rağmen x0 = 1 sonucunu göremedi. Al Karhi matematik tarihinde ilk defa Al-Fakhri adlı kitabında denklemleri polinomlar olarak düşündü ve polinomlar cebirinin ilk hesaplarını yaptı. Karhi aritmetik operatörleri cebirsel terim ve ifadelerde kullanırken önce tek-terimlileri ele aldı daha sonra da polinomlarda aynı kuralları uygulamaya çalıştı. Örneğin, çarpma için, ve (a,b,c,d tek-terimli). Bu gösterimlerden sonra aynı operatörleri polinomlar (çokterimliler) için kullandı. Aynı yolu toplama çıkarma işlemleri için de kullandı. Benzer kullanımı bölme işlemi için de düşündü ancak bu polinomun tek-terimliye bölümü şeklinde olmuştur. Karkhi’yi izleyen matematikçi Al-Samaval bölme işlemi için de genellemesini yapmıştır.

Al-Fahrinin bir bölümünde binom açılımı olarak bildiğimiz ifadeler yer almaktadır. Örneğin, (a + b)3 ve (a + b)4 ifadelerinin açılımını vermektedir. Bu çalışmalardan esinlenerek Karhi'yi izleyen Al-Samaval (a + b)n açılımının katsayılarını veren bir tablo hazırlamıştır. Bu tablo bizim bugün bildiğimiz eşitliğinin sembolleştirilmemiş şekliydi.

Bilinenlerden hareketle bilinmeyenlerin bulunması Al-Karhi'ye göre cebirin en önemli uğraş alanıydı. Yani ona göre cebirin esas amacı verilen denklem yardımıyla bilinmeyenlerin bilinenler cinsinden belirlenmesidir. Bu yaklaşım, cebirsel ifadelerin geometrik gösterimlerle temsil edilmesi yaklaşımını bırakarak cebire daha analitik boyuttan bakılmasını getirmiştir. Karhi, Harizmi’de olduğu gibi ax = b; ax2 = bx; ax2 = b; ax2 + bx = c; ax2 + c = bx; bx + c = ax2 kanonik denklemlerden yararlanarak yüksek mertebeden denklemlerin çözümlerini bulmaya çalıştı:

Karkhi, Abu-Kamil’i de izleyerek lineer denklem sistemlerini çözmeye çalıştı. Örneğin, öyle ki s = x + y +z ve

Karhi nin Al Fahri kitabından daha ilginç örnekler verilebilir Karhi nin Al Fahri kitabından daha ilginç örnekler verilebilir. Bütün bu örnekler Karhi’nin cebirsel genellemeler yapmada ne derece maharetli olduğunu göstermektedir. Karhi, Diophantus, Harizmi ve Abu-Kamil’in bıraktığı cebir çalışmalarını zenginleştirdiği gibi cebire aritmetiksel yaklaşımı getirdi. Onun takipçisi olan Al-Samawal da Karhi'yi tamamladı. Şüphesiz Karhi'nin bu çalışmaları Leonardo Fibinacci’ye cebir çalışmak için çok büyük bir alt yapı hazırladı.

ÖMER HAYYAM (1048—1131) Büyük Selçuklu İmparatorluğu hakimiyetindeki Horasanda doğan bu büyük Türk bilgini bizim kültürümüzde daha çok filozof ve şair yönü ile tanınır. İsmi çözdüğü kübik denklemlerle değil yazdığı rubailerle birlikte anılır. Çalışmaları eserleri değerlendirildiğinde onun edebiyat ve felsefeden daha çok matematik ve astronomi ile ilgilendiği anlaşılır. Ömer Hayyam yaptığı çalışmalarla Bağdat ekolünü Semerkand’a taşımış oldu.

1070 yıllarında Semerkand’a gelen Ömer Hayyam büyük bir ilgi gördü 1070 yıllarında Semerkand’a gelen Ömer Hayyam büyük bir ilgi gördü. Kübik denklemlerin çözümleri ile ilgili ilk eserini burada tamamladı. Selçuklu Sultanı Celaleddin Melik Şah ve onun veziri Nizamül Mülk’ün daveti ile geldiği Buhara şehrindeki rasathanenin sorumlusu oldu. Bu rasathaneyi geliştirdi, rasathaneye zamanın en büyük astronomlarını topladı ve onun yönetiminde burada uzun süren gözlemler yapıldı. Bu gözlemler sonunda güneş yılına bağlı olan takvimi yeniden düzenledi. 365,2424 gün olarak tasarladığı takvimini ondan sonra gelen Uluğ Bey (1394-1449) 3 yılda bir bu sürenin l gün olarak arttığını hesaplayarak bugün kullandığımız 365,2425 günlük güneş yılı takvimini geliştirmiş oldu.

İstikrarsızlıklar ve savaşlar nedeniyle 18 yıl yaşadığı Buhara’dan ayrılmak zorunda kaldı. Türkistan’ın Merv şehrine göç etti. Merv Selçuklu Sultanı Sencer’in yeni baş şehriydi. Burada Ömer Hayyam “Bilimin Dengesi” anlamına gelen “Mizan Al-Hikam” adlı eserini yazdı. Bu eserde Archemedes’in de uğraştığı alaşımların tayini problemlerine benzer problemlerin cebirsel çözümleri yer almaktadır. Örneğin, altın ve gümüşten oluşan bir alaşımdaki altın ve gümüş miktarının belirlenmesi gibi.

Risale fi’l Barehin ala Masai’lül Cebr wa’al Mukabele adlı cebir kitabı altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde cebirle ilgili temel kavramlar açıklanmaktadır. İkinci bölüm Harizmi de gördüğümüz ikinci derece denklemlerin çözümleri yer almaktadır. Bu bölümde basit ikinci denklemlerin yanında ayrıca Hayyam bileşik ikinci denklemlerin yer aldığı bir tablo sunmaktadır. Üçüncü bölümde denklemlerin geometrik kuruluşlarına örnekler verilmiştir. Dördüncü bölümde kübik denklemlerin koniklerin kesiştirilmesi yoluyla çözümlerine örnekler verilmiştir. Beşinci bölümde kesirli denklemlerin çözümlerini tartışmıştır. Kitabının son bölümünde kendisinden önce yaşamış ve cebirle uğraşmış olan Abul Jud Muhammed’in yöntemindeki yanlışlıklan tartışmaktadır.

Bu çözüm yöntemini Avrupa Descardes’den sonra tanımaya başlamıştır. Hayyam kendinden önce gelenlerden daha karmaşık denklemlerle ilgilenmesine rağmen bazı denklemlerin negatif, kesirli ve sanal köklerinin olabileceğini göremedi. Kübik denklemlerin çözümlerinde de hep pozitif çözümleri ele aldı. Bunun bir nedeni de çözümlerinde geometrik yöntemler kullanmasıdır. Zaten Ömer Hayyam cebiri “Sayısal ve geometrik bilinmeyenlerin belirlenmesi” olarak tanımlamaktadır. Doğal olarak o hep denklemlere geometrik çözümler üretmekle meşgul olmuştur. Hayyam'ın geometrik yöntemle kübik denklem çözümünü aşağıdaki gibi örnekleyebiliriz: x3 + a2x = b denkleminin çözümü için önce x2 = ay parabolü çizilir. Daha sonra parabole teğet olacak şekilde bir doğru çizilir. Bu doğru üzerinde teğet noktasından geçen ve merkezi doğru üzerinde olacak şekilde çapı [AC] = b/a2 olan bir çember çizilir. Çember ile parabolün kesişim noktası A ve P olsun, P noktasından AC doğru parçasına indirilen dikmenin ayağı H olmak üzere kübik denklemin istenilen pozitif kökü [AH] doğru parçasının uzunluğudur. A P H C Bu çözüm yöntemini Avrupa Descardes’den sonra tanımaya başlamıştır.

Kendinden çok sonra gelen Nasureddin Tusi (1201 - 1274) Cami Al-hisab bil takht wa’al turab adlı eserinde bizim Binom açılımı olarak bildiğimiz; (a+b)n = an + nan-1b +.....................+bn şeklindeki açılımı Ömer Hayyam’ın yöntemi olarak vermektedir. Tusi bu açılımdaki katsayılardan bahsederek bunları n = 12 ye kadar göstermiştir. Ancak, Tusi eserinde bu açılımı sembolik olarak değil kelimelerle ifade etmiştir, katsayıları da bir tablo şeklinde vermiştir. Buradan da anlaşılacağı gibi muhtemelen Hayyam da bu açılımı ve katsayıları benzer şekilde vermiştir. Tusi’nin eserinde katsayıları Hayyam’ın n = 12 ye kadar belirtmiş olsa bile n = 6 için katsayılar tablolaştırıldığında örüntü kolayca görülebilmektedir. Katsayıların Hayyam tarafından tablo şeklinde verilmesi katsayılar arasındaki orijinal örüntüyü de bulabileceği ihtimalini akla getirmiyor mu? Bu durumda diyebiliriz ki Hayyam bugün bizim Pascal üçgeni olarak bildiğimiz sayıları Pascal’dan çok daha önce keşfetmiştir.

Hayyam’ın Euclid’in 5. aksiyomu üzerindeki çalışmaları Euclid dışı geometrilerin oluşmasına öncülük etmiştir, Lobachevski ve Riemann’ın çalışmaları bunun en güzel örnekleridir. Ömer Hayyam’ın şiirleri her zaman insanlar için cazibe odağı olmuştur, matematiğe yaptığı olağanüstü katkılarına rağmen onun hep rubaileri akla geliyor. Nişabur’daki türbesinin duvarlarını çözdüğü kübik denklemler değil yazdığı rubailer süslemektedir.

İçin temiz olmadıksan sonra Hacı hoca olmuşsun, kaç para İçin temiz olmadıksan sonra Hacı hoca olmuşsun, kaç para! Hırka, tespih, post, seccade güzel; Ama Tanrı kanar mı bunlara? Var mı dünyada günah işlemeyen söyle: Yaşanır mı hiç günah işlemeden söyle; Bana kötü deyip kötülük edeceksen, Yüce Tanrı, ne farkın kalır benden, söyle. Ey özünün sırlarına akıl ermeyen; Suçumuza, duamıza önem vermeyen; Günahtan sarhoştum, ama dilekten ayık; Umudumu rahmetine bağlamışım ben.

ABUL REYHAN AL BEYRUNÎ veya EL BİRUNÎ (973 - 1052) Müslüman Türk bilginlerinden biri olan Birunî Aral gölünün güneyinde Gazne’de doğdu. Astronomi, matematik , tarih ve coğrafya ile ilgilendi. Çocukluğu ve gençliği Harzemşahlar'ın yönetiminde olan bu bölgede geçti. Zamanının en ünlü astronomu Abu Nasr Mansur’dan astronomi dersleri aldı. Bu sırada henüz 17 yaşındayken Güneş sistemi ile ilgili gözlemleri ve hesaplan ile dikkatleri üzerine çekti. Bu gözlemleri yaparken kendine özgü birçok düzenek ve astronomi aleti tasarladı.

Tahdid adlı eserinde meridyenlerin ve dünyanın çapının ölçülmesi ile açıklamalar yapmıştır. 1020 yıllarından itibaren Gazne’de yaşamaya başladı. Dünya ve güneşle ilgili gözlemlerine burada devam etti. Dünyanın güneşe olan yakınlık ve uzaklıklarına göre dönenceleri belirledi, 21 haziran, 22 aralık gibi. Dünyanın güneş etrafında döndüğünü hazırlamış olduğu deney ile göstermiştir.

Biruni, Harezm şehrinde 995 yılında yaptığı 7,5 m çapındaki duvar rubu' tahtası ile ölçtüğü ekliptik meylini 23º27‘ olarak vermektedir.  Modern Ölçüler 23º26 olarak vermektedir. Görüldüğü gibi Biruni'nin bulduğu değer bu günkü ölçülere çok yakındır.

Günümüze kadar gelen eserlerinin kısa açıklaması bize Birunî hakkında daha net bilgiler sağlayacaktır. Bunlardan birisi Birunî’nin 63 yaşlarında bir fizikçi olan arkadaşı Razi’nin çalışmaları için hazırladığı fihristir. Bu kitapta Razi’nin çalışmalarından bahseden 113 makale yer almaktadır. Daha sonra bu fihriste kendi çalışmaları ilave edilmiştir, böylece fihrist 146 makale içermektedir. Bir başka eseri “Al Athar al bakıya min al kurun al khalşya” adlı kitaptır. Bu kitabın ilk iki bölümünde ay ve güneş yılına bağlı takvimleri meridyenlere ve ufuk açılarına göre tartışmaktadır.