İSTATİSTİK VE OLASILIK I İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 4. Hafta: Çarpıklık ve Basıklık Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013

Momentler Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan ölçülerdir. Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir. Sıfıra göre moment “Mr“ şeklinde yazılır. Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir. Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.

Momentler M r = X r n M r = f X r f Basit bir serideki 𝑿 𝒊 değişkenin sıfır etrafındaki r. momenti: M r = X r n Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış bir serideki 𝑿 𝒊 değişkenin sıfır etrafındaki r. momenti: M r = f X r f Sıfır etrafındaki 1. moment aritmetik ortalamaya eşittir. Sıfıra göre momentleri kullanarak çarpıklık ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değildir. Çarpıklık ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde edilebilir. Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilebilir.

Momentler μ r = ( X− X ) r n μ r = f ( X− X ) r f Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre momentler “r” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır. Basit bir serideki 𝑋 değişkenin aritmetik ortalama etrafındaki r. momenti: μ r = ( X− X ) r n Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış bir serideki 𝑋 değişkenin aritmetik ortalama etrafındaki r. momenti: μ r = f ( X− X ) r f Aritmetik ortalama etrafındaki 1. moment 0 ’a eşittir. Aritmetik ortalama etrafındaki 2. moment ise varyansı verir.

Momentler 𝝁 𝟐 = 𝑴 𝟐 − 𝑴 𝟏 𝟐 𝝁 𝟑 = 𝑴 𝟑 −𝟑 𝑴 𝟏 𝑴 𝟐 +𝟐 𝑴 𝟏 𝟑 Sıfır etrafındaki momentler bilindiğinde aritmetik ortalama etrafındaki momentler kolayca hesaplanabilir. König teoremi iki moment türü arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi açıklamaktadır. 𝝁 𝟐 = 𝑴 𝟐 − 𝑴 𝟏 𝟐 𝝁 𝟑 = 𝑴 𝟑 −𝟑 𝑴 𝟏 𝑴 𝟐 +𝟐 𝑴 𝟏 𝟑 𝝁 𝟒 = 𝑴 𝟒 −𝟒 𝑴 𝟏 𝑴 𝟑 +𝟔 𝑴 𝟏 𝟐 𝑴 𝟐 −𝟑 𝑴 𝟏 𝟒

Örnek 1 Yandaki basit serinin; Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momentini, Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentini, Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentlerini bulunuz. X 10 12 18 20

Çözüm 1 Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momenti: X 𝐗 𝟐 𝐗 𝟑 10 100 1000 12 144 1728 18 324 5832 20 400 8000 M r = X r n M 2 = X 2 4 = 968 4 = 242 M 3 = X 3 4 = 16560 4 = 4140

Çözüm 1 Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momenti: M 1 = X = X n = 60 4 = 15 X X- 𝐗 ( X− 𝐗 ) 𝟐 ( X− 𝐗 ) 𝟑 10 -5 25 -125 12 -3 9 -27 18 3 27 20 5 125 μ 2 = ( X− X ) 2 n = 68 4 = 17 μ 3 = ( X− X ) 3 n = 0 4 = 0

Çözüm 1 Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentler μ 2 = M 2 − M 1 2 = 242 - 15 2 μ 3 = M 3 −3 M 1 M 2 +2 M 1 3 = 4140- (3×15×242) + (2× 15 3 )= 0

Çalışma Sorusu 1 Yandaki gruplandırılmış serinin; Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momentini, Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentini, Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentlerini bulunuz. Gruplar f 1-3 1 3-5 2 5-7 4 7-9 3

Çarpıklık ve basıklık ölçüleri Çarpıklık ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir. Çarpıklık ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını gösteren ölçülerdir. Bir başka ifade ile, çarpıklık ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir.

Çarpıklık Bir serinin simetriden ayrılmasına çarpıklık denir. Çarpıklık, bir dağılımın ortalaması etrafındaki asimetri derecesini belirtir. Simetrik dağılım gösteren serilerde merkezi eğilim ölçüleri, dağılımın tam ortasında yer alır. Bir başka ifadeyle, serideki rakamların %50 ‘si merkezi eğilim ölçüsünden büyük, kalan yarısı ise küçüktür. Bununla beraber rakamların dağılımı her zaman simetrik olmaz. Uygulamada sağa ya da sola çarpık serilerle sık sık karşılaşılmaktadır. Serideki asimetriyi çarpıklık katsayılarına bakarak anlayabiliriz. Çarpıklık katsayısı 0 olan seri simetrik seridir. Çarpıklık katsayısı negatif olduğunda seri sola çarpık, pozitif olduğunda seri sağa çarpık demektir.

1-Pearson Çarpıklık Katsayıları Mod = Medyan = Aritmetik Ortalama Simetrik bir seride 𝐗 = Mod = Medyan Mod < Medyan < Aritmetik Ortalama Sağa çarpık bir seride: 𝑿 > Medyan > Mod Sola çarpık bir seride: Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod 𝑿 < Medyan < Mod

1- Pearson Çarpıklık Katsayıları 2 Çarpıklık = 3( X −Medyan) s Çarpıklık = ( X −Mod) s S: standart sapma Bu çarpıklık katsayıları: = 0 ise dağılım simetrik, > 0 ise dağılım sağa çarpık, < 0 ise sola çarpıktır.

Örnek 2 Aşağıdaki gruplandırılmış serinin medyana ve moda dayalı Pearson çarpıklığını bulunuz. Gruplar f k.f. 1-3 1 3-5 2 3 5-7 4 7 7-9 10

Çözüm 2 Medyana dayalı çarpıklık hakkında karar verebilmek için aritmetik ortalama ve standart sapmayı da bulmamız gereklidir. X =5,8 S= 1,89 N=10 olduğu için N/2=5. değer medyandır. Medyan 5-7 aralığıdır. Medyanın yaklaşık değeri, Medyan = 𝐿 1 + 𝑁 2 − 𝑓 𝑚−1 𝑓 𝑚 .c = 5 + 5−3 4 .2=6 Medyana dayalı çarpıklık: Çarpıklık = 3( X −Medyan) s = 3.(5,8−6) 1,89 = -0,32 SERİ SOLA ÇARPIKTIR

Çözüm2 Moda dayalı çarpıklık: Mod: L 1 + ∆ 1 ∆ 1 + ∆ 2 .c = 5+ 2 2+1 .2=6,33 Çarpıklık = ( X −Mod) s = 5,8−6,33 1,87 = -0,28 SERİ SOLA ÇARPIKTIR

Örnek 3 A marka ampüller için yapılan ömür testinde, 150 ampülden tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız. Ömür (saat) Ampül sayısı 100-120 10 120-140 50 140-160 60 160-180 20 180-200

Çözüm 3 Ömür (saat) Ampül sayısı mi fimi fimi2 100-120 10 110 1100 121000 120-140 50 130 6500 845000 140-160 60 150 9000 1350000 160-180 20 170 3400 578000 180-200 190 1900 361000 Toplam 21900 3255000 Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir.

Çözüm 3

2-Kartil Çarpıklık Katsayısı Herhangi bir dağılıma ait kartil değerleriyle de söz konusu dağılımın asimetrisi hakkında fikir sahibi olunabilir. Kartillerden yararlanmak suretiyle belli bir dağılımın çarpıklığı Bowley tarafından geliştirilen formülle hesaplanır: 𝐐 ç = Q 3 − Q 2 −( Q 2 − Q 1 ) Q 3 − Q 1 = Q 3 −2 Q 2 + Q 1 Q 3 − Q 1

Örnek 4 X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pillerin ömür deneyi örneği için Bowley asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız Ömür (saat) Pil sayısı 100-120 10 120-140 50 140-160 60 160-180 20 180-200

Çözüm 4

3- Moment Çarpıklık Katsayısı Pearson çarpıklık ölçülerinin yanısıra uygulamada çoklukla kullanılan bir diğer çarpıklık ölçüsü de moment çarpıklık katsayısıdır. Bu ölçü ortalama etrafındaki üçüncü momentin standart sapmanın üçüncü kuvvetine bölünmesiyle elde edilir. Moment çarpıklık katsayısını 𝛼 3 ile gösterirsek; 𝜶 𝟑 = 𝝁 𝟑 𝒔 𝟑 𝛂 𝟑 =0 ise dağılım simetrik 𝛂 𝟑 >𝟎 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐬𝐚ğ𝐚 ç𝐚𝐫𝐩ı𝐤 𝛂 𝟑 <𝟎 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐬𝐨𝐥𝐚 ç𝐚𝐫𝐩ı𝐤

Basıklık Basıklık bir dağılımın diklik derecesinin ölçüsüdür. Bu konuda kullanılan en yaygın ölçü, moment basıklık katsayısıdır. Moment basıklık katsayısı, ortalama etrafındaki 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine bölünmesiyle elde edilir. 𝛼 4 = 𝜇 4 𝑠 4 𝛂 𝟒 = 3 ise yükseklik normal 𝛂 𝟒 >𝟑 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐝𝐢𝐤 𝛂 𝟒 <𝟑 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐛𝐚𝐬ı𝐤 Dağılımın normale göre daha basık olması, dağılımın değişkenliğinin fazla olduğunu gösterir. Dağılımın normale göre daha dik olması, serideki rakamların merkezi eğiliminin yüksek olduğunu gösterir.

Örnek 5 X 10 12 18 20 Yandaki serinin basıklık durumunu irdeleyiniz.

Çözüm 5 X X- 𝐗 (X− 𝐗 ) 𝟒 10 -5 625 12 -3 81 18 3 20 5 μ 4 = ( X− X ) 4 4 = 1412 4 = 353 𝛼 4 = 𝜇 4 𝑠 4 = 𝜇 4 𝜇 2 2 = 353 17 2 =𝟏,𝟐𝟐 𝟏,𝟐𝟐 <𝟑 Seri normale göre basıktır.

Örnek 6 X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz. b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız. c-) 3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız. d-) 4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız. Ömür (saat) Pil sayısı 100-120 10 120-140 50 140-160 60 160-180 20 180-200

Çözüm 6 Ömür (x10) fi Xi fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4 10–12 10 11 110 1210 13310 146410 12–14 50 13 650 8450 109850 1428050 14–16 60 15 900 13500 202500 3037500 16–18 20 17 340 5780 98260 1670420 18–20 19 190 3610 68590 1303210 Toplam 150 2190 32550 492510 7585590

Çözüm 6

Çözüm 6

Çözüm 6

Örnek 7 Bir sektördeki işletmeler büyüklülerine göre incelendiğinde, KOBİ tarzındaki işletme sayısının varyansı 6.219, aritmetik ortalamaya göre KOBİ tarzındaki işletme sayısının 3. dereceden momenti ise 0.6932 olarak hesaplanmıştır. Çarpıklık moment katsayısıyla, KOBİ tarzındaki işletme sayısının çarpıklığını yorumlayınız.

Çözüm 7 𝜶 𝟑 <𝟎 olduğuna göre, KOBİ tarzındaki işletme sayısı sola çarpıktır. Dolayısıyla, KOBİ tarzındaki işletmeler çoğunluktadır.

Örnek 8 Aşağıda GM firmasında meydana gelen hatalı kaparto üretim miktarlarının günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin; a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz. b) Asimetri ölçüsünü bulunuz. c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız.

Çözüm 8 Hatalı ürün Gün sayısı fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4 5 1 10 2 12 24 5 1 10 2 12 24 48 96 192 3 18 54 162 486 1458 4 11 44 176 704 2816 20 100 500 2500 Toplam 60 152 496 1796 6976

Çözüm 8 a) Sıfıra göre momentler: Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.

Çözüm 8

Çözüm 8

Çözüm 8

Çözüm 8