Algoritmalar DERS 2 Asimptotik Notasyon O-, Ω-, ve Θ-notasyonları Yinelemeler •Yerine koyma metodu Yineleme döngüleri Özyineleme ağacı Ana Metot (Master metod) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): Tüm n ≥ n0 değerleri için sabitler c > 0, n0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): ÖRNEK: 2n2 = O(n3) Tüm n ≥ n0 değerleri için sabitler c > 0, n0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. ÖRNEK: 2n2 = O(n3) (c = 1, n0 = 2) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): ÖRNEK: 2n2 = O(n3) Tüm n ≥ n0 değerleri için sabitler c > 0, n0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. ÖRNEK: 2n2 = O(n3) (c = 1, n0 = 2) fonksiyonlar, değerler değil September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.4

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): ÖRNEK: 2n2 = O(n3) Tüm n ≥ n0 değerleri için sabitler c > 0, n0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. ÖRNEK: 2n2 = O(n3) (c = 1, n0 = 2) komik, “tek yönlü” eşitlik (c = 1, n0 = 2) fonksiyonlar, değerler değil September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.5

O-notasyonunun tanımı O(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n0 değerlerinde c > 0, n0 > 0 ise ve 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

O-notasyonunun tanımı O(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n0 değerlerinde c > 0, n0 > 0 ise ve 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } ÖRNEK: 2n2 ∈ O(n3) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.7

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n2)'dir demenin bir anlamı yoktur. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.8

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n2)'dir demenin bir anlamı yoktur. Ω(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n0 değerlerinde c > 0, n0 > 0 ise ve 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) } September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.9

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n2)'dir demenin bir anlamı yoktur. Ω(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n0 değerlerinde c > 0, n0 > 0 ise ve 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) } ÖRNEK: n = Ω (lg n) (c = 1, n0 = 16) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Θ-notasyonu (sıkı sınırlar) Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩ Ω(g(n)) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Θ-notasyonu (sıkı sınırlar) Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩ Ω(g(n)) ÖRNEK: 1 n2 − 2n = Θ(n2 ) 2 September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.12

Θ, Ω ve O notasyonlarının grafik üzerinde örneklenmesi September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.13

ο ve ω notasyonları O-notasyonu ve Ω-notasyonu ≤ ve ≥ gibidir. o(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n0 değerlerinde c > 0 sabiti için n0 sabiti varsa 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } ÖRNEK: 2n2 = o(n3) (n0 = 2/c) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

ο ve ω notasyonları O-notasyonu ve Ω-notasyonu ≤ ve ≥ gibidir. o(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n0 değerlerinde c > 0 sabiti için n0 sabiti varsa 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } ÖRNEK: n = ω(lg n) (n0 = 1+1/c) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.15

Yinelemelerin çözümü Ders 1' deki birleştirme sıralaması analizi bir yinelemeyi çözmemizi gerektirmişti. Yinelemeler integral, türev, v.s. denklemlerinin çözümlerine benzer. Ders 3: Yinelemelerin "böl-ve-fethet" algoritmalarına uygulanması. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Yerine koyma metodu (yöntemi) En genel yöntem: Çözümün şeklini tahmin edin. Tümevarım ile doğrulayın. Sabitleri çözün. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Yerine koyma metodu (yöntemi) En genel yöntem: Çözümün şeklini tahmin edin. Tümevarım ile doğrulayın. Sabitleri çözün. ÖRNEK: T(n) = 4T(n/2) + n T(1) = Θ(1) olduğunu varsayın. O(n3)'ü tahmin edin. (O ve Ω ayrı ayrı kanıtlayın.) k< n için T(k) ≤ ck3 olduğunu varsayın. T(n) ≤ cn3'ü tümevarımla kanıtlayın. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Yerine koyma örneği T (n) = 4T (n / 2) + n ≤ 4c(n / 2)3 + n = cn3 − ((c / 2)n3 − n) istenen –kalan ≤ cn3 istenen (c/2)n3 – n ≥ 0 olduğu zamanlarda, örneğin, eğer c ≥ 2 ve n ≥ 1 ise. kalan September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Örnek (devamı) Başlangıç koşullarını da ele almalı,yani, tümevarımı taban şıklarına (base cases) dayandırmalıyız. •Taban: T(n) = Θ(1) tüm n < n0 için, ki n0 uygun bir sabittir. •1 ≤ n < n0 için, elimizde “Θ(1)” ≤ cn3, olur; yeterince büyük bir c değeri seçersek. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Örnek (devamı) Başlangıç koşullarını da ele almalı,yani, tümevarımı taban şıklarına (base cases) dayandırmalıyız. •Taban: T(n) = Θ(1) tüm n < n0 için, ki n0 uygun bir sabittir. •1 ≤ n < n0 için, elimizde “Θ(1)” ≤ cn3, olur; yeterince büyük bir c değeri seçersek. Bu, sıkı bir sınır değildir ! September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.21

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n2) olup olmadığını kanıtlayacağız. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n2) olduğunu kanıtlayacağız. Varsayın ki k < n için T(k) ≤ ck2 olsun: T (n) = 4T (n / 2) + n ≤ 4c(n / 2)2 + n = cn2 + n = cn2 – (– n ) ≤ cn2 [ istenen –kalan ] September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n2) olduğunu kanıtlayacağız. Varsayın ki k < n için T(k) ≤ ck2 olsun: T (n) = 4T (n / 2) + n ≤ 4c(n / 2)2 + n = cn2 + n = cn2 – (– n ) ≤ cn2 Yanlış c > 0 için eşitsizlik doğru değildir. Kaybettik. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.24

Özyineleme-ağacı metodu Özyineleme-ağacı, bir algoritmadaki özyineleme uygulamasının maliyetini (zamanı) modeller. Özyineleme-ağacı metodu, bazen güvenilir olmayabilir. Öte yandan özyineleme-ağacı metodu "öngörü" olgusunu geliştirir. Özyineleme-ağacı metodu "yerine koyma metodu" için gerekli tahminlemelerde yararlıdır . September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: çözün September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: çözün T(n) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: çözün n2 T(n/4) T(n/2) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: çözün n2 (n/4)2 (n/2)2 T(n/16) T(n/8) T(n/8) T(n/4) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: n2 (n/4)2 (n/2)2 (n/16)2 (n/8)2 (n/8)2 (n/4)2 … Θ(1) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: n2 n2 (n/4)2 (n/2)2 (n/16)2 (n/8)2 (n/8)2 (n/4)2 … Θ(1) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: n2 n2 5 n 2 (n/4)2 (n/2)2 16 (n/16)2 (n/8)2 (n/8)2 (n/4)2 … Θ(1) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: n2 n2 5 n 2 (n/4)2 (n/2)2 16 25 n (n/16)2 (n/8)2 (n/8)2 (n/4)2 2 256 … … Θ(1) September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2: n2 n2 5 n 2 (n/4)2 (n/2)2 16 25 n (n/16)2 (n/8)2 (n/8)2 (n/4)2 2 256 … … Θ(1) Toplam September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Ana Metod (The Master Method) Ana method aşağıda belirtilen yapıdaki yinelemelere uygulanır: T(n) = a T(n/b) + f (n) , burada a ≥ 1, b > 1, ve f asimptotik olarak pozitiftir. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 1. f (n) = O(nlogba – ε) ε > 0 sabiti durumunda f (n) polinomsal olarak nlogba göre daha yavaş büyür (nε faktörü oranında). ÇÖZÜM: T(n) = Θ(nlogba) . September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: f (n) = O(nlogba – ε) ε > 0 sabiti durumunda; f (n) polinomsal olarak nlogba göre daha yavaş büyür(nε faktörü oranında). Çözüm: T(n) = Θ(nlogba) . f (n) = Θ(nlogba ) durumunda; f (n) ve nlogba benzer oranlarda büyürler. Çözüm: T(n) = Θ(nlogba lgn) . September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: f (n) = Ω(nlogba + ε) ε > 0 sabiti durumunda; f (n) polinomsal olarak nlogba 'ye göre daha hızlı büyür ( nε faktörü oranında), ve f (n), düzenlilik koşulunu af (n/b) ≤ cf (n) durumunda, c < 1 olmak kaydıyla karşılar. Çözüm: T(n) = Θ(f (n)) . September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Örnekler Örnek. T(n) = 4T(n/2) + n a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n2; f (n) = n. Durum 1: f (n) = O(n2 – ε) ε = 1 için. ∴ T(n) = Θ(n2). September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Örnekler Ör. T(n) = 4T(n/2) + n a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n2; f (n) = n. Durum 1: f (n) = O(n2 – ε) ε = 1 için. ∴ T(n) = Θ(n2). Ör. T(n) = 4T(n/2) + n2 a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n2; f (n) = n2. Durum 2: f (n) = Θ(n2) olduğu için ∴ T(n) = Θ(n2lg n). September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Örnekler Ör. T(n) = 4T(n/2) + n3 a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n2; f (n) = n3. DURUM 3: f (n) = Ω(n2 + ε) ve 4(n/2)3 ≤ cn3 (düz. koş.) ∴ T(n) = Θ(n3). ε = 1için c = 1/2 için. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Örnekler Ör. T(n) = 4T(n/2) + n3 a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n2; f (n) = n3. DURUM 3: f (n) = Ω(n2 + ε) ve 4(n/2)3 ≤ cn3 (düz. koş.) ∴ T(n) = Θ(n3). ε = 1için c = 1/2 için. Ör. T(n) = 4T(n/2) + n2/lg n a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n2; f (n) = n2/lg n. Ana metod geçerli değil. Özellikle, ε > 0 olan sabitler için nε = ω(lg n) elde edilir. September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L2.42

Appendix/EK: Geometrik seriler 1 + x + x2 + ... + xn = 1 − x ; x ≠ 1 için 1 − x 1 1 + x + x2 + ... = ; |x| < 1 için 1 − x September 12, 2005 Copyright © 2001-5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson