Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.6.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.6. Verilen diferansiyel denklemde c veya c sabitlerinden en az birinin sıfır olmadığı varsayılmaktadır. Her ikisinin sıfır olduğu durumda eşitlik homojen diferansiyel türüne dönüşür. Bu diferansiyel denklemin çözümünde iki durumun gözönüne alınması gerekir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum-I: ax + by + c = 0 ve ax + by + c = 0 doğrularının kesişmesi durumu. Bu durum Şekil:1.2’de görülmektedir. Şekilden de görüldüğü gibi P noktasının koordinatları Oxy koordinat sistemine göre P(x,y) ve OXY koordinat sistemine göre P(X,Y)’dir. O noktasının bu iki doğrunun kesim noktası ve koordinatlarının (h, k) olduğunu varsayalım.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Şekil: 1.2. P noktasının Oxy ve O’XY koordinat eksenlerine göre pozisyonu.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (h, k) iki doğrunun kesim noktası olup doğru denklemlerinde yerine konduğunda ah + bk + c = 0 ve ah + bk + c = 0 olacağından (1.32) nolu eşitlik, (1.33) homojen denklem türüne dönüşür. Bu tür denklemlerin çözümü bir önceki bölümde açıklanmış idi.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit olmadığından doğrular kesişir. Kesim noktasının koordinatlarının (h, k) olduğu varsayılırsa, 2x + 3y –1 doğrusundan 2h + 3k – 1 = 0 ve x – 2y – 4 doğrusundan h – 2k – 4 = 0 eşitlikleri elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitliklerden h = 2 ve k = -1 değerleri bulunur. Verilen diferansiyel denklemde, x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem (1.34) homojen denklem türüne dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte, konursa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte, konursa (1.34) nolu eşitlik şekline dönüşür ve buradan,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm şeklinde olur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.18. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolayısıyla x = X + h den X = x – h = x– 1 ve y = Y + k dan Y = y – k = y – 1 elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür. Y = VX ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.37) bulunur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa genel çözümü elde edilmiş olur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.19. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Pay ve paydadaki doğruların eğimi eşit değildir. Dolayısıyla bu doğrular kesişir ve kesim noktasının (h, k) olduğunu varsayalım. 2h – k = 0 h +2k – 5 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur. Dolayısıyla X = x – 1 ve Y = y – 2’dir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel denklemimiz, (1.38) homojen denklem türüne dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz, şekline dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler genel çözümü elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek (1.39) olur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden elde edilir. eşitliği (1.39)’da yerine konursa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden elde edilir. eşitliği (1.39)’da yerine konursa (1.40)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur. Görüldüğü gibi verilen diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılmış olduğundan eşitliğinin integrali alınarak sonuca gidilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.20. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan doğrular paraleldir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla, olur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.42) elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.42) nolu eşitlik değişkenlerine ayrılabilir duruma düzenlenebilir. Bu eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa, ifadesinden

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliği bulunur. Bu eşitlikte z = x – 2y konursa (1.43) genel çözümü elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.21. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde, konursa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik (1.44) şekline dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.45) genel çözümü bulunur.