MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK  m Z+ için, tamsayılar kümesi üzerinde, ={(x,y) x-y, m ile bölünür} bağıntısı bir denklik bağintısıdır.Burada denklik sınıflarının kümesi {0,1,2,3,...(m-1)}dir.Bu küme Z/m olarak gösterilir. Örneğin; Z/4={0,1,2,3} , Z/5= {0,1,2,3,4} , Z/6={0,1,2,3,4,5}tir. Z/m kümesine,”m”nin kalan sınıfları kümesi denir.(a,b) ise; yani a ıle b aynı sınıfın elemanları ise , ab( mod m ) biçiminde gösterilir. Örneğin; 13 1(mod 4) ifadesinde, 13’ün 4 ile bölünmesinden elde edilen kalanın 1 olduğuna dikkat ediniz.

TEOREM: x,y,u,vZ ve m1 için, xy (mod m) uv (mod m) ise, x+u  y+v (mod m) TEOREM: x,y,u,vZ ve m>1 için, u v (mod m) ise x.u  y.v(mod m) TEOREM: x,yZ ve n  N+ için, xn  yn (mod m)

TANIM: p,q  Z/m için, p+q=p+q ve p.q=p.q ÖRNEK:Bu tanımdan yaralanarak,Z/4 kümesinde toplama işleminin tablosunu yapınız ve özelliklerini belirtiniz.

ÇÖZÜM: Z/4={0,1,2,3}dir.Bu kümenin elemanlarını kullanarak, 1+2=1+2=3, 2+3=2+3=1, 1+3=1+3=0... Z/4 te tanımlı bu tür toplama işlemlerinin tamamını aşağıdaki tablo ile gösterebiliriz.

+ 0 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2

Bu tablodan yaralanılarak, a) Z/4 kümesi , + işlemine göre kapalıdır. b) Z/4 kümesinde,+ işleminin değişme özelliği vardır. c) Z/4 kümesinde ,+ işleminin birleşme özelliği vardır. d) Z/4 kümesinde,+ işleminin birim elemanı,0(sıfır)dır. e) xZ/4‘nin, + işlemine göre tersi vardır.

ÖRNEK: 3123 sayısının , 5 ile bölümünden elde edilen kalan nedir?

3123 x (mod 5) eşitliğindeki x,istenilen kalandır. 31  3 (mod 5) 32 4 (mod 5) (32=9 un, 5 ile bölümünden kalan 4’tür.) (32)2  42 (mod 5) 34 1 (mod 5) (42=16 nın, 5 ile bölümünden kalan 1’dir.) (34) 30 130 (mod 5) 3120 1 (mod 5) 33 2 (mod 5) ise 33 .3120 1.2 (mod 5) 3123 2 (mod 5) O halde istenilen kalan x=2 dir. ÇÖZÜM

ÖRNEK: 26155 sayısının, 7 ile bölünmesinde elde edilen kalan nedir? ÇÖZÜM: 26  5 (mod 7) 262  4 ( mod 7) 263  6 (mod 7) 264  2 (mod 7) 265  3 (mod 7) 266  1 (mod 7) (266)25  125 (mod 7) 26150  1 (mod 7) 265.26150  1.3 (mod 7)26155  3 (mod 7) O halde,26155 sayısının, 7 ile bölümünden bulunan kalan 3 tür.

ÖRNEK: 2353 ,sayısının birler basamağındaki rakamı bulunuz. ÇÖZÜM: Bir sayının birler basamağındaki rakam, o sayının 10 ile bölünmesinde bulunan kalana eşittir. O halde 2353  x ( mod 10) ifadesindeki x i bulalım. 23  3 (mod 10) 232  9 (mod 10) 23 3 7 (mod 10) 23 4 1 (mod 10) (234)13  113 (mod 10) 2352  1 (mod 10) 23.2352  3.1 (mod 10)  2353  3 ( mod 10) O halde , 2353 sayısının birler basamağındaki rakam 3 tür.

çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK: Z / 5 te 3x+4=3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÖRNEK:Z / 5 t 3x+4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK:Z / 5 t 3x+4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM: Z / 5 = {0,1,2,3,4}kümesinde tanımlanan + ve  işlemlerinin tablolarını yapalım. + 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 Bu tablodan yararlanarak denklemi çözelim. 3x+4=3 3x+4+1+=3+1  3x=4 2. 3. x=2 .4  x= 8=3 (mod 5) O halde, denklemin çözüm kümesi Ç= {3}tür. .