KARMAŞIK SAYILAR

GİRİŞ: x2+1=0  x2=-1 olup, bu eşitliği sağlayan bir gerçek sayı yoktur. O halde bu tür denklemler için daha geniş sayı sistemlerinin tanımlanması gerekmektedir. İşte karmaşık sayılar kümesi, gerçek kökleri olmayan denklemlerin de çözümlerinin yapılabileceği bir kümedir. Tanım 1: i= sayısına sanal (imajiner) sayı birimi, bR olmak üzere bi türündeki sayılara da sanal sayılar denir. Tanım 2: a,bR ve i= veya i2= -1 olmak üzere a+bi biçimindeki sayılara karmaşık sayılar denir.

C={z:z=a+bi, a,bR ve i2=-1} kümesine karmaşık sayılar kümesi denir. z=a+bi karmaşık sayısının gerçek kısmı R(z)=a, sanal kısmı Im(z)=b şeklinde gösterilir. z=a+bi aynı zamanda bir karmaşık sayının standard formda gösterimi olarak adlandırılır. Örnek 1: z=2-4i karmaşık sayısının gerçek ve sanal kısımlarını bulun. Çözüm: R(z)=2, Im(z)=-4. Örnek 2: z=6i karmaşık sayısının gerçek ve sanal kısımlarını bulun. Çözüm: R(z)=0, Im(z)=6.

Bir Karmaşık Sayının Karmaşık Düzlem Üzerinde Gösterimi: Örnek: z1=3-4i, z2=-2+i, z3=-2i, z4=1+3i karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde şu şekilde gösteririz. Im(z) R(z) 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 z1 z2 z3 z4

a+bi=c+di  a=c ve b=d Karmaşık Sayıların Eşitliği: z1=a+bi ve z2=c+di karmaşık sayıların eşit olması için bu sayıların hem gerçek hem de sanal kısımlarının birbirine eşit olması gerekir. a+bi=c+di  a=c ve b=d Örnek 1: 5x+2yi-3+4i=7-3xi olması için (x,y) ikilisi kaç olmalıdır? Çözüm: 5x-3=7  x=2 2y+4= -3x  2y+4= -6  y= -5 (x,y)=(2,-5)

Karmaşık Sayılarda Toplama, Çıkarma ve Çarpma İşlemleri: z1=a+bi ve z2=c+di olsun. i) z1+z2=(a+c)+(b+d)i ii) z1-z2=(a-c)+(b-d)i iii) z1.z2=ac-bd+(ad+bc)i Örnek 1: z1=3+4i ve z2=-1+5i ise i) z1+z2, ii) z1-z2 ve iii) z1.z2 nin değerlerini bulunuz. Çözüm: i) z1+z2=3-1+(4+5)i= 2+9i ii) z1-z2=3-(-1)+(4-5)i= 4-i iii) z1.z2= -3+15i-4i+20i2=-23+11i

=i Sanal Sayısının Kuvvetleri: i3=-i i4=1 Buna göre kZ+ olmak üzere ik sayısını hesaplamak için k’nın değerini (mod 4)’e göre bulmak yeterlidir. Şöyle ki ik=1 (k0, mod 4) ik=i (k1, mod 4) ik=-1 (k2, mod 4) ik=-i (k3, mod 4)

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği: Örnek: i2383=? Çözüm: 2383=4.595+3 2383  3 (mod4) i2383=i3=-i Bir Karmaşık Sayının Eşleniği: z=a+bi karmaşık sayısı veriliyor. z=a-bi karmaşık sayısına z=a+bi karmaşık sayısının eşleniği denir. Örnek: a) z1=3-5i, b) z2=-1+5i, c) z3=5 karmaşık sayılarının eşleniklerini yazınız. Çözüm: a) z1=3+5i b) z2=-1-5i c) z3=5.

Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü): a b z=a+bi IzI Im(z) R(z) Bir z=a+bi karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü), bu sayının, karmaşık düzlemde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığıdır ve IzI olarak gösterilir. Yandaki şekle göre IzI=Ia+biI= z=a+bi ise z=a-bi, -z=-a-bi, -z=-a+bi dir. Buna göre IzI=IzI=I-zI=I-zI= olur. Örnek: z=3-2i ise I-zI=? Çözüm: IzI=I-zI= olur.

Bir Karmaşık Sayının Çarpmaya Göre Tersi: karmaşık sayısı z sayısının çarpmaya göre tersi olur. z=a+bi için olur. Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi: z1=a+bi ve z2=c+di ise bölümünü Bulmak için pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. Örnek: z1=3-i ve z2=2+3i ise z1/z2 nedir? Çözüm:

Bir Karmaşık Sayının Standard Formu ile İlgili Örnekler: NOT: 1) z=a+bi karmaşık sayısı için z.z=(a+bi).(a-bi)=a2+b2 olur. Yani z.z=IzI2 dir. 2) z ve z karmaşık sayıları reel eksene göre simetriktir. 3) z ve –z karmaşık düzlemde başlangıç noktasına göre simetriktir. Bir Karmaşık Sayının Standard Formu ile İlgili Örnekler: 1) z=(3+i)(1-3i)3 ise IzI=? Çözüm: IzI=I3+iI.I1-3iI3= =100 2) IzI2+5i=4z+9i-3 ise z karmaşık sayısı nedir? Çözüm: z=x+yi olarak tanımlanırsa IzI2+5i=4z+9i-3 x2+y2+5i=4x+4yi+9i-3  x2+y2=4x-3 ve 4y+9=5  y=-1 x2+1=4x-3  x2-4x+4=0  x=2 Sonuç olarak z=2-i olur.

3) z=-2+i ise Iz-1I=? Çözüm: 4) Çözüm: z1=2.2i+3.3i+5=5+13i z2=1-i

Bir Karmaşık Sayının Kutupsal Koordinatlarla Gösterimi: (a,b)=a+bi a b Im(z) R(z) Kartezyen biçimde z=a+bi olarak tanımlanan bir karmaşık sayının gösterilişi biçimindedir. a b (a,b)=a+bi r=IzI Im(z) R(z)  Şekle göre, Sin=b/r  b=r.Sin Cos=a/r  a=r.Cos dır. z=a+bi oldugğuna göre “a” yerine rCos ve “b” yerine rSin yazılırsa z=rCos+irSin=r(Cos+iSin) olur.

z=a+bi kartezyen veya standard biçim z= r(Cos+iSin) kutupsal veya trigonometrik biçim olarak adlandırılır. (a,b) kartezyen koordinatlar (r,) kutupsal koordinatlar olarak adlandırılır. Bir karmaşık sayı z= r(Cos+iSin) biçiminde yazıldığında ’ya z karmaşık sayısının argümenti denir ve Argz= şeklinde gösterilir. 0<2 ise ’ya z’nin esas argümenti ve kZ olmak üzere z’nin esas argümenti  ise 2k+ sayılarına da argümentleri denir. z= r(Cos+iSin) nın kısa olarak yazılışı z=rcis olarak gösterilir.

z=a+bi= r(Cos+iSin)= rcis Argz= r=IzI= tan=b/a Örnek 1: karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazın. -1 Im(z) R(z) r  Çözüm: z sayısını kutupsal biçimde yazmak için IzI=r ve  bulunur. IzI=r= =2 tan= dır. Argümenti doğru belirlemek için karmaşık sayının hangi bölgede olduğuna bakılır ve =1800 -300 =1200. Argz=1200 olarak bulunur. O halde kutupsal biçimde gösterimi z=2cis1200 dir.

Örnek 2: z=6(Cos3000+iSin3000) karmaşık sayısını kartezyen biçimde gösterin. Çözüm: Cos3000=Cos(3600-600)=Cos 600=1/2 Sin3000=Sin(3600-600)=-Sin600= O halde z=

Kutupsal Biçimde Verilen Karmaşık Sayılarda İşlemler: z1=r1(cos1+isin1) Z2=r2(cos2+isin2) ise 1) z1.z2=r1.r2[cos(1+2)+isin(1+2)] 2) z1n=r1n(cos n1+isin n2) (De Moivre teoremi) 3)

Örnekler Soru 1: z1=2cis40 ve z2=5cis170 ise z1.z2 karmaşık sayısını kartezyen (standard) biçimde bulun. Çözüm: z1.z2 =2cis40.5cis170 =10 cis(40+170) =10 cis 210

Soru 2: z1=2cis110 ve z2=8cis200 ise z1/z2 karmaşık sayısını kartezyen (standard) biçimde bulun. Çözüm: =4cis90 =4i.

Soru 3: karmaşık sayısını standard formda bulun. Çözüm: z10 sayısının bulunabilmesi için önce z sayısı kutupsal biçimde yazılır. =Arg z=3000 z=2cis3000 zn=rncisn olduğu bilindiğinden z10=210cis10.300=210cis30000 =210cis1200

Soru 4: karmaşık sayısının esas argümentini bulun. Çözüm: olduğu biliniyor. Arg z1=1500

Soru 5: 2z=z+1+3i olduğuna göre z-1 karmaşık sayısının esas argümenti nedir? Çözüm: z=a+bi 2a+2bi=a-bi+1-3i a+3bi=1-3i a=1 b=-1 z=1-i Arg(z-1)=450

Karmaşık Sayıların Kökleri: Bir z karmaşık sayısının nN+ olmak üzere n’inci kuvvetten kökü olarak gösterilir ve koşulunu sağlayan w sayılarıdır. z= rcis(+k2) sayıları z’nin n’inci kuvvetten kökleridir.

Örnek 1: karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. Çözüm: Karekökler istendiğine göre kökler;