3. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir. Bir polinomun kökleri polinomun yatay ekseni kestiği (fonksiyonun sıfır değerini aldığı) yerdeki bağımsız değişkenin değeridir. 2. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir. 3. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir. Birinci kök İkinci kök Üçüncü kök

Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz. Bir Polinomun Kökleri: Matlab programı n dereceli bir polinomun köklerini hesaplamak için kullanılabilir. Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz. ans = -1.0604 + 1.0863i -1.0604 - 1.0863i 0.5207 >>p=[5 8 6 -6]; roots(p) Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz. ans = 1.0043 + 2.7517i 1.0043 - 2.7517i -1.4940 + 0.3852i -1.4940 - 0.3852i 0.9793 >>p=[1 0 4 16 0 -20]; roots(p) Tüm katsayılar sıfır olanlarla birlikte mutlaka belirtilmelidir. Aksi halde polinomun derecesi azaltılmış olur.

NEWTON-RAPHSON İTERASYON YÖNTEMİ Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü : NEWTON-RAPHSON İTERASYON YÖNTEMİ f(x) x xi (Başlangıç değeri) f(xi)-0 Xi+1 Bu noktadaki eğim f'(xi) f(xi) Teğet çizgi Newton-Raphson yöntemi veya Newton yöntemi denklemlerin sayısal çözümleri için güçlü bir tekniktir. Diferansiyel hesaba çok benzer olarak basit doğrusal yaklaşımın fikrini temel almaktadır. Bu yöntem gerçek değerli fonksiyonların gerçek köklerini oldukça iyi yaklaşımla bulmak için bir yöntemdir. ε (hata)

θ f f ' ε Newton-Raphson Örnek 1: Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: Newton-Raphson Örnek 1: Verilen denklemi sağlayan θ değerlerinden birini bulunuz. θ f f ' ε 1 -1.5858 2.3536 0.6738 1.6738 0.4368 3.6534 -0.1196 1.5542 0.0139 3.4213 -0.0041 1.5501 -0.00013 3.4134 3.95e-5

u f f ' ε Newton-Raphson Örnek 2: Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: Newton-Raphson Örnek 2: Verilen denklemi sağlayan u değerlerinden birini bulunuz. u f f ' ε 1 4.3899 5.4233 -0.8094 0.1905 -1.4883 6.6229 0.2247 0.4152 0.1569 7.8429 -0.0200 0.3952 0.00025 7.7801 -3.32e-5

Problemleri çözmek için programdaki (nr1.m) şu değişiklikler yapılır. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: MATLAB KODLARI Problemleri çözmek için programdaki (nr1.m) şu değişiklikler yapılır. Newton-Raphson Örnek 1: Newton-Raphson Örnek 2: clc, clear x=1;xe=0.001*x; niter=20; %---------------------------------------------- for n=1:niter f=x^2-4+sqrt(x+1); df=2*x+0.5/(sqrt(x+1)); x1=x x=x1-f/df if abs(x-x1)<xe kerr=0;break end kerr,x clc, clear x=1;xe=0.001*x; niter=20; %---------------------------------------------- for n=1:niter f=5*x-cos(3*x)-1.6; df=5+3*sin(3*x); x1=x x=x1-f/df if abs(x-x1)<xe kerr=0;break end kerr,x x = fzero(@(x)x^2-4+sqrt(x+1),1) x = fzero(@(x)5*x-cos(3*x)-1.6,1)

NEWTON RAPHSON YÖNTEMİNİN TUZAKLARI Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: NEWTON RAPHSON YÖNTEMİNİN TUZAKLARI Kök civarında dönüm noktası olması durumu Yerel maksimum ve minimumlar etrafında bu yöntem salınma eğilimi göstermektedir Sıfır eğime yaklaştıkça ilgilenilen kökten çok uzaklaşılmaktadır. Sıfır eğim bu yöntem için tam bir felakettir. Çünkü formülde sıfıra bölmeye neden olur.

f1(x1,x2)=0 f2(x1,x2)=0 Newton-Raphson Örnek 3: Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: Newton-Raphson iterasyon yöntemi doğrusal olmayan denklem takımların çözümü için de kullanılır. Birden fazla denklem ve bilinmeyen değişken olduğu için çözüm işlemlerinde denklemlerin her bir bilinmeyen değişkene göre kısmi türevleri kullanılır. f1(x1,x2)=0 f2(x1,x2)=0 X1 ve x2 için gelişigüzel başlangıç değerleri atanır ve iterasyon işlemi bilgisayar programındaki (nr.m) gerekli değişikliklerin yapılması ile başlatılır. Değişkenler program içinde x() olarak ifade edilirler. Newton-Raphson Örnek 3: Merkez koordinatı (3,2) ve yarıçapı 5 olan dairenin denklemi sol taafta verilmiştir. Bu daire ile y=x2 parabolünün kesişim noktalarını nasıl bulursunuz?

Problemleri çözmek için programdaki (nr.m) şu değişiklikler yapılır. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: Problemleri çözmek için programdaki (nr.m) şu değişiklikler yapılır. clc, clear x=[1 4] ;xe=0.001*x; niter1=5;niter2=50; %---------------------------------------------- xe=transpose(abs(xe));kerr=1; for n=1:niter2 a(1,1)=2*(x(1)-3);a(1,2)=2*(x(2)-2); a(2,1)=-2*x(1);a(2,2)=1; b(1)=-((x(1)-3)^2+(x(2)-2)^2-25); b(2)=-(x(2)-x(1)^2); %---------------------------------------------- bb=transpose(b);eps=inv(a)*bb;x=x+transpose(eps) if n>niter1 if abs(eps)<xe kerr=0;break end x 1 2 3 4 9 x y (-1.82, 3.321) (2.643, 6.987) Çizimde görüldüğü gibi iki geçerli çözüm seti vardır. Çözüm setinin değeri bilinmeyen değişkenlerin başlangıç değerleri tarafından belirlenir.