Beklenen değer ve Momentler Çoğu zaman rassal değişkenin olasılık dağılımının yanı sıra onun özelliklerini yansıtan parametreleri ile ilgilenilir. Rassal değişkene ait olasılık fonksiyonları ile işlem yapılabilmesi için öncelikle bu parametrelerin bilinmesi gerekir. Olasılıkta bir olayın davranışına ait fonksiyonun parametreleri için ilk ele alınan kavram beklenen değer ve bunun uzantısı olan moment kavramdır. Beklenen değer, ya da matematik ümit, kısaca rassal değişkenin aritmetik ortalamasıdır. Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile gösterilir ve şöyle tarif edilir.

Beklenen değer Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile gösterilir ve şöyle tarif edilir. Şu halde beklenen değer rassal değişkenin aldığı değerler ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımının toplamına eşittir. Beklenen değerin buluna bilmesi için serisinin yakınsak, integralinin belirli olması gerekir.

Beklenen Değer Örnek: Bir futbol takımının yaptığı maçlarda attığı gol sayılarının dağılımının aşağıdaki gibi olduğu verilmiştir. Buna göre takımın yaptığı bir maçta attığı gol sayısının beklenen değeri ne olur? Çözüm: Beklenen değer tarifinden E(X) = ∑xif(xi) işlemi yapılır. Attığı gol sayısı (xi) 1 2 3 4 Toplam Olasılığı f(xi) 0,15 0,2 0,25 0,3 0,1

Beklenen Değer Şu halde takımın yaptığı maçlarda beklenen gol sayısı E(X) = 2 olur. Örnek: Üç para ile yapılan atışta yazı sayısının beklenen değeri ne olur? Çözüm: Üç para ile yapılan atış deneyinin örnek uzayı 23 =8 nokta içerir. Yazı sayısı değişkeni (X) ise 0,1,2,3 değerlerini alır. Önce rassal değişkenlerin bu değerleri alma olasılıkları belirlenerek beklenen değer hesaplanır. Attığı gol sayısı (xi) 1 2 3 4 E(X) olasılığı f(xi) 0,15 0,2 0,25 0,3 0,1 ∑xif(xi) 0,5 0.9 0,4

Beklenen Değer Beklenen değer E(X) 1,5 Yazı sayısı (xi) Olasılık f(xi) Xif(xi) 0*0.125 = 0 1 1*0.375 = 0,375 2 2*0.375 = 0,75 3 3*0,125 = 0,375 Beklenen değer E(X) 1,5

Beklenen Değer Örnek: Aşağıda verilen sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle X rassal değişkeninin beklenen değerini bulunuz. Çözüm

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri Beklenen değer teorik bir değer olup X rassal değişkeninin tartılı aritmetik ortalamasıdır. Belli bir deney sonucu beklenen değerin mutlaka elde edileceğini söylemek mümkün değildir. Ancak deney sayısının arttırılması halinde sonucun beklenen değere yaklaşacağını söylemek mümkündür. X rassal değişkeni xi değerini alırken g(x) rassal değişkeni de X e bağlı olarak g(xi) değerini alabilir. Bu durumda g(x) in beklenen değeri şöyle olur.

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri Örnek: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir. Yukarıdaki tablodan hareketle; a) E(X2) b) E(3X+4) c) E(X3/3) beklenen değerlerini bulunuz. X 1 2 3 4 5 f(xi) 0.1 0.3 0.35 0.2 0.05

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri Çözüm a) E(X2) = 8.9 b) E(3X+4) = 12.4 X = x 1 2 3 4 5 Toplam f(xi) 0.1 0.3 0.35 0.2 0.05 xi2 9 16 25 xi2f(xi) 1.2 3.15 3.2 1.25 8.9 X = x 1 2 3 4 5 Toplam f(xi) 0.1 0.3 0.35 0.2 0.05 3x+4 7 10 13 16 19 (3x+4)f(xi) 0.7 4.55 3.2 0.95 12,4

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri Örnek: X sürekli değişkeni için oyf aşağıdaki gibi verilmiştir. a) E(X3) b) E(2X2+3) c) E(X2/3) bulunuz. Çözüm a)

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri c)

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri Teorem 1. c bir sabit sayı ise c nin beklenen değeri E(c) olur. Teorem 2. c bir sabit, X sürekli veya kesikli rassal değişken ise E(cX) = c·E(X) veya, E[c(g(x)] = c·E[g(x)] olur. Teorem 3. a ve b sabit X kesikli veya sürekli bir rassal değişken ise; E(a·X + b) = a·E(X)+b olur. Teorem 4. X ve Y kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise; E(X + Y) = E(X) + E(Y) olur. Teoremi genelleştirirsek: X1,X2,…,XN ortalamaları E(X1),E(X2),…,E(XN) olan rasgele değişkenler olsunlar. E(X1+X2+…..+XN) = E(X1)+E(X2)+…..+E(XN) olur. Teorem 5. u(x) ve v(x) X rassal değişkeninin iki olasılık fonksiyonu, a ve b sabit sayılar ise; E[ a·u(x) + b·v(x)] = a·E[u(x)] + b·E[v(x)] olur. Teorem 6. X ve Y bağımsız kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise; E(X·Y) = E(X)·E(Y) olur.

Beklenen Değer İşleminin Özellikleri Teorem7. X ve Y kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise; Teorem 8. a ve b sabit sayılar X rassal değişkeni kesikli veya sürekli ise;

Beklenen Değerle İlgili Örnekler Örnek: Bir firma ürettiği mamulleri 100 birimlik kutulara koyarak pazarlamaktadır. Kutularda bulunan kusurlu mamul sayıları ve olasılıkları şöyledir. Bu verilere göre a) Kutlarda beklenen (ortalama) kusurlu mamul sayısını bulunuz. b) E(3X+4) ü bulunuz c) E(X2/2) yi bulunuz. d) Mod ve medyanını bulunuz. Çözüm: a) Kusurlu sayısı (X) 1 2 3 4 5 Toplam Olasılık f(xi) 0,7 0,14 0,09 0,04 0,02 0,01 xif(xi) 0,18 0,12 0,08 0,05 E(X)=0,57

Beklenen Değerle İlgili Örnekler b) E(3X+4) = 3E(X)+4 =3*0.57+4 → E(3X+4) = 5.71 c) d) Mod frekansı (olasılığı) en yüksek değerdir. Mod=0 e) Medyan dağılımın ortası, yani kümülatif olasılığın 0.5 olduğu noktadır. Medyan = 0 Kusurlu sayısı (X) 1 2 3 4 5 Toplam X2 9 16 25 Olasılık f(xi) 0,7 0,14 0,09 0,04 0,02 0,01 xi2 f(xi) 0,36 0,32 0,25 E(X2)=1,43

Beklenen Değerle İlgili Örnekler Medyan: Bir dağılımı iki eşit parçaya bölen değer medyan olarak tanımlanır. Kesikli dağılımlar için medyan Olasılıklar toplamının 0,5 e eşit olduğu değere eşit olur. Yani ∑f(xi)=0,5 yapan xi değeri medyan olur. Sürekli dağılımlarda medyan şöyle ifade edilir. yapan x değeri medyan olur. Mod: Bir dağılımda en çok tekrarlanan değerdir (tepe değer). Kesikli dağılımlarda olasılığı en büyük olan değerdir. Sürekli dağılımlarda tek maksimumlu fonksiyonlar için dağılımın türevini sıfır yapan değerdir. d) Mod frekansı (olasılığı) en yüksek değerdir. Mod=0 e) Medyan dağılımın ortası, yani kümülatif olasılığın 0.5 olduğu noktadır. Medyan = 0

Beklenen Değerle İlgili Örnekler Örnek: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir. Buna göre; a) X in beklenen değerini [E(X)] bulunuz. b) (3x3-4) ün beklenen değerini [ E(3x3-4)] bulunuz. c) E(2X2/5) i bulunuz. d) Medyanı bulunuz.

Beklenen Değerle İlgili Örnekler a) b) c)

Beklenen Değerle İlgili Örnekler d) Medyan

Beklenen Değerle İlgili Örnekler Örnek: Aşağıda bileşik bir olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir. a) E(X+Y) yi bulunuz. b) E(XY) = E(X)*E(Y) durumunu araştırarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını belirleyiniz. Çözüm: E(X+Y) = E(X)+E(Y) için önce marjinal fonksiyonlar elde edilir.

Beklenen Değerle İlgili Örnekler a)

Beklenen Değerle İlgili Örnekler X ve Y bağımsız olduğunda E(XY)=E(X)*E(Y) idi E(X)= 2 ve E(Y)=1.5 bulunmuştu. Buna göre; E(XY)=E(X)*E(Y) = 2*1.5 =3 olur. Şu halde E(XY)=E(X)*E(Y) olduğundan X ve Y bağımsız rassal değişkenlerdir.

Beklenen Değerle İlgili Örnekler Örnek: Aşağıda verilen kesikli bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle a) E(X+Y) yi hesaplayınız. b) E(XY) yi hesaplayarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını araştırınız. Y takımının attığı gol sayısı X takımının attığı gol sayısı fy(yi) 1 2 3 0,1 0,15 0,05 0,4 0,03 0,28 0,07 0,04 0,21 0,02 0,11 fx(xi) 0,25 0,34 0,24 0,17

Beklenen Değerle İlgili Örnekler Çözüm a) E(X+Y)=E(X)+E(Y) olduğuna göre: E(X+Y) = 1.33+1.03 = 2.36 olur. X 1 2 3 Toplam fx(xi) 0.25 0.34 0.24 0.17 xi fx(xi) 0.48 0.51 1.33 Y 1 2 3 Toplam fy(yi) 0.4 0.28 0.21 0.11 yi fy(yi) 0.42 0.33 1.03

Beklenen Değerle İlgili Örnekler b) X ve Y rassal değişkenleri bağımsız ise E(XY) = E(X)*E(Y) olur. E(XY)=1*0.1+2*0.07+3*0.02+2*0.05+4*0.05 +6*0.04+3*0.03+6*0.04+9*0.05= 1.62 E(X) = 1,33 ve E(Y)=1.03 olup, E(X)*E(Y) = 1.33*1.03 = 1,37 E(XY)=1.62 ≠ E(X)*E(Y) = 1.37 olduğundan X ve Y bağımsız değildir.

Momentler Moment bir rassal değişkenin nasıl dağıldığını belirlemede kullanılan ölçüler olarak tarif edilmişti. Momentler sıfıra (orjine) veya aritmetik ortalamaya göre hesaplanırlar. Bir dağılımın sıfıra göre momenti kendisine ait rassal değişkeninin kuvvetlerinin beklenen değeri olarak tarif edilebilir. X rassal değişkeninin sıfıra göre r. momenti Mr ile gösterilir ve şöyle yazılır. Kesikli dağılımlar için : Sürekli dağılımlar için: Burada : r momentin derecesi olup r=0,1,2,3,4 olur.

Orjine (Sıfıra) Göre Momentler r=0 için: r = 1 için X rassal değişkeninin beklenen değeri yani aritmetik ortalaması elde edilir. r = 2 için X in kareli ortalamasının karesi elde edilir.

Aritmetik ortalamaya göre momentler Daha üst dereceden orjine göre momentler de benzer şekilde hesaplanırlar. Orjine göre momentler dağılımın şeklini belirlemede kullanılan aritmetik ortalamaya göre momentlerin elde edilmesinde kullanılırlar. Aritmetik ortalamaya göre moment: rassal değişkenin kendi ortalamasından farklarının kuvvetlerinin beklenen değeri olarak tarif edilir ve şöyle gösterilir.

Aritmetik ortalamaya göre momentler r momentin derecesi olup r = 0,1,2,3,4 gibi değerler alır. r = 0 için µ0= 1 dir. Çünkü bu moment olasılıklar toplamından başka bir şey değildir. r = 1 için µ1 sıfıra eşit olur. Sürekli dağılımlar için de bu durum geçerlidir.

Varyans r = 2 için µ2 varyansa eşittir. Ortalamaya göre ikinci moment olan varyans bir dağılma (sapma, yayılma) ölçüsü olup standart sapmanın karesine eşittir. Varyans, rassal değişkenin aldığı değerlerin aritmetik ortalamaya olan uzaklıklarının bir göstergesidir.

Varyansla İlgili Teoremler Teorem 1. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken ve c gerçek bir sabit ise Var(c) = 0 Var(X+c) = Var(X) olur. Teorem 2. X varyansı Var(x) olan rassal değişken, c gerçek bir sabit ise Var(cX) = c2Var(X) olur. İspatı: Var(cX)= E[(cx)2]-[(E(cX))2] E(cX) = cE(X) = cM1 E[(cx)2] =E[c2X2] = c2E(X2) = c2M2 Var(cX)= E[(cx)2]-[(E(cX))2] idi Var(cX) = c2M2 – (cM1)2 Var(cX)= c2(M2-M12) Var(cX) = c2Var(X) olduğu görülür. Teorem 3. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken a ve b gerçek sabitler ise; Var(aX+b) = a2Var(X) olur.

Varyansla İlgili Teoremler Teorem 4. X ve Y değişkenlerinin ortalaması sırasıyla E(X) = µx ve E(Y) = µy, varyansları Var(X) = x2 ve Var(Y) = y2 olup bağımsız iki rassal değişken olsunlar. Bu iki değişkenin toplamının varyansı şöyle olur. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) olur. Yukarıdaki teoremi N tane bağımsız değişken için de şöyle yazabiliriz. Var(X1+ X2 + X3 +……+ XN) = Var(X1)+Var(X2)+….+Var(XN)

Ortalamaya Göre Üçüncü Moment Ortalamaya göre 3. moment rassal değişkenin dağılımının asimetrisini belirlemede kullanılan bir momenttir. Orjine göre momentlerle aritmetik ortalamaya göre momentler arasındaki ilişki Binom teoremi kullanılarak bulunabilir. Binom açılımı şöyle yazılır; Binom açılımı aritmetik ortalamaya göre momentler için de yazılabilir.

Ortalamaya Göre Üçüncü Moment Bu açılımı aritmetik ortalamaya göre 3. moment için yaparsak; elde edilir.

Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3) Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3) olasılık dağılımının çarpıklığını belirlemeye yarayan bir ölçü olup şöyle hesaplanır. 3 = 0 ise dağılımın simetrik, 3 > 0 ise dağılımın sağa çarpık, 3< 0 ise dağılımın sola çarpık olduğu kabul edilir. ise dağılımın aşırı çarpık olduğu ise dağılımın hafif asimetrik olduğu kabul edilir.

Ortalamaya Göre Dördüncü Moment Aritmetik ortalamaya göre 4. moment dağılımların basıklığını belirlemede kullanılan bir ölçü olup şöyle tarif edilir. 4. momenti de sıfıra göre momentlerle ifade etmek mümkündür. Bunun için Binom açılımı uygulanırsa: elde edilir.

Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4) Momentlere dayanan basıklık ölçüsü (4) olasılık dağılımının normal dağılıma göre basık ya da sivriliğinin belirlenmesinde kullanılan bir ölçüdür. (4) basıklık ölçüsü şöyle hesaplanır ve yorumlanır. 4 = 3 ise dağılımın normal basık, 4 > 3 ise dağılımın normale göre sivri, 4 < 3 ise dağılımın normal dağılıma göre daha basık olduğu kabul edilir. 4 değeri 3 ten ne kadar uzaklaşırsa o ölçüde dağılım sivri ya da basık hale gelir.

Momentlerle İlgili Örnek X sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir. Yukarıdaki fonksiyondan hareketle a) Beklenen değeri, b) Varyans ve standart sapmayı, c) Sıfıra göre momentleri bulunuz. d) µ3 (aritmetik ortalamaya göre 3. moment) e) 3 asimetri ölçüsünü, f) µ4 (aritmetik ortalamaya göre 4. moment) g) 4 basıklık ölçülerini bulup yorumlayınız.

Momentlerle İlgili Örnek Çözüm a) b) Standart sapma

Momentlerle İlgili Örnek c) Sıfıra göre momentler d) aritmetik ortalamaya göre 3. moment

Momentlerle İlgili Örnek e) 3 asimetri ölçüsü: f) Ortalamaya göre 4. moment (µ4) g) 4 basıklık ölçüsü:

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı X ve Y gibi iki değişkenin birlikte değişimini gösteren ölçüye kovaryans (ortak varyans) adı verilir. X ve Y rasgele değişkenlerinin ortalamaları μx ve μy olmak üzere: E[(X- μx)(Y- μy)] ifadesine kovaryans adı verilir ve Cov(X,Y) veya xy şeklinde yazılır. E[(X- μx)(Y- μy)] = E[XY – Xμy – Yμx + μx μy] = E[XY] – μyE[X] – μxE[Y] + μx μy = E[XY] - μx μy - μx μy + μx μy Cov(X,Y) = E[XY] - μx μy olur.

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Kovaryans ölçüsü iki değişkenin birbiriyle olan ilişkisini gösterir. Eğer iki değişken birbirinden bağımsız ise, E(XY) =[E(X)E(Y)] = μx μy olacağından; Cov(X,Y) = E[XY] - μx μy = μx μy - μx μy Cov(X,Y) = 0 olacaktır. Bilindiği gibi Kovaryans ölçüsü iki değişkenin birlikte değişimini, yani aralarındaki ilişkinin varlığını göstermekteydi. Bu ilişkinin yön ve şiddeti korelasyon katsayısı ile belirlenir. Bunun için kovaryans’tan faydalanılır. Korelasyon katsayısı xy ile gösterilir ve şöyle tarif edilir.

Pearson Korelasyon Katsayısı Korelasyon katsayısı: X ve Y rassal değişkenlerinin beklenen değer e varyansları sırası ile E(X), E(Y), Var(X) ve Var(Y) ise korelasyon katsayısı şöyle yazılır. Pearson korelasyon katsayısı X ve Y arasındaki doğrusal ilişkiyi gösterir. Katsayının büyüklüğü ilişkinin şiddetini, işareti ise ilişkinin yönünü gösterir. Korelasyon katsayısı daima aralığında olur. xy →0 ise zayıf, xy →1 ise kuvvetli ilişkiden söz edilir. Korelasyon katsayısının işareti pozitif ise ilişkinin aynı yönde, negatif ise ters yönde olduğu söylenir.

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği Örnek: Aşağıda bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir. a) Fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için c ne olmalıdır? (cevap: c=3/2) b) Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. c) E(X) ve E(Y) beklenen değerlerini bulunuz. d) E(XY) beklenen değerini bulunuz. e) Var(X) ve Var(Y) yi bulunuz. f) Cov(X,Y) Kovaryansı bulunuz g) Korelasyon katsayısını (xy ) bulunuz.

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği b) c) d)

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği f) g) X ve Y değişkenleri bağımsız olup aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği Örnek: Aşağıdaki bileşik fonksiyondan hareketle: a) Cov(XY) yi bulunuz. b) X ve Y değişkenleri arasındaki korelasyonu bulunuz.(xy) X takımının attığı gol sayısı 1 2 3 0,1 0,15 0,05 0,03 0,07 0,04 0,02 Y takımının gol sayısı

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği a) Cov(XY) için E(X) = 1,33: E(Y) = 1,03 biliniyor. E(XY)=∑∑xiyjf(xiyj) E(XY)=1*1*0,1+1*2*0,05+1*3*0,03+2*1*0,07 +2*2*0,05+2*3*0,04+3*1*0,02+3*2*0,04+3*3*0,05E(XY)=1,62 Cov(XY)=E(XY)-E(X)*E(Y) = 1,62-1,33*1,03 Cov(XY) = 0,25

Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği b) Korelasyon katsayısı: X ve Y nin varyansları hesaplanır. Bunun için E(X2) ve E(Y2) hesaplanır. Korelasyon katsayısı İki değişken arasında aynı yönde ama kuvvetli olmayan bir ilişkinin olduğu anlaşılmaktadır.

Örnek Aşağıda bileşik olasılık fonksiyonu verilmiştir. a) Marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz. b) E(X) ve E(Y) yi bulunuz. c) Var(X) ve Var(Y) yi bulunuz d) Cov(X,Y) yi bulunuz. e) Korelasyon katsayısını bulunuz.

Örnek

Örnek