ERÜNAL SOSYAL BİLİMLER LİSESİ DÜZLEMDE NOKTA DOĞRU VE VEKTÖRLER ALİ ERGİN MATEMATİK ÖĞRETMENİ

Doğruların doğrultuları Her bir grubun pozisyonu ile diğer grupların pozisyonuna dikkat ediniz. Bu paralel doğru gruplarının her biri bir denklik sınıfıdır. Her bir denklik sınıfı bir doğrultudur. Doğrultuları farklı olan iki doğrunun arakesiti bir noktadır. Doğrultuları aynı olan iki doğru paralel veya çakışıktır.

Geometrideki tanımsız terimlerden üçü ; nokta , doğru ve düzlemdir. Doğruyu noktalar kümesi olarak tanımlıyabiliriz. Üzerinde noktayı işaretlediğimiz kağıt ise bir düzlem modeli olarak alınabilir.

Doğrultuları farklı olan iki doğrunun kesişimi bir noktadır.

İki doğrunun kesişimi bir nokta değil ise bu iki doğru çakışık veya paraleldir.

YARI DÜZLEM Düzlemde alınan bir doğru düzlemi iki parçaya ayırır. Bu parçaların her birine yarı düzlem denir. Bu düzlem parçalarına doğru dahil edilirse kapalı yarı düzlem, dahil edilmezse açık yarı düzlem elde edilir. Kapalı yarı düzlem Şekildeki d doğrusu, P ve Q yarı düzlemlerini oluşturur.

Açık yarı düzlem Kapalı yarım düzlem Açık yarım düzlem Kapalı yarım düzlem Açık yarı düzlem Kapalı yarım düzlem

Nokta ile doğrunun durumları : Nokta, doğrunun üzerindedir. Nokta, doğrunun dışındadır.  

İki doğrunun durumları : 1- İki doğru birbirini keser 2- İki doğru paraleldir 3- İki doğru çakışıktır

Doğru ile düzlemin durumları : 1- Doğru düzlemi keser. 2- Doğru düzleme paraleldir. 3- Doğru düzlemin içindedir.

Kapalı yarı doğru ve açık yarı doğru : Herhangi sabit bir nokta ile başlayıp, sonsuz sayıdaki noktalar ile düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik terime kapalı yarı doğru (ışın), başlangıç noktası dahil edilmediğinde ise açık yarı doğru denir. [AB ]AB Kapalı yarı doğru (Işın) Açık yarı doğru

DÜZLEM OLUŞTURMA KOŞULLARI Doğrusal olmayan üç nokta, bir düzlem belirtir. 2. Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. 3. Bir doğru ile dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.

İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI: 1.Paralel doğrular 2. Kesişen doğrular 3. Çakışık doğrular 4. Aykırı doğrular.

BİR DOĞRU İLE BİR DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI Bir doğru ile bir düzlem bir noktada kesişebilir. Doğru düzleme paralel olabilir. Doğru düzlemin üzerinde olabilir. Bu durumda doğru ile düzlem çakışıktır biçiminde ifade ederiz.

Nokta sayısından en çok belirten düzlem sayısını bulma: Herhangi üçü doğrusal olmayan n tane nokta C(n,3) kadar düzlem belirtir. Soru: Herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem gösterir?

Doğrusal olmayan 4 nokta en az kaç düzlem gösterir? Soru: Doğrusal olmayan 4 nokta en az kaç düzlem gösterir?

NOT: Bir düzlem içindeki farklı n tane doğru, düzlemi En az: n+1 bölgeye En çok: (𝑛 2 + 𝑛 +2)/2 bölgeye ayırır.

Örnek: Bir düzlemdeki farklı beş doğru düzlemi en az ve en çok kaç bölgeye ayırır? Bir düzlemdeki x doğru düzlemi en çok 22 bölgeye ayırdığına göre x kaçtır?

Not: Herhangi üçü doğrusal olmayan n noktadan C(n,2) kadar doğru geçer. Örnek: Herhangi üçü doğrusal olmayan 4 noktadan kaç doğru geçer?

Not: n tane doğru en fazla, C(n,2) noktada kesişir. Örnek: 4 doğru en fazla kaç noktada kesişir?

Soru: Bir düzlemin içindeki 4 nokta ile düzlemin dışındaki 1 nokta en fazla kaç düzlem daha oluşturur?

I.yol: Şekilde görüldüğü gibi P düzlemindeki A, B, C, D noktaları ile düzlemin dışındaki K noktasının oluşturduğu 6 düzlem vardır. Bu düzlemler ABK, BCK, DCK , ADK, DBK, ve ACK dır.

P Düzlemindeki 4 nokta ile C(4,2) tane doğru oluşur. II. YOL: P Düzlemindeki 4 nokta ile C(4,2) tane doğru oluşur. Bir doğru ile dışındaki nokta düzlem oluşturacağından düzlem sayısı C(4,2)=6 tane olur. Tabi P düzlemi hariç.

İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI Paralel Düzlemler 2. Kesişen Düzlemler 3. Çakışık Düzlemler

Nokta ile doğrunun durumları 1) …………………………… 2) …………………………

İki doğrunun durumları 1) ……………………….. 3) ……………………….. 2) …………………………… 4) ………………………..

Doğru ile düzlemin durumları 2) …………………………… 1) ……………………….. 3) ………………………..

Yarı doğru – Yarı düzlem …… açık yarı doğrusu …… kapalı yarı doğrusu (ışını) Açık yarı düzlem Kapalı yarı düzlem

Doğru parçası – İki doğru parçasının durumları Bütün noktalar aynı denklik sınıfındadır. Uç noktaları çakışık olan doğru parçası bir noktadır. Doğrultuları aynı Doğrultuları aynı Doğrultuları farklı

Doğru parçalarıyla desen oluşturma Filografi sanatında kullanılan yukarıdaki geometrik yapıyı açıklayınız.

Proje ödevi olarak benzer bir geometrik şekil hazırlayınız. Alıştırma Ödev Yukarıdaki geometrik şeklin nasıl oluşturulduğunu açıklayınız. Ve bu şekli renkli kalemlerle boyayınız. Proje ödevi olarak benzer bir geometrik şekil hazırlayınız.

ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara «D» yanlış olanlar için «Y» yazınız. Aynı düzlem içinde bulunan ve kesişmeyen doğrular paralel doğrulardır. Aynı düzlem içinde bulunan farklı iki doğrunun bir ortak noktası varsa bu doğrular kesişen doğrulardır. Aynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen iki doğruya aykırı doğrular denir. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir. Kesişen iki düzlemin arakesiti bir düzlemdir.

2. Doğrusal olmayan 5 nokta en az kaç nokta belirtir?

3. Doğrusal olmayan 5 nokta en çok kaç düzlem belirtir?

4. 6 Doğrudan dördü bir A noktasından geçmektedir 4. 6 Doğrudan dördü bir A noktasından geçmektedir. Bu doğrular en çok kaç noktada kesişir?

5. Herhangi üçü doğrusal olmayan 5 noktadan kaç doğru geçer?

6. Bir düzlemdeki farklı 4 doğru düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır?

Yönlü doğru parçası A noktası Ankara, B noktası Bursa’yı temsil etmektedir. Bu iki şehir arasında uçan bir kuşun kaç farklı hareket yönü olabilir? [AB] doğru parçasına yön vermek istenilirse bu nasıl ifade edilebilir? A B A B A B ………………… ………………..

Yönlü doğru parçasının uzunluğu B AB yönlü doğru parçasında; A noktası, …………………….. noktası, B noktası, …………………….. noktası olarak isimlendirilir. Uç noktaları arasındaki uzaklığa yönlü doğru parçasının ……………….. denir.

Örnek:

Çözüm:

Yönlü doğru parçasının doğrultusu B

İki yönlü doğru parçasının durumları B C D E F Durum: Doğrultuları aynı (paralel veya çakışık). Durum: Doğrultuları farklı (kesişir)

Vektör A B C D E F G H Doğrultuları aynı, uzunlukları eşit olan yönlü doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir. Bu eş yönlü doğru parçaları bir denklik sınıfı oluşturur. Her bir denklik sınıfına bir vektör denir. Yukarıda verilen yönlü doğru parçalarının hepsi aynı vektördür. Vektörlerle işlem yapılırken denklik sınıfının temsilci elemanı kullanılır. Buradaki vektörlerin temsilci elemanına u vektörü diyelim.

VEKTÖRLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

Birim vektör – Sıfır vektörü A B Uzunluğu 1 birim olan vektöre ………… vektör denir. Uzunluğu 0 birim olan vektöre ………… vektörü denir. Başlangıç ve bitim noktası aynı olan yönlü doğru parçalarının hepsi aynı denklik sınıfındadır. Bu denklik sınıfına sıfır vektörü diyoruz.

Zıt yönlü vektör Doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri zıt olan vektörler A B

Vektörlerde toplama işlemi (Bileşke vektör) Çokgen yöntemiyle toplama işlemi: (ilkin başlangıcı, sonun bitimi) E D A B C

Alıştırma Çokgen yöntemi Paralelkenar yöntemi

Toplama işleminin özellikleri 1 1. Kapalılık özelliği 2. Değişme özelliği

Toplama işleminin özellikleri 2 3. Birleşme özelliği

Toplama işleminin özellikleri 3 4. Birim eleman varlığı 5. Ters elemanın varlığı

Bir vektörün bir reel sayı ile çarpımı (skalar ile çarpım)

Alıştırma – Ödev

Skalar çarpmanın vektörel toplama üzerine dağılımı

Lineer bağımlılık – Lineer bağımsızlık Doğrultuları aynı olan a ile b vektörüne lineer bağımlıdır denir. Doğrultuları farklı olan u ile v vektörüne lineer bağımsızdır denir. p vektörü, u ve v vektörleri türünden aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu yazılışa p vektörünün u ile v ye göre lineer birleşimi denir.

Ödev 1

Ödev 2 A B C D

Ödev 3

Ödev 4 ABC üçgeninde, D ve E kenar orta noktalardır. Vektör özelliklerini kullanarak olduğunu gösteriniz. Yol gösterme

Ödev 5