Noktaya göre simetri .

Doğruya göre simetri Yansıma AA’ ….. d AK ….. KA’

Öteleme Öteleme A noktasının u vektörüne göre ötelenmesi. A’ A Önemli olan A noktasının hangi yönde ve ne kadar kayacağıdır. Şekilde A noktası, u vektörünün uzunluğu kadar ve u vektörü yönünde paralel olarak kaydırılmıştır.

Ötelemeli yansıma Hızlı araba Arabalı hız

Dönme Dönme   A noktası, O noktası etrafında  kadar döndürülürse A’ noktası elde edilir. Dönme açısının pozitif yönlü olduğuna dikkat ediniz. O noktasına dönme merkezi denir.

Alıştırma ………………….. ………………….. ………………….. …………………..

Dönüşümler Düzlemin noktalarını düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyonlara düzlemin bir dönüşümü denir. Noktaya göre simetri, doğruya göre simetri (yansıma), öteleme ve dönme simetrileri birer dönüşümdür. Bu ve bu dönüşümlerin bileşkelerinden oluşan dönüşümlerde uzaklık ve açı ölçüleri değişmez. Öteleme, dönme, yansıma veya bunların bileşke dönüşümlerine düzlemde izometri dönüşümleri de denir. Bu dönüşümler altında bir şeklin görüntüsüne de bu şeklin simetriği (eşi) denir.

1) Öteleme dönüşümü P’ P

Alıştırma 1 Köşeleri A(-6, 3), B(-6, 1) ve C(-3, 3) olan üçgen Ötelenerek A’B’C’ üçgeni elde ediliyor. A’(3,5) olduğuna göre B’ ve C’ noktalarının koordinatlarını bulunuz. Öteleme vektörünü bulunuz. Öteleme dönüşümünde elde edilen üçgen ile ilk üçgeni kıyaslayınız. O x y A’(3, 5) A(-6, 3) C(-3, 3) B(-6, 1)

Alıştırma 2 d: x – 2y + 4 = 0 doğrusu (3, -2) vektörü kadar ötelenirse elde edilen d’ doğrusunun denklemini bulunuz ve analitik düzlemde grafiklerini inceleyiniz. O x y d (0,2) d' (-4,0) P(x, y) (3,0) P’(x’, y’) Sonuç: Öteleme dönüşümlerinde doğruların eğimleri değişmez.

Ödev d1: 2x -3y + 1 = 0 doğrusu (1,3) vektörü kadar ötelendiğinde d2 doğrusu elde ediliyor. d2 doğrusu da u vektörü kadar ötelendiğinde 2x -3y – 12 = 0 doğrusu elde edildiğine göre u vektörünün koordinatlarını bulunuz.

2) Dönme dönüşümü Bir P(x, y) noktasının orijin etrafında  kadar pozitif yönde döndürülmesiyle elde edilen nokta P’(x’, y’) olsun; Dönme: Rotation

Alıştırma 1 ABC üçgeni orijin etrafında 90o döndürüldüğünde A’B’C’ üçgeni elde ediliyor. A’, B’ ve C’ noktalarının koordinatlarını bulunuz. Dönme merkezini söyleyiniz. Dönme dönüşümünde elde edilen üçgen ile ilk üçgeni kıyaslayınız.

Alıştırma 2 Analitik düzlemde verilen d doğrusu orijin etrafında 135o döndürüldüğünde d’ doğrusu elde edilmiştir. doğruların denklemlerini yazınız. Bu iki doğru arasındaki dar ve geniş açıların ölçülerini söyleyiniz. P(x, y) P’(x’, y’) d d'

Ödev 1 d : y = x + 1 olmak üzere d‘ : ? d d'

Ödev 2

Alıştırma 3 A(8, 8) noktası, B(6,5) noktası etrafında 60o döndürüldüğünde elde edilen K noktasının koordinatlarını bulunuz. y x

Simetriler Öteleme veya dönme dönüşümlerinden de elde edilebilen diğer dönüşümlere özel dönüşümler (simetri) denir. İki çeşit simetri vardır. Noktaya göre simetri Doğruya göre simetri (yansıma) A H

Alıştırma 1 P(5, 1) noktasının, y=2x + 1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz. Çözüm:

Alıştırma 2 P(x, y) noktasının, y=2x + 1 doğrusuna göre simetriğini P’ ise olduğunu gösteriniz. Çözüm:

Alıştırma 3 5x + 5y = 1 doğrusunun , y=2x + 1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz. Çözüm: 2. Alıştırmada y =2x+1 doğrusuna göre simetri kuralını bulmuştuk;

Sık kullanılan simetriler y x

Alıştırma 1

Alıştırma 2 - Ödev x2 +2y = 1 eğrisinin, orijine göre simetriğini x eksenine göre simetriğini y eksenine göre simetriğini 1. açıortay doğrusuna göre simetriğini 2. açıortay doğrusuna göre simetriğini x = 1 doğrusuna göre simetriğini y = -3 doğrusuna göre simetriğini (1, 2) noktasına göre simetriğini y = x -1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Ödev 1

Ödev 2 y = 3x + 6 doğrusunun K(-1, 3) noktasına göre simetriğini bulunuz. y = 3x + 6 doğrusunun x + 3y – 5 = 0 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 12

Ödev 13

Ödev 13

Ödev 14

Ödev 15

Ödev 16

Ödev 17

Şerit süslemeler Bir motifin belirli bir doğrultu boyunca ötelenmesiyle oluşan süslemelere şerit süslemeler denir. Motifler Motiflerle elde edilen şerit süslemeler Öteleme Yatay yansıma Dikey yansıma Ötelemeli yansıma 180o lik dönme (yarı dönme)

Kaplamalar Bir düzlemsel bölgenin, bir motif kullanılarak boşluk kalmayacak ve motifler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme, ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine düzgün kaplama denir. Birden çok motif kullanılmışsa yarı düzgün kaplama denir.

Eş şekiller

Eş üçgenler    x y z y A(0, 3) B(2, 0) C(4, 2) D(0, -3) E(-2, 0) F(-4, -2) A C E x O B x = 3,6 br y = 4,1 br z = 2,8 br  = 59,0  = 78,7   = 42,3  F D ABC ve DEF üçgenleri için yandaki iki koşul sağlanıyorsa bu iki üçgene eş üçgenler denir.  ile gösterilir.

Eşlik teoremleri KKK eşliği: AKA eşliği: KAK eşliği: AAA ve KKA eşliği olabilir mi?

Ödev 1 Açıortay üzerindeki bir noktadan, açının kenarlarına inilen dikmelerin eşit uzunlukta olduğunu gösteriniz.

Ödev 2 İkizkenar üçgende tabana ait kenarortayın yükseklik ve açıortay olduğunu gösteriniz.

Ödev 3 Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının eşit uzunlukta olduğunu gösteriniz.

Ödev 4 Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığını gösteriniz.

Ödev 5 ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

Ödev 6 ABCD ikizkenar yamuğunun alanı kaç birim karedir?

Ödev 7 ABCD kare, ABC eşkenar üçgen, DF = AE AE = DC m(CKE) =? m(AFB) =?

Ödev 8 AB // DE AB = BE x =?

Ödev 9 ABCD ikizkenar yamuğunun alanı x ve y türünden kaç birim karedir?

Ödev 10 ABC eşkenar üçgen ADE eşkenar üçgen m(CFD) =?

Homoteti dönüşümü M sabit bir nokta ve k sabit bir reel sayı olmak üzere; olacak biçimde P’ noktasına P nin M merkezli, k oranlı homotetiği denir. dönüşümüne M merkezli k oranlı homoteti dönüşümü denir. M noktası ve k sayısı sabit kalmak üzere, değişen P noktalarının meydana getirdiği şekil ile P’ noktalarının meydana getirdiği şekile homotetik şekiller (benzer şekiller) denir.

Alıştırma 1 M merkezli k = 3 oranlı homoteti verilmiştir. ABC üçgeni ile A’B’C’ üçgeni homotetik (benzer)dir. Homoteti dönüşümünde açılar korunur, şekildeki uzunluklar ise orantılıdır (yani karşılıklı uzunluklar oranı sabittir, bu oran homoteti oranına eşittir.)

Alıştırma 2 M merkezli k1 = 2, ve k2 = 3 oranlı iki ardışık homoteti verilmiştir. Yani; |MA’|=2|MA|, |MA’’|=3|MA’| ABC üçgeni ile A’B’C’ üçgeninin benzerlik oranı k1 = 2, A’B’C’ üçgeni ile A’’B’’C’’ üçgeninin benzerlik oranı k2 = 3 ABC üçgeni ile A’’B’’C’’ üçgeninin benzerlik oranı ……………………dır.

Benzerlik Beyin uzunlukları değil, açıları baz alarak, Şekillerin benzeyip benzemediğine karar veriyor…

Üçgenlerin benzerliği AA benzerliği: KAK benzerliği: KKK benzerliği: Çevreler oranı: Alanlar oranı:

Temel orantı A B C D E A B C D E

Alıştırma A B C D E A B C D E 12 3 3 9 x 2 2 x

Tales teoremleri A B C D F E A B E F C D

Alıştırma A B C D F E 18 x 5 y 15 A B C D F E x + y =? Artış miktarı

Dik üçgende metrik bağıntılar Öklit bağıntılarını yazınız ve ispatlayınız.

Alıştırma 4 x =?

Alıştırma 5 x =?

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 12

Ödev 12

Menelaus teoremi 1) A, B, C doğrusaldır 2) C, D, E doğrusaldır 3) E, F, B doğrusaldır 4) A, F, D doğrusaldır

Alıştırma |AF| = |FD| 1 |ED| = 2|CD| x

Alıştırma |AF| = |FD| 2 |ED| = 2|CD| 1 x + y =? x y

Seva teoremi Sonuç: |BD| = |DC|  FE // BC Sonuç : ABC üçgeninin kenarortayları seva teoremi gereği tek noktada kesişir.

Alıştırma 1 G, (ABC) nin ağırlık merkezidir. A(ABC) = 48 |GK|=3 |AK|=? |GE|=? A(GFK)=? A(ADK)=? 3

Alıştırma 2 x =? y =?

Fraktal Uzunluğu 1 birim olan doğru parçası veriliyor. Bu doğru parçası 1/3 oranında küçültülüp 120o saat yönünde döndürülüp dikey yansıması alınarak bir motif oluşturuluyor. Motifi oluşturan her doğru parçasına aynı kural uygulanarak aşağıdaki fraktal görüntü elde ediliyor. Bu fraktala “Korş (Korch) eğrisi” denilir.

Alıştırma

Temel geometrik çizimler 1 1) Verilen bir doğru parçasına eşit uzunlukta bir doğru parçası çizmek

Temel geometrik çizimler 2 2) Verilen bir açıya eş açı çizmek

Temel geometrik çizimler 3 3) Verilen bir açının açıortayını çizmek

Temel geometrik çizimler 4 4) Verilen bir doğru parçasının orta dikme doğrusunu çizmek

Temel geometrik çizimler 5 5) Doğru üzerindeki bir noktadan dik çıkma

Temel geometrik çizimler 6 6) Bir noktadan bir doğruya dik inme

Temel geometrik çizimler 7 7) Verilen bir üçgenin iç teğet çemberini çizme

Temel geometrik çizimler 8 8) Verilen bir üçgenin istenilen kenarına teğet olan dış teğet çemberini çizme

Temel geometrik çizimler 9 9) Verilen bir üçgenin çevrel çemberini çizme

Alıştırma 1 a = 3 br b = 5 br c = 7 br olan ABC üçgenini çiziniz.

Alıştırma 2 a = 3 br b = 5 br m(C) = 45o olan ABC üçgenini çiziniz.

Alıştırma 3 a = 8 br c = 7 br m(C) = 60o olan ABC üçgenlerini çiziniz.

Alıştırma 4 a = 8 br c = 7 br m(C) = 120o olan ABC üçgenini çiziniz.