ÖNERMELER VE MANTIK HAZIRLAYAN: AYDIN EREN KORKMAZ MEV ÖZEL TOROS ANADOLU LİSESİ

1. Önermeler ve Mantık işlemleri MANTIK 1. Önermeler ve Mantık işlemleri Doğru ya da yanlış kesin yargı bildiren cümlelere önerme denir.Önermeler p,q,r,...vs gibi harflerle ifade edilir. Önermenin doğruluk değerini de D-(1) veya Y-(0) ile gösteririz. Önerme P DOĞRU D 1 YANLIŞ Y

"2+2 = 4" cümlesi bir önermedir "2+2 = 4" cümlesi bir önermedir.Çünkü bu cümle doğru da olabilir yanlışta .Bu önerme doğru olduğu için doğruluk değeri 1 olur. "1 = 0" cümlesi de bir önermedir. Fakat yanlış bir önermedir. doğruluk değeri 0 olur. " Yarın yağmur yağacak." cümlesi de bir önermedir. Doğruluk değeri için yarını beklemek gerekecektir. Örnek 1

Uyarı: Soru,istek,emir cümleleri önerme olmazlar. Örnek 2 "Aşağıdaki soruyu çözün. " cümlesi bir önerme değildir.Doğru veya yanlış bir yargı belirtmiyor. "Günaydın arkadaşlar! " cümlesi de bir yargı belirtmez.(Hatta bir cümle bile değildir.) Uyarı: Soru,istek,emir cümleleri önerme olmazlar.

Örnek Yalancı Paradoksu "Ben her zaman yalan atarım . " bizi kör kuyuya atar.Eğer her zaman yalan atıyorsa şimdi doğru söylüyordur.Çelişki olur.Yok eğer yalan atıyorsa zaten bu sözü de yalandır. Ünlü bir paradoks daha vardır: Epiktetos Giritli idi ve derdi ki: " Bütün Giritliler yalancıdır. " .Hadi uğraşın durun bakalım kim yalancı kim değil... Bu tür cümlelerde bir kısır döngü mevcuttur.Bu paradoksal ifadeler önerme değillerdir.

OLUMSUZU Eski önermelerden yenilerini yapmanın çeşitli yolları vardır.Örneğin ,p:" 3 doğal bir sayıdır. " önermesini ele alalım.p önermesinin olumsuzu (değili) " 3 doğal bir sayı değildir. " olur. P nin değilini ~p , p’ ya da ¯p ile gösteririz. Bunun anlamı da; eğer p doğru ise ,~p yanlış, yok eğer p yanlış ise ~p doğrudur

Doğruluk tablosunda gösterim: p ~p 1 Sol tarafta p nin iki olası doğruluk değeri ,sağ tarafta ise ~p nin değerleri görülmektedir. ~ bir mantık işlemidir. UYARI:Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir.~(~p)  p

p: "Ay dünyanın etrafında döner." okurken de p, q, r, s ... gibi harflerin önermeleri belirttiğini söylemiştik (neden p ile başlıyor???). Önermenin göstergesi veya kodu olan bu harfler daima en başa yazılmalıdır. Örneğin; p: "Ay dünyanın etrafında döner." okurken de p önermesi "Ay dünyanın etrafında döner." cümlesidir ,deriz

Örnek 3 p: "2+2 = 4" ise ~p nedir? Çözüm ~p: "2+2   4." Dikkat edersek... ~p yanlış bir önerme olduğunda ,p önermesi doğru bir önermedir.

Örnek 4 p: "1 = 0" ise ~p nedir? Çözüm ~p: "1  0." DİKKAT DİKKAT ... Burada ~p önermesi doğru ,p önermesi yanlıştır.Genelde düşülen hata ; ~p önermesinin daima yanlış olduğunun düşünülmesidir. ~p, sadece p önermesinin değildir .Aman Dikkat...

Örnek 5 p: " İstanbul’u Fatih Sultan Mehmet fethetti." ~p nedir?. Çözüm ~p : " İstanbul’u Fatih Sultan Mehmet fethetmedi."

Örnek 6 p: ”Bu şehirdeki bütün politikacılar dolandırıcıdır." ise ~p nedir? Çözüm ~p: "Bu şehirdeki bütün politikacılar dolandırıcı değildir." veya "Bu şehirde en azından bir politikacı dolandırıcı değildir."

Dikkat edersek ~p önermesi için Bir Dakika Lütfen ... Dikkat edersek ~p önermesi için "Bu şehirdeki hiç bir politikacı dolandırıcı değildir." tarzında bir ifade yanlış olurdu. Gelecek konularda da değineceğimiz gibi,bütün(her)kelimesinin olumsuzu bazı(en az bir)olur.

Ve İŞLEMİ

Eski önermelerden yeni bir önerme yapmanın bir metodu da önermeleri birleştirmektir.İki ya da daha fazla önermenin bileşmesinden oluşan önermelere bileşik önerme denir. Örneğin;p:"Ben akıllıyım " ve q:"Sen kuvvetlisin" önermelerini bileşik önerme olarak yazarsak; :"Ben akıllıyım ve sen kuvvetlisin”.Yeni önerme şeklinde gösterilir." p ve q ”şeklinde okunur. ve işlemi sembolü ile gösterilir. nin doğru olabilmesi için her ikisinin de doğru olması gerekir.Ahmet ve Mehmet gelsin örneği...

Ve İşlemi Doğruluk Tablosu Ve li bileşik önermelerin doğruluk tablosu: p q p    q 1

Örnek 7 p: " Krigg (gri) delikleri boyut kapıları oluşturur. " ve q: "2+3 = 5" ise ? Çözüm : " Krigg (gri) delikleri boyut kapıları oluşturur ve 2+3 = 5" Dikkat Dikkat... İki önermelerden herhangi bir tanesi yanlış ise bileşik önermesi yanlıştır. Burada"Ve işlemi" çarpma işlemi gibi düşünülebilir; 1.0=0 , 0.0=0 vs...

Örnek 8 p : "Bu ünite sıkıcıdır." q : ”Mantık konusu sıkıcı bir konudur. " önermeleri verilsin. ”Mantık konusu sıkıcı bir konu olmakla birlikte bu ünite sıkıcı değildir." önermesini mantık işlemleri ile nasıl ifade ederiz. Çözüm ”Mantık konusu sıkıcı bir konudur." ifadesi q ile aynıdır.Bununla beraber anlamına "olmakla birlikte" " ifadesi bize ve bağlacını kullandırtır. "Bu ünite sıkıcı değildir." ise (~p) olur. Sonuç olarak,  q (~p) bileşik önermesi elde edilmiş olur.

~p q = 1 ise ~p  1 ve q  1 olur. Buradan p  0 ve ~q  0 olur. Örnek 9 p ile q herhangi iki önermedir.~p q  1 ise p,q,~q önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım. Çözüm ~p q = 1 ise ~p  1 ve q  1 olur. Buradan p  0 ve ~q  0 olur. O halde , p  0, q  1 , ~q  0 olur.

veya İŞLEMİ p v q

Veya bileşik önermesi olarak yazarsak; ‘Veya’ işlemi ; p:"Ben akıllıyım " ve q:"Sen kuvvetlisin" önermelerini bir kere daha verelim. Veya bileşik önermesi olarak yazarsak; "Ben akıllıyım veya sen kuvvetlisin”. Yeni önerme sembolik olarak şeklinde yazılır ve "p veya q." diye okunur. durumunda doğruluk için ; p doğru olmalı ya da q doğru olmalı ya da her ikisi de doğru olmalıdır. Ahmet veya Mehmet gelsin örneği...

Veya İşlemi Doğruluk Tablosu bileşik önermesinin doğruluk tablosu : p q 1

Örnek 10 p: " Ömer 3.problemi çözdü. " q: " Osman 3.problemi çözdü. " önermesini yazınız? Çözüm : " Ömer 3.problemi çözdü veya Osman 3.problemi çözdü. " DİKKAT DİKKAT... Burada her ikiside problemi çözebilir.Fakat bir tanesinin çözmesi ile problem çözülmüş olur.Veya lı işlemler toplama işlemi gibi düşünülebilir; 1+0=1 , 0+0=0, 1+1=1(!)...

Örnek 11 p: " 32 + 42 = 52 dir." q: " 8 < 5 tir " ve r: " 4 - 5 = 1 " ise (pq)r’ bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Çözüm p: " 32 + 42 = 52 dir. " için p  1. q: " 8 < 5 tir " için q  0. ve r: " 4 - 5 = 1 " için r  0. (pq)r’  (1  0)  1  1  1  1 olur.

Örnek 12 p(~q)önermesi yanlış bir önermedir. a.) p , ~p , q , ~q önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz. b.) ((~p)  q)  (p  q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm p(~q)önermesi yanlış bir önerme ise bu durum sadece iki önermenin yanlışlığında gerçeklendiğini biliyoruz. O halde; p0 ,~q  0 olur. a)p  0,~p  1,q  1,~q  0 bulunur. b) ((~p)  q)  (p  q) =(1  1)  (0  1) =1  0 =0 olur.

~p p değil p ve q Özet: Olumsuz, Veya İşlemi, Ve İşlemi p veya q p q p Symbolic Form Truth Table In Words Negation ~p not p Conjunction p    q p and q Disjunction p or q Özet: Olumsuz, Veya İşlemi, Ve İşlemi Semboller Doğruluk Tablosu İfade Olumsuz ~p p değil Veya p veya q Ve   p ve q p ~p 1 p q 1 p q 1

TEŞEKKÜRLER