MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net KARMAŞIK SAYILAR HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2012

www.muratguner.net İÇİNDEKİLER SANAL SAYI 3 SANAL SAYININ KUVVETLERİ 7 KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI 27 İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ 31 KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ 36 KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ 39 KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ – UZUNLUĞU ) 44 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 51 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ÇÖZÜMÜ 75 EŞLENİK VE MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER 95 İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK 102 KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ 111 ARGÜMENT 137 KUTUPSAL KOORDİNATLAR 142 KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL(TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 150 KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 182 BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ 195 BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ( DE MOİVRE KURALI ) 203 BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ 218 KAYNAKÇA 235

x2 + 4 = 0 denklemini ele alalım: www.muratguner.net Birinci sınıfta matematik dersimizde, sayılar konusunda x + 2 = 0 gibi bir denklemi doğal sayılarda çözemeyince, doğal sayılar kümesi genişletilerek içinde bu gibi denklemlerin çözülebildiği tamsayılar kümesini oluşturmuştuk.Tamsayılar kümesini genişleterek, içinde 2x – 5 = 0 gibi denklemlerin çözülebildiği rasyonel sayılar kümesini ve rasyonel sayılar kümesini genişleterek içinde x2 = 2 biçimdeki denklemlerin çözülebileceği reel sayılar kümesini elde etmiştik. x2 + 4 = 0 denklemini ele alalım: x2 + 4 = 0  x2 = – 4 tür.xR için x2  0 olduğundan, karesi (– 4) olan sayı yoktur. O halde; reel sayılar kümesinde x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir. Ana Sayfaya Geri Dön

gibi sayılar sanal sayılardır. www.muratguner.net Bu bölümde, reel sayılar kümesini genişleterek içinde bu türdeki denklemlerin de çözülebileceği bir sayı sistemi oluşturacağız. SANAL SAYI sayısında m bir çift sayma sayısı olmak üzere a < 0 ise, sayıya sanal sayı denir.Yani; kök kuvveti çift olduğunda kök içi negatif olan sayılardır. gibi sayılar sanal sayılardır. x2 = – 1 denkleminde sayısını ( i ) sembolü ile göstereceğiz. Yani; i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

a sıfırdan büyük bir gerçek sayı olmak üzere www.muratguner.net TANIM a sıfırdan büyük bir gerçek sayı olmak üzere ile tanımlıdır. ÖRNEK sayısını hesaplayalım: ; i2= – 1 UYARI Ana Sayfaya Geri Dön

Aşağıda verilen işlemleri hesaplayınız. www.muratguner.net ÖRNEK Aşağıda verilen işlemleri hesaplayınız. a) b) c) Ana Sayfaya Geri Dön

SANAL SAYININ ( i SAYISININ ) KUVVETLERİ www.muratguner.net SANAL SAYININ ( i SAYISININ ) KUVVETLERİ i2 = – 1 i3 = i2. i = ( – 1 ) .i = – i i4 = i2. i2 = ( – 1 ) .( – 1 ) = 1 i14 i15 i16 i13 i12 i11 i10 i9 i8 i7 i6 i5 i –1 – i 1 i –1 – i 1 i –1 – i 1 Bu durumu genelleştirelim. kZ olmak üzere i4k = 1 i4k+1 = i i4k+2 = –1 i4k+3 = – i bulunur. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net Yani; ip gibi sayının eşitini bulmak için p tamsayısı 4’e bölünür.Kalan doğal sayı a olsun, ( Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının -birler ve onlar- meydana getirdiği sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.) p 4 a a = 0 ise iP = i0 = 1 a = 1 ise iP = i1 = i a = 2 ise iP = i2 = – 1 a = 3 ise iP = i3 = – i olur. Ana Sayfaya Geri Dön

işleminin sonucu nedir? www.muratguner.net ÖRNEK i413 – i203 i314 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM 413 4 1 13 4 1 203 4 3 314 4 2 14 4 2 i413 = i1 = i i203 = i3 = – i i314 = i2 = – 1 i413 – i203 i314 = i – ( – i ) – 1 = i + i – 1 = – 2i Ana Sayfaya Geri Dön

işleminin sonucu nedir? www.muratguner.net ÖRNEK i– 435 i123 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM – 1 i– 435 i123 = 1 i435. i123 1 i558 = = – 1 558 4 2 i558 = i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

işleminin sonucu nedir? www.muratguner.net ÖRNEK i– 435 i123 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM – 2 i– 435 i123 = i = – 1 – i i = – 435  1 (mod 4 ) i3 23 4 3 i123 = i3 = – i Ana Sayfaya Geri Dön

( 1 + i + i2 + i3 + i4 )10 işleminin sonucunu bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK ( 1 + i + i2 + i3 + i4 )10 işleminin sonucunu bulunuz. ÇÖZÜM ( 1 + i – 1 – i + 1 )10 i2 = – 1 ( 1 + i + i2 + i3 + i4 )10 = i3 = – i = ( 1 )10 = 1 i4 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

i2 = – 1 olmak üzere (1+ i20).(1+ i21).(1+ i22) = ? www.muratguner.net ÖRNEK i2 = – 1 olmak üzere (1+ i20).(1+ i21).(1+ i22) = ? ÇÖZÜM (1+ i20).(1+ i21).(1+ i22) = (1+ i20).(1+ i21).(1 – 1 ) = (1+ i20).(1+ i21).( 0 ) i22 = i2 = – 1 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

i4n+14 + i200n + i8n+6+ i20n+18 = – 1 + 1 – 1 – 1 = – 2 www.muratguner.net ÖRNEK i4n+14 + i200n + i8n+6+ i20n+18 = ? ÇÖZÜM i4n = 1 i4n+14 = i4n.i14 = 1. ( – 1 ) = – 1 i200n = 1 i8n+6 = i8n . i6 =1.( – 1) = – 1 i20n+18 = i20n .i18 = 1(– 1 ) = – 1 i4n+14 + i200n + i8n+6+ i20n+18 = – 1 + 1 – 1 – 1 = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

P( x ) = x19 + x18 + x17 + x16 + ...+ x polinomunda P( i ) =? www.muratguner.net ÖRNEK P( x ) = x19 + x18 + x17 + x16 + ...+ x polinomunda P( i ) =? ÇÖZÜM P(i) = i19 + i18 + i17 + i16 + …..+ i = ( i3+ i2+ i +1) + ( i3 + i2 + i +1) + ... + i3 + i2 + i = ( – i – 1 + i + 1 ) + ( – i – 1 + i + 1 ) +…+ ( – i – 1 + i ) = ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( – 1 ) i19 = i3 = – i = – 1 i18 = i2 = – 1 i17 = i1 = i i16 = i0 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net UYARI i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. ÖRNEK i + i2 + i3 + i4 + …..+ i100 = ? Cevap: 0 ÖRNEK i + i2 + i3 + i4 + …..+ i4446 = ? Cevap: i + i2 = i – 1 ÖRNEK i + i2 + i3 + i4 + …..+ i8753 = ? Cevap: i Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK Karmaşık sayılar kümesi üzerinde f fonksiyonu www.muratguner.net ÖRNEK 2011 LYS Karmaşık sayılar kümesi üzerinde f fonksiyonu biçiminde tanımlanıyor.Buna göre, f(i) değeri nedir? ÇÖZÜM  Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK i23 + i24 + i25 +….+ i126 = ? ÇÖZÜM i23 + i24 + ….+ i126 = www.muratguner.net ÖRNEK i23 + i24 + i25 +….+ i126 = ? ÇÖZÜM i23 + i24 + ….+ i126 = i22 ( i + i2 +….+ i104 ) i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i22 .0 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK i111 + i112 + i113 +…. i213 = ? ÇÖZÜM i111 + i112 +…. i213 = www.muratguner.net ÖRNEK i111 + i112 + i113 +…. i213 = ? ÇÖZÜM i111 + i112 +…. i213 = i110 ( i + i2 +…. i103 ) i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i110 ( i + i2 + i3 ) = – 1( i – 1 – i ) = – 1( – 1 ) = 1 i110 = i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK i9 + i18 + i27 +…. +i135 = ? ÇÖZÜM i9 + i18 + i27 +…. i135 = www.muratguner.net ÖRNEK i9 + i18 + i27 +…. +i135 = ? ÇÖZÜM i9 + i18 + i27 +…. i135 = i9 + ( i9 )2 + ( i9 )3 +….+ ( i9 )15 i9 = i = i + i2 + i3 +….+i15 i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i + i2 + i3 = i – 1 – i = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK i13 + i26 + i39 +….+ i1326 = ? ÇÖZÜM i13 + i26 +…. i1326 = www.muratguner.net ÖRNEK i13 + i26 + i39 +….+ i1326 = ? ÇÖZÜM i13 + i26 +…. i1326 = i13 + ( i13 )2 + ( i13 )3 +….+ ( i13 )102 i13 = i = i + i2 + i3 +….+ i102 i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim. k = 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i + i2 = i – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK i5 + i6 + i7 +…. in = 0 olduğuna göre n’nin en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri kaçtır? ÇÖZÜM  i5 + i6 + i7 +…. in = 0 i4 ( i+i2 + i3+….+ in – 4 ) = 0 i4n = 1 i + i2 + i3+….+ in – 4 = 0 (n – 4) sayısı 4 ün katı olmalıdır.n nin en küçük üç basamaklı olması için:  n – 4 = 96 n = 100 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK in sayısının bir gerçek sayıya eşit olmasını sağlayan iki basamaklı kaç değişik n doğal sayısı vardır? ÇÖZÜM  in = 1 i4n = 1 olduğundan n  { 12,16,….. , 96 } iki basamaklı doğal sayıların sayısı 96  4 = 24 – 2 = 22 ( 4 ve 8 olmayacağı için) ( Terim sayısı formülü ile de hesaplanabilir.)  in = –1 i4n+2 = – 1 olduğundan n  { 10,14,….. , 98 } iki basamaklı doğal sayıların sayısı; + 1 = 23 98 – 10 4 iki basamaklı n doğal sayıların sayısı 23 + 22 = 45 Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK i – i3 + i5 – i7 + i9 – i11 + …..+ i197 – i199 = ? ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK i – i3 + i5 – i7 + i9 – i11 + …..+ i197 – i199 = ? ÇÖZÜM i + i + i + i + i + …..+ i + i = 100i 2n – 1 = 199 ise n = 100 Ana Sayfaya Geri Dön

( i– 1 + i–2 + i– 3 + i– 4 )+…+ i– 97 + i–98 + i–99 www.muratguner.net ÖRNEK i– 1 + i–2 + i– 3 + i–4 + …..+ i– 99 = ? ÇÖZÜM i– 1 + i–2 + i– 3 + i– 4= i3 + i2 + i = 0 i– 1 + i–2 + ...+ i– 99 = ( i– 1 + i–2 + i– 3 + i– 4 )+…+ i– 97 + i–98 + i–99 = 24.0 + i– 97 + i–98 + i–99 i–97 = i3 = – i = 24.0 + i3 + i2 + i1 i–98 = i2 = – 1 = – i – 1 + i i–99 = i = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net UYARI i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır. k0 ise sonuç i-1 den i-k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.(nN+) ÖRNEK i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-100 = ? Cevap: 0 ÖRNEK i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-707 = ? Cevap : i-1 + i-2 + i-3 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI www.muratguner.net KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI a ve b reel sayılar i2 = – 1 olmak üzere, a+ib biçimindeki sayılara karmaşık ( kompleks ) sayılar denir.Karmaşık sayıyı z ve bu sayıların kümesini C ile göstereceğiz.O halde, karmaşık sayıların kümesini C = { z = a + ib, a, b R, i2 = – 1 } şeklinde gösterebiliriz. z = a+ib eşitliğinde a sayısına z sayısının Reel Kısmı denir ve Re(z) = a biçiminde, b sayısına z sayısının İmajiner(sanal) Kısmı denir ve İm(z) = b biçiminde gösterilir.  Karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani kümeleri N  Z  Q  R  C biçiminde gösterebiliriz.  Karmaşık sayılar arasında sıralama yapılamaz. Ana Sayfaya Geri Dön

z1 = 3 + 5i sayısının reel kısmı 3, imajiner(sanal) kısmı 5 tir www.muratguner.net ÖRNEK z1 = 3 + 5i sayısının reel kısmı 3, imajiner(sanal) kısmı 5 tir z2 = 7 – i sayısında Re( z2 ) = 7 İm( z2 ) = – 1 z3 = sayısında Re( z3 ) = İm( z3 ) = 2 z4 = 2 – 2i sayısında Re( z4 ) = 2 İm( z4 ) = – 2 z5 = 8 sayısında Re( z5 ) = 8 İm( z5 ) = 0 z6 = 9i sayısında Re( z6 ) = 0 İm( z6 ) = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

z = 1 + sayısının sanal kısmı kaçtır? www.muratguner.net ÖRNEK z = 1 + sayısının sanal kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = 1 + i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i-1 den i-k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.(nN+) z = 1 + z = 1 + z = – i i–1 = i3 = – i İm(z) = – 1 i–2= i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

a < b < 0 olmak üzere z = karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? www.muratguner.net ÖRNEK a < b < 0 olmak üzere z = karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = – + z = z = z = Re(z) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ www.muratguner.net İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ z1 ve z2 kompleks ( karmaşık ) sayıları z1= a + ib ve z2 = c + id olsun. z1 = z2  a = c ve b = d dir. Yani; iki karmaşık sayının eşit olması için, reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı eşit olması gerekir.Bunun karşıtı da doğrudur. ÖRNEK z1= –7x + 1 + 5i ve z2 = – 8x + 5 + i(2y – 1 ) karmaşık sayıları veriliyor. z1 = z2 olması için x ve y sayıları kaç olmalıdır. ÇÖZÜM –7x + 1 = – 8x + 5 5 = 2y – 1 x = 4 y = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z1= a + 2 + 3bi – i ve z2 = 2a – 3 + bi – ai karmaşık sayıları veriliyor. z1 = z2 olduğuna göre a + b = ? ÇÖZÜM a + 2 + 3bi – i = 2a – 3 + bi – ai a + 2 + i( 3b – 1 ) = 2a – 3 + i( b – a) a + 2 = 2a – 3 3b – 1 = b – a a + b = 3 a = 5 2b = 1 – 5 b = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK x,y  R olmak üzere z = ( 2 + i )x + ( 1 – i )y – 7 – 8i ve z = 0 ise x + y =? ÇÖZÜM ( 2 + i )x + ( 1 – i )y – 7 – 8i = 0 + 0i 2x + ix + y – iy – 7 – 8i = 0 + 0i 2x + y – 7 + i(x – y – 8 ) = 0 + 0i 2x + y – 7 = 0 x – y – 8 = 0 x = 5  y = – 3 x + y = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK x, y  R olmak üzere z1 = 3 + 4( x – i ), z2 = ( x + iy)i + x z1= z2 ise y kaçtır? ÇÖZÜM 3 + 4( x – i ) = ( x + iy)i + x 3 + 4x – 4i = xi + i2y + x 3 + 4x – 4i = x – y + xi 3 + 4x = x – y – 4 = x y = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

(Cosx + iSinx)2 = Cos2x – iSin2x www.muratguner.net ÖRNEK 1993-II Karmaşık düzlemde ( Cosx + iSinx )2 = Cos2x – iSin2x olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi x in değerlerinden biridir?( 30° – 45° – 60° – 90° – 180° ) ÇÖZÜM (Cosx + iSinx)2 = Cos2x – iSin2x Cos2x + 2iSinxCosx – Sin2x = Cos2x – iSin2x Cos2x – Sin2x = Cos2x 2SinxCosx = – Sin2x – Sin2x = 0 ….. Sinx = 0 x = 180° Ana Sayfaya Geri Dön

KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ www.muratguner.net KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktaları birebir eşlenebilir.Bu eşlemede a+ib sayısına (a, b) noktası karşılık gelir.Örneğin; 1+2i sayısı ile (1, 2), –3+4i sayısı ile ( –3, 4 ) noktası eşlenir. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. x ( Reel eksen ) y ( Sanal eksen ) Z = a+ib = ( a,b) a b z2 = – 3 + 4i = (- 3, 4 ) – 3 2 4 1 – 2 z1 =1+ i2 = (1, 2) z3 =2 – 2i = (2, – 2 ) Ana Sayfaya Geri Dön

z = x – xi olup İm( z ) + Re( z ) = 0 www.muratguner.net ÖRNEK z Yandaki karmaşık düzlemde, x ve y eksenine teğet olan çember verilmiştir.Çemberin merkez noktası, z karmaşık sayısıdır. Buna göre z sayısının reel ve sanal kısmının toplamı kaçtır? x – x ÇÖZÜM z = x – xi olup İm( z ) + Re( z ) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Re(z) > 1 ve İm(z)  2 koşullarını sağlayan z karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM x y 2 1 Ana Sayfaya Geri Dön

     KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ www.muratguner.net KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ a +ib ve a – ib sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. Buna göre, z = a+ib ise z = a – ib dir. ( sadece i’li ifadenin katsayısının işareti değişecek.) Örneğin;  z1 = 2 – 5i z1 = 2 + 5i  z2 = – 3 + 4i z2 = – 3 – 4i  z3 = – 6i + 7 z3 = 6i + 7  z4 = 7 z4 = 7  z5 = 9i z5 = – 9i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = x +iy olmak üzere 3z + 4 – 2i = 6 +4i + z olduğuna göre z karmaşık sayısını yazınız. ÇÖZÜM 3z + 4 – 2i = 6 +4i + z 2z = 2 +6i z = 1 +3i z = 1 – 3i Ana Sayfaya Geri Dön

a +ib ve a – ib sayıları reel eksene ( x eksenine ) göre simetriktir. www.muratguner.net UYARI a +ib ve a – ib sayıları reel eksene ( x eksenine ) göre simetriktir. z = a+ib = ( a, b) z = a – ib = ( a, – b ) Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK a, bR, z = 5+ ib ve w = a+7i karmaşık sayıları reel eksene göre simetriktir.Buna göre a + b kaçtır? ÇÖZÜM Reel eksene göre simetrik ise z = w veya w = z  5 + ib = a +7i 5 – ib = a +7i b = – 7 a = 5 a + b = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

z = x +iy olmak üzere 2z + 4 = z + i olduğuna göre x.y =? www.muratguner.net ÖRNEK z = x +iy olmak üzere 2z + 4 = z + i olduğuna göre x.y =? ÇÖZÜM 2(x – iy) + 4 = x + iy + i 2x – 2iy + 4 = x + iy + i 2x + 4 – 2yi = x + i(y + 1) 2x + 4 = x –2y = y + 1 y = 1 3 – x = – 4 x.y = (– 4 ).( ) = 1 3 – 4 Ana Sayfaya Geri Dön

y x + KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ-UZUNLUĞU) www.muratguner.net KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ-UZUNLUĞU) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın, başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve I z I ile gösterilir. x y z = x + iy = ( x, y ) o IzI z = x + iy ise I z I = 2 y x + Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Aşağıda verilen karmaşık sayıların mutlak değerlerini bulunuz. z = ( 3,– 4 ) 3 – 4 I z1I  A) z1 = 3 – 4i I z1 I = 32 + (– 4 )2 = 5 z = ( 1,3 ) 1 3 I z2I  B) z2 = 1 + 3i I z2 I = 12 + ( 3 )2 = 10 Ana Sayfaya Geri Dön

  C) z3 = 3 I z3 I = 32 + ( 0 )2 = 3 D) z4 = 7i I z4 I = www.muratguner.net  C) z3 = 3 I z3 I = 32 + ( 0 )2 = 3 3 7  D) z4 = 7i I z4 I = 02 + ( 7 )2 = 7 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK i2= – 1 ve xR olmak üzere z = – 3 + i – xi karmaşık sayısının başlangıç noktasına uzaklığı 5 br olan z karmaşık sayılarını yazınız. ÇÖZÜM I z I = (– 3)2 + (1 – x )2 = 5 9 + (1 – x )2 = 25 (1 – x )2 = 16 x = – 3 x = 5 z1 = – 3 + i – ( –3i ) = – 3 + 4i z2 = – 3 + i – ( 5i ) = – 3 – 4i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z I – 4i = z + 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının mutlak değeri kaçtır? ÇÖZÜM z = x + iy olsun. – 4i = x – iy + 2 x2 + y2 4 = y = x + 2 x2 + y2 x2 + 42 = x2 + 4x + 4 16 = 4x + 4 x = 3  z = 3 + 4i I z I = 32 + ( 4 )2 = 5 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2006/MAT-2 I z I + z = 3 – 2i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını yazınız. ÇÖZÜM z= x+iy olsun. I x + iy I + x + iy = 3 – 2i + x + iy = 3 – 2i x2 + y2 y = – 2 + x = 3 x2 + y2 + x = 3 x2 + 4 = 3 – x x2 + 4  x =  z = – 2i x2 + 4 = ( 3 – x )2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2012-LYS Ana Sayfaya Geri Dön

KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM www.muratguner.net KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1– TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken reel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. z1= a + ib ve z2 = c + id olsun. z1+ z2 = ( a + c ) + ( b + d )i z1– z2 = ( a – c ) + ( b – d )i ÖRNEK z1= 7 – 3i ve z2 = 4 + 8i olsun. z1+ z2 = 7 – 3i + 4 + 8i = 11 + 5i z1– z2 = 7– 3i – 4 – 8i = 3 – 11i Ana Sayfaya Geri Dön

OACB paralelkenarının C köşesi ile eşlenir. www.muratguner.net İKİ KARMAŞIK SAYININ TOPLAMININ VE FARKININ GEOMETRİK YORUMU z1 = a + ib ve z2 = c + di olsun. Z1 + Z2 b + d C Z1 Z1 b b B B A A d Z2 d Z2 a C a + c a C C z1 + z2 , karmaşık düzlemde OACB paralelkenarının C köşesi ile eşlenir. z2 + ( – z1 ) = z2 – z1 –Z1 Ana Sayfaya Geri Dön

İki polinomun çarpımı gibi işlem yapılır. www.muratguner.net 2– ÇARPMA İŞLEMİ z1 = a + ib ve z2 = c + di olsun. z1 . z2 = ( a + ib)( c + di ) = ac + adi +ibc + i2bd = ac + adi +ibc – bd İki polinomun çarpımı gibi işlem yapılır. = ( ac – bd ) + i(ad + bc ) ÖRNEK (2 +3i )( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM (2 +3i )( 3 – 4i ) = 2.3 – 2.4i +3i.3 – 3i.4i = 6 – 8i +9i – 12i2 ; i2 = – 1 = 6 + i + 12 = 18 + i Ana Sayfaya Geri Dön

(a – bi )( a + bi ) = a2 + abi – abi – bi2 = a2 + b2 www.muratguner.net ÖRNEK (4 – 2i )( 4 + 2i ) = ? i2 = – 1 ÇÖZÜM – 1 (4 – 2i )( 4 + 2i ) = 16 + 8i – 8i – 4i2 = 16 + 4 = 20 ÇÖZÜM – 2 (a – bi )( a + bi ) = a2 + abi – abi – bi2 = a2 + b2 i2 = – 1 (4 – 2i )( 4 + 2i ) = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK (3 +2i )2.( 1 + i ) = ? i2 = – 1 ÇÖZÜM (3 +2i )2.( 1 + i ) = ( 9 + 12i + 4i2 ).( 1 + i ) = ( 9 + 6i – 4 ).( 1 + i ) = ( 5 +12i ).( 1 + i ) = 5 + 5i + 12i – 12 = – 7 + 17i Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK ( 1 + i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11 = (1 + i ).[ (1 + i )2 ]5 www.muratguner.net ÖRNEK ( 1 + i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11 = (1 + i ).[ (1 + i )2 ]5 ( 1 + i )2 = 1 + 2i + i2 = (1 + i ).[ 2i ]5 = 1 + 2i – 1 = (1 + i ).32i5 = 2i = (1 + i ).32i = 32i + 32i2 = 32i – 32 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK ( 1 + i )8.z =1+2i ise z karmaşık sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM  ( 1 + i )8.z =1+2i [ ( 1 + i )2 ]4 .z =1+2i [ 2i ]4 .z =1+2i ( 1 + i )2 = 2i 16 .z =1+2i z = 1+2i 16 z = 1 16 2i + z = 1 16 8 i – Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = www.muratguner.net ÖRNEK ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = [ ( 1 + i ).( 1 – i ) ]11 ; ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 = [ ( 1 + 1 ) ]11 = 211 Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK ( 2 – i )6.( 2 + i )8.( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK ( 2 – i )6.( 2 + i )8.( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM ( 2 – i )6.( 2 + i )8.( 3 – 4i ) = (2 – i)6.(2 + i)6.( 2 + i )2.( 3 – 4i ) = [(2 – i)(2 + i)]6.( 2 + i )2.( 3 – 4i ) = ( 4 + 1 )6.( 4 + 4i – 1).( 3 – 4i ) = 56.( 3 + 4i ).( 3 – 4i ) = 56.( 9 +16 ) = 56.25 = 58 Ana Sayfaya Geri Dön

i2 = – 1 olduğuna göre (1+ i )(1 + i3 )(1 + i5 )(1+ i7 ) = ? www.muratguner.net ÖRNEK 1991-II i2 = – 1 olduğuna göre (1+ i )(1 + i3 )(1 + i5 )(1+ i7 ) = ? ÇÖZÜM (1+ i )(1 + i3 )(1+ i5)(1+ i7 ) = ( 1+ i )( 1 – i )( 1 + i)( 1 – i ) = ( 1 + 1 )( 1 + 1 ) = 4 i3 = – i i5 = i i7 = i2 = – 1 ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 3z – 4iz + 5i = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM z = a + bi olsun. i2 = – 1 3( a – bi) – 4i( a +bi ) + 5i = 2 3a – 3bi – 4ai – 4bi2 + 5i = 2 3a – 3bi – 4ai + 4b + 5i = 2 3a + 4b – i(–3b – 4a + 5) = 2 + 0i 3a + 4b = 2 –3b – 4a + 5 = 0  z = 2 – i a = 2 b = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

  ÖRNEK sağlayan z karmaşık sayılarını standart biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK sağlayan z karmaşık sayılarını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM   z.z + z = 9 + 3i a2 + b2 + a + ib = 9 + 3i (a – bi )( a + bi ) = a2 + b2 z = a + bi a2 + b2 + a = 9 b = 3 a2 + 9 + a = 9 a2 + a = 0 a = 0 a = – 1 z = 3i , z = – 1 + 3i Ana Sayfaya Geri Dön

I. z ve w birbirinin eşleniğidir. Il. z – w gerçeldir. www.muratguner.net ÖRNEK 2011 LYS z = a +ib ( b ≠ 0 ) ve w= c+di karmaşık sayıları için z+w toplamı ve z.w birer gerçel sayı olduğuna göre, I. z ve w birbirinin eşleniğidir. Il. z – w gerçeldir. lll.z2 +w2 gerçeldir. İfadelerinden hangileri doğrudur? ÇÖZÜM z = a +ib ( b ≠ 0 ) ve w = c+ di karmaşık sayılarının toplam ve çarpımlarının gerçel sayı olması için z ve w birbirinin eşleniği olmalıdır.Örneğin; z = 2 + 3i , w = 2 – 3i ise z + w = 4, z.w = 13, z – w = 6i, z2 + w2 = –10 olduğundan I ve III doğrudur. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net 3– BÖLME İŞLEMİ bölme işlemi yapılırken amaç paydada sanal (i’li) terimin bulunmaması olduğundan pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. ÖRNEK – 1 ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

sayısını a+ib biçiminde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

z  C olmak üzere z2 = 3 – 4i ve z3 = 2 –11i ise Re(z) + İm(z)=? www.muratguner.net ÖRNEK z  C olmak üzere z2 = 3 – 4i ve z3 = 2 –11i ise Re(z) + İm(z)=? ÇÖZÜM Re(z) + İm(z)= 2 – 1 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK ( z – 1)( 1+ i ) = 7 – 3i oluğuna göre z karmaşık sayısını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM ( z – 1)( 1+ i ) = 7 – 3i z – 1 = z =  z = 3 – 5i z = 3 + 5i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = 3 + 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersini standart biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK i2 = – 1 olmak üzere ÇÖZÜM 1992-II www.muratguner.net Ana Sayfaya Geri Dön

İ2 = – 1 ve n pozitif tamsayı olmak üzere www.muratguner.net ÖRNEK 1995-II İ2 = – 1 ve n pozitif tamsayı olmak üzere ÇÖZÜM – 1 i4n = i8n = 1 ÇÖZÜM – 2 n pozitif tamsayısını keyfi seçerek de çözüm yapılabilir. n = 1 için Ana Sayfaya Geri Dön

z = 2 + i karmaşık sayısı için sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK 2010 LYS z = 2 + i karmaşık sayısı için sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 1 www.muratguner.net ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 1  ( z – i ) ( z +3i ) z – i + z + 3i = 1 + i 2z + 2i = 1 + i 2z = 1– i 2 z = 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 2 www.muratguner.net ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 2  z – i + z + 3i = 1 + i 2 z = 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ÇÖZÜMÜ ÖRNEK 9x2 + 36 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM 9x2 = – 36   x2 = – 4 Köklerin birbirinin eşleniği olduğuna dikkat edelim. Ana Sayfaya Geri Dön

x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 1 Denklemi çarpanlarına ayırmaya gücünüz yetmiyorsa hiç çekinmeden ’ya başvurabilirsiniz.  = b2 – 4ac = 4 – 4.1.2 = – 4 ( Farklı iki sanal kök var ) Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 2 www.muratguner.net ÖRNEK x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Verilen ifadeyi mümkünse, tam kareye benzetmeye çalışalım.  x2 – 2x + 2 = 0 ( x – 1)2 + 1 = 0 ( x – 1)2 = – 1 x1 = 1 – i x2 = 1 + i Ana Sayfaya Geri Dön

Denklem reel katsayılı değilse kökler de birbirinin eşleniği değildir. www.muratguner.net UYARI Reel katsayılı ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c  R ) ikinci dereceden denkleminde  < 0 ise birbirinden farklı iki karmaşık kök vardır ve bu kökler birbirinin eşleniğidir.Bu da köklerden birini biliyorsak diğerini de zaten biliyoruz demektir.  Denklem reel katsayılı değilse kökler de birbirinin eşleniği değildir. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK m tamsayı olmak üzere x2 +2x + m = 0 denkleminin bir kökü – 1+3i olduğuna göre m kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( – 1+3i ) ise diğer kökü ( –1– 3i ) dir. ( – 1 + 3i )( – 1 – 3i ) = m ; ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 10 = m Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2010 LYS b ve c gerçel sayılar olmak üzere, P(x) = x2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i karmaşık sayısıdır. Buna göre, P(–1) kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( 3 – 2i ) ise diğer kökü ( 3 +2i ) dir. ( 3 – 2i )( 3 + 2i ) = c ; ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 13 = c ( 3 – 2i ) + ( 3 + 2i ) = – b b = – 6  P(x) = x2 – 6x +13 P( – 1 ) = 20 Ana Sayfaya Geri Dön

Kökleri bilinen denklemi yazmak için; www.muratguner.net ÖRNEK Köklerinden biri ( 2 – 3i ) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü 2 – 3i ise diğer kökü 2 + 3i dir. Kökleri bilinen denklemi yazmak için; x2 – ( x1 + x2 )x + x1x2 = 0 bağıntısını kullanırsak x2 – 4x + 13 = 0 denklemi elde edilir. ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 ( 2 – 3i )(2 + 3i) = 13 ( 2 – 3i )+(2 + 3i) = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK m ve n reel sayılar olmak üzere x3 + mx2 + 6x + n = 0 denkleminin bir kökü 2 diğer kökü (1 – i) dir. Buna göre m + n = ? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, reel olmayan kökler birbirinin eşleniğidir. x1 = 2 , x2 = 1 – i , x3 = 1 + i   x1+ x2 + x3 = – m 2 + (1 – i ) + ( 1 + i ) = m m = – 4 x1+ x2 + x3 = – b/a x1. x2 . x3 = – n   2(1 – i )( 1 + i ) = – n n = – 4 x1. x2 . x3 = –d/a m + n = – 8 Ana Sayfaya Geri Dön

p(x) = (x + i)(x – i )(x – 2i)(x + 2i) www.muratguner.net ÖRNEK 2011 LYS Baş katsayısı 1 olan, – i ve 2i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsayılı p(x) polinomu için p(0) kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, diğer kökler - i ve 2i nin eşleniğidir. p(x) = (x + i)(x – i )(x – 2i)(x + 2i) p(0) = i.(– i )(– 2i)( 2i ) p(0) = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK x4 + 8x2 – 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK x4 + 8x2 – 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM x2 = t diyelim.  t2 + 8t – 9 = 0 ( t + 9 )( t – 1 ) = 0 t 9 t = – 9 ve t = 1 t – 1 x2 = – 9 x2 = 1 x1 = 3i x2 = –3i x4 = –1 x3 = 1 Ç.K = { 3i, – 3i, 1, – 1 } Ana Sayfaya Geri Dön

x2 – ( 1 – 2i )x –1 – i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK x2 – ( 1 – 2i )x –1 – i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM  = 1 Denklem reel katsayılı olmadığından kökler birbirinin eşleniği değildir. Ç.K = { 1– i, – i } Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z3 + zi + a – 3i = 0 denkleminin bir kökü (1 + i ) ise a kaçtır? ÇÖZÜM Kök denklemi sağlar mantığı ile z yerine ( 1 + i ) yazılarak denklem sıfıra eşitlenir. (1 + i )3 + ( 1 + i )i + a – 3i = 0 (1 + i )2.( 1 + i ) + i + i2 + a – 3i = 0 (1 + 2i + i2 ).( 1 + i ) + i – 1 + a – 3i = 0 ( 2i ).( 1 + i ) – 1 + a – 2i = 0 2i + 2i2 – 1 + a – 2i = 0 2i – 2 – 1 + a – 2i = 0  – 3 + a = 0 a = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK x3 = 1 denkleminin bütün köklerini bulunuz. ÇÖZÜM x3 – 1= 0 www.muratguner.net ÖRNEK x3 = 1 denkleminin bütün köklerini bulunuz. ÇÖZÜM ( a – b )( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3  x3 – 1= 0 ( x – 1 )( x2 + x + 1 ) = 0 x2 + x + 1= 0 x1 = 1  = 1 – 4.1.1 = – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z2 + z + 1 = 0 olduğuna göre z2004 – 2.z1002 + 1 ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM ( a – b )( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3  z2 + z + 1 = 0 ( z – 1 )( z2 + z + 1 ) = 0.( z – 1 ) z3 – 1 = 0 z3 = 1 ( z3 )668 = z 2004 = 1 ( z3 )334 = z 1002 = 1 z2004 – 2.z1002 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z2 – 4iz + 5 = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2 olduğuna göre I z1 – z2 I kaçtır? ÇÖZÜM – 1  = (– 4i )2 – 4.1.5 = –16 – 20 = –36 I z1 – z2 I = I 5i – (– i ) I = I 6i I = 6 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z2 – 4iz + 5 = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2 olduğuna göre I z1 – z2 I kaçtır? ÇÖZÜM – 2  z2 – 4iz + 5 = 0 ( z – 5i )( z + i ) = 0 z – 5i z i z1= 5i z2= – i I z1 – z2 I = I 5i – (– i ) I = I 6i I = 6 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Köklerinden biri ( – i ) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + x + 1 = 0 B) x2 + x – 1 = 0 C) x2 + 1 = 0 D) x2 – 1 = 0 E ) x2 + x +12 = 0 ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( –i ) ise diğer kökü ( i ) dir. Kökler toplamı = 0 Kökler çarpımı = – i2 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Köklerinden biri (1– i ) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x + 1 = 0 B) x2 + 2x + 2 = 0 C) x2 – 2x + 2 = 0 D) x2 – 2x – 2 = 0 E ) x2 – 2x – 1 = 0 ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( 1 – i ) ise diğer kökü ( 1+ i ) dir. Kökler toplamı = 2 Kökler çarpımı = 1+1= 2 Ana Sayfaya Geri Dön

Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan sayıları bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan sayıları bulunuz. ÇÖZÜM Sayıları bulmak için önce denklem kurmalıyız. Kökleri bilinen denklemi yazmak için; x2 – ( x1 + x2 )x + x1x2 = 0 bağıntısını kullanırsak x2 – 4x + 5 = 0 denklemi elde edilir. x – 2 + i x – 2 – i x1 = 2 – i x2 = 2 + i İsterseniz  yöntemini de çekinmeden kullanabilirsiniz. Ana Sayfaya Geri Dön

x2–2x+10 üç terimlisinin çarpanlarına ayrılmış halini yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK x2–2x+10 üç terimlisinin çarpanlarına ayrılmış halini yazınız. ÇÖZÜM x2–2x+10 = ( x – 1 )2 – ( – 9 ) = ( x – 1 )2 – ( 3i )2 ( a – b )( a + b ) = a2 – b2 = ( x – 1– 3i )(x – 1 + 3i ) Ana Sayfaya Geri Dön

  [ ] = I I = EŞLENİK VE MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ( z ) = z www.muratguner.net EŞLENİK VE MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ( z ) = z 1)   z = a + bi z = a – bi ( z ) = a + bi z1 z2 = z1  z2 2) z1 . z2 = z1 . z2 3) z1 z2 [ ] = 4) ; z2  0 5) I z1.z2 I = I z1 I . I z2 I z1 z2 I I = I z1 I I z2 I ; z2  0 6) Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2007 / MAT- 2 Karmaşık sayılar kümesi üzerinde  işlemi z1z2 = z1 + z2 + I z1.z2 I biçiminde tanımlanıyor.Buna göre, ( 1 – 2i )( 2 + i ) işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM z1z2 = z1 + z2 + I z1.z2 I ( 1 – 2i )( 2 + i ) = (1 – 2i ) + ( 2 + i ) + I1 – 2i I.I 2 + i I = 3 – i + = 3 – i + 5 = 8 – i Ana Sayfaya Geri Dön

 I z I = I – z I = I z I = I – z I 7) ÖRNEK www.muratguner.net I z I = I – z I = I z I = I – z I 7) ÖRNEK z = x+ iy ve I z I + I– z I + Ii.z I+ I–i.z I = 12 ise x2 + y2 = ? ÇÖZÜM I z I + I – z I + I iz I + I –iz I = 12 I z I + I –1I.I z I + I i I.I z I + I –i I.I z I = 12 1 1 1 I z I + I z I + I z I + I z I = 12 4I z I = 12  I z I = 3 x2 + y 2 = 3 x2 + y 2 = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

 I zn I = I z In , nR 8) ÖRNEK ( 1 – i )8.z = 32i ise I z I = ? www.muratguner.net I zn I = I z In , nR 8) ÖRNEK ( 1 – i )8.z = 32i ise I z I = ? ÇÖZÜM  l ( 1 – i )8.z l = I 32i l I 1 – i I8. I z l = I 32i l l ( 1 – i )8 I . I z l = I 32i l 8 ) 1 ( + .I z l = 32 16.I z l = 32 I z l = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK z = i + i2 + i3 + i4 + …..+ i50 ise I z2 I = ? ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z = i + i2 + i3 + i4 + …..+ i50 ise I z2 I = ? ÇÖZÜM z = i + i2 + i3 + i4 + ...+ i49 + i50 i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. z = i + i2 z = i – 1  I z2 I = I z I2 I z2 I = I i – 1 I2 = ( ) 2 1+1 = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

karmaşık sayısının modülü kaçtır? www.muratguner.net ÖRNEK karmaşık sayısının modülü kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net z.z = I z I2 = a2 + b2 9) ÖRNEK z.z – 3 = 2IzI olduğuna göre IzI kaçtır? ÇÖZÜM z.z = IzI2 olduğundan  IzI2 – 3 = 2IzI IzI2 – 2IzI – 3 = 0 IzI –3 IzI 1 x  ( IzI – 3 )( IzI + 1 ) = 0 IzI = 3 , IzI = –1 IzI = 3 Uzaklık negatif olmaz Ana Sayfaya Geri Dön

İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK www.muratguner.net İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK z1= x1 + iy1 sayısına karşılık gelen noktaya A, z2 = x2 + iy2 sayısına karşılık gelen noktaya B diyelim ve bu noktaların geometrik gösterimi de aşağıdaki gibi olsun. z1 ve z2 sayıları arasındaki uzaklık IABI kadardır.ABC üçgeninde pisagor teoreminden z1 z2 B A IABI x2 x1 y2 y1 x1 – x2 y1 – y2 IABI2 = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 IABI = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 Diğer taraftan I z1 – z2 I = I x1+iy1 – ( x2 +iy2) I = I ( x1 – x2 ) +i( y1 – y2) I = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = IABI Iz1–z2I gösterimi karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı belirtir. Ana Sayfaya Geri Dön

I z1 – z2 I = I 5+7i – ( 2 +3i ) I = I 3 + 4i I = = 5 4 3 + www.muratguner.net ÖRNEK z1 = 5+7i ve z2 = 2 + 3i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM I z1 – z2 I = I 5+7i – ( 2 +3i ) I = I 3 + 4i I = = 5 2 4 3 + İsterseniz geometrik çözüm de yapabilirsiniz. Bazı sorularda ciddi kolaylık sağlar. Nasıl mı? 2 3 5 7 z2 z1 4 I z1 – z2 I = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 formülüyle de siz yapınız. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z1 = –1+3i ve z2 = 2 – i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM I z1 – z2 I = (– 1 – 2 )2 + ( 3 – ( – 1 ) )2 = 5 z1 3 5 4 2 – 1 – 1 z2 3 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = 3 + 4i karmaşık düzlemde pozitif yönde120° döndürülmesiyle w karmaşık sayısı elde ediliyor.Buna göre I w – z I değeri kaçtır? ÇÖZÜM I w – z I ifadesinin, w karmaşık sayısı ile z karmaşık sayısı arası uzaklığı olduğunu hatırlayınız. z = 3 + 4i 4 w 5 I w – z I = 3 5 5 120° 3 z = 3 + 4i sayısının 120° döndürülmesiyle elde edilen w karmaşık sayısının mutlak değeri, z sayısının mutlak değeri ile aynıdır. ( yani döndürülmeyle uzunluk değişmez. I z I = I w I ) Ana Sayfaya Geri Dön

I x – 1 + ( x + 2)i – (–1 + ( x – 1 )i I = 5 www.muratguner.net ÖRNEK z1 = x – 1+ (x + 2)i ve z2 = –1 + (x – 1)i karmaşık sayıları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre x’in pozitif değeri kaçtır? ÇÖZÜM  I z1 – z2 I = 5 I x – 1 + ( x + 2)i – (–1 + ( x – 1 )i I = 5 I x – 1 + ( x + 2)i +1 – ( x – 1 )i I = 5 I x – 1 +1 + ( x + 2– x +1 )i I = 5 I x + 3i I = 5 = 5 2 3 x + x2 = 16 x = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Karmaşık düzlemde A( 5 + 25i ), B( – 8 + 12i ), C( 2 + 8i ) noktaları veriliyor.A noktasının [BC]’nin orta noktasına olan uzaklığı kaç birimdir? ÇÖZÜM ll ll B(– 8 , 12 ) D( x, y ) C( 2, 8 ) x = = – 3 – 8 + 2 2 y = = 10 12 + 8 2 IADI = ( 5 – ( – 3 )) 2 + (25 – 10)2 = 17 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z – 2 + i I  I z + 1 I eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 2 + i I  I z + 1 I I x + iy – 2 + i I  I x + iy + 1 I ( x – 2 )2 + (y + 1)2  ( x +1 )2 + y2 x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1  x2 + 2x + 1 + y2 – 4x + 2y + 5  2x + 1 ( 0 , 0 ) – 6 x + 2y  – 4 2/3 – 3x + y  – 2 – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z + 3i I = I z – 3 I eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. y = – x ÇÖZÜM I x + iy + 3i I = I ( x + iy ) – 3I I x + i(y + 3) I =I x + iy – 3 I x2 + (y + 3)2 = ( x – 3 )2 + y2 x2 + y2 + 6y + 9 = x2 – 6x + 9 + y2 y = – x Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2010 LYS I z + 2 I = I z – 1 I eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I ( x + iy ) + 2 I = I ( x + iy ) – 1 I I x + 2 + iy I = I x – 1 + iy I x2 + 4x + 4 = x2 – 2x + 1 Ana Sayfaya Geri Dön

KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ www.muratguner.net KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ Söz konusu ilişkiyi belirtmek için önce çemberi kısaca hatırlatmakta fayda var. TANIM a, b  R ve rR+ olmak üzere sabit bir M( a, b ) noktasına r kadar uzakta olan düzlemdeki bütün noktaların kümesine M( a, b ) merkezli r yarıçaplı çember denir. IPMI = r = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 M( a, b ) P( x , y ) r r2 = ( x – x0)2 + (y – y0)2 Bu eşitlik, çemberin her noktası için sağladığından, çember denklemidir.O halde M( a, b ) merkezli, r yarıçaplı çember denklemi: r2 = ( x – a)2 + (y – b)2 Ana Sayfaya Geri Dön

Merkezi M( 0, 0 ), yarıçapı 6 birim olan çember denklemi: x2 + y2 = 36 www.muratguner.net ÖRNEK Merkezi M( 2, 3 ), yarıçapı 2 birim olan çember denklemi: ( x – 2 )2 + (y – 3 )2 = 4 Merkezi M( – 1, 4 ), yarıçapı 5 birim olan çember denklemi: ( x + 1 )2 + (y – 4 )2 = 25 Merkezi M( 0, 0 ), yarıçapı 6 birim olan çember denklemi: x2 + y2 = 36 Denklemi:( x – 5 )2 + (y – 4 )2 = 9 M( , ), r = 5 4 3 Denklemi:( x + 7 )2 + (y – 1 )2 = 16 M( , ), r = –7 1 4 Denklemi:( x + 1 )2 + (y + 3 )2 = 49 M( , ), r = –1 –3 7 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = x + iy, z0 = a + ib ve rR+olmak üzere I z – z0 I = r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember belirtir.Gösteriniz. ÇÖZÜM  I x + iy – (a + ib) I = r I (x – a) + i( y – b) I = r ( x – a)2 + (y – b)2 = r ( x – a)2 + (y – b)2 = r2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z – (2 + 3i) I = 3 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – (2 + 3i) I = 3 I (x – 2) + i( y – 3) I = 3 Merkezi M( 2, 3 ), yarıçapı 3 birim olan çember denklemidir. (x – 2)2 + ( y – 3)2 = 9 2 3 M( 2,3 ) r = 3 I z – z0 I = r eşitliğinde z0'ın koordinatları çemberin merkezinin koordinatları olduğuna dikkat edin. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z + 2 – 2i I = 1 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z + 2 – 2i I = 1 I z – ( – 2 + 2i ) I = 1 – 2 2 (– 2,2 ) 1 Merkezi M(– 2, 2 ), yarıçapı 1 birim olan çember denklemidir. (x + 2)2 + ( y – 2)2 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

Ters işaretli olduğuna dikkat ediniz. www.muratguner.net ÖRNEK I z – 2 + 3i I = 4 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Merkezi ( – 2, 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember B) Merkezi ( 2, 3 ) ve yarıçapı 2 birim olan çember C) Merkezi ( 2, – 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember D) Merkezi ( 2, – 3 ) ve yarıçapı 2 birim olan çember E) Merkezi (– 2, – 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember ÇÖZÜM  I z – 2 + 3i I = 4 Merkezi M( 2, – 3 ), r =4 Ters işaretli olduğuna dikkat ediniz. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z + 3 – 4i I = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak gösterilmiştir? 3 4 ( 3,4 ) – 3 (–3,4 ) (– 3,4 ) – 4 (3, –4 )  I z + 3 – 4i I = 2 Merkezi M( – 3, 4 ), r =2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Denklemi ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = 16 olan çember, zC olmak üzere aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 2 – i I = 4 B) I z + 2 – i I = 16 C) I z –2 + i I = 4 D) I z –2 + i I = 16 E) I z –2 – i I = 4 ÇÖZÜM Denklemi; ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = 16 olan çemberin M ( 2, – 1) ve r = 4 tür. Ana Sayfaya Geri Dön

x2 + ( y – 3 )2 = 9 olan çemberin M ( 0, 3) ve r = 3 tür. www.muratguner.net ÖRNEK Denklemi x2 + ( y – 3 )2 = 9 olan çember, zC olmak üzere aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 3 i I = 3 B) I z – 3i I = 9 C) I z – 3 I = 3 D) I z + 3i I = 9 E) I z – 3i I = 3 ÇÖZÜM Denklemi; x2 + ( y – 3 )2 = 9 olan çemberin M ( 0, 3) ve r = 3 tür. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK d 4 + 3i Yandaki karmaşık düzlemde, orijinden geçen d doğrusu ile x eksenine teğet olan çember verilmiştir.Çemberin merkez noktası 4+3i dir.Z sayısı çember ve d doğrusu üzerinde olduğuna göre I z I kaçtır? z 3 3 5 3 4 3- 4- 5 üçgeni ÇÖZÜM I z I = 5 + 3 = 8 Ana Sayfaya Geri Dön

A) I z + 1 – 2i I = 3 B) I z – 1 +2i I = 3 C) I z – 1 + 2i I = 9 www.muratguner.net ÖRNEK w =1–2i karmaşık sayısına uzaklığı 3 br olan karmaşık sayıların kümesi aşağıdaki eşitliklerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 1 – 2i I = 3 B) I z – 1 +2i I = 3 C) I z – 1 + 2i I = 9 ÇÖZÜM w = 1 – 2i karmaşık sayısına uzaklığı 3 br olan karmaşık sayı z olsun. – 2 1 I z – w I = 3 ise I z – ( 1 – 2i ) I = 3 I z – 1 + 2i I = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z –1+ i I = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının eşleniklerinin geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z –1 + i I = 1 Merkezi M( 1, – 1 ), r = 1 a+ib ve a – ib sayıları reel eksene (x eksenine) göre simetrik olduğundan bize sorulan geometrik gösterim yukarıda bahsedilen çemberin reel eksene göre simetriği olan (1,1) merkezli ve 1br yarıçaplı çemberdir. 1 – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

Geometrik çözümü de siz yapınız. www.muratguner.net ÖRNEK I z + 5 – 2i I = 2 ve I z – 3 + 4i I = 3 çemberleri arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM ( – 5, 2 ) x ( 3, – 4 ) M1 r = 2 r = 3 M2 IM1M2I = x + 5 = ( – 5 – 3 )2 + ( 2 – ( – 4 ) ) 2 x + 5 = 10 x = 5 Geometrik çözümü de siz yapınız. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2012-LYS Ana Sayfaya Geri Dön

Eşitlik halinde çember çözüme dahil edilir. www.muratguner.net UYARI z = x + iy, z0 = a + ib ve rR+ olmak üzere a b a b a b I z – z0 I = r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember belirtir. I z – z0 I < r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, bu çemberin içini temsil eder. I z – z0 I > r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, bu çemberin dışını temsil eder. Eşitlik halinde çember çözüme dahil edilir. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK { z : I z – 3 + 2i I  2, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – 3 + 2i I = 2 Merkezi M( 3, – 2 ), r = 2 { z : I z – 3 + 2i I  2, z  C } kümesi, M( 3,– 2) ve r = 2 olan çember ile içinin bileşimidir. 3 – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK { z : I z – 5 – 4i I > 3, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – 5 – 4i I = 3 Merkezi M( 5, 4 ), r = 3 { z : I z – 5 – 4i I > 3, z  C } kümesi, M( 5,4 ) ve r = 3 olan çemberin dış bölgesidir.Çemberin kendisi dahil değil. 4 5 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK { z : 4  z.z  9, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM   z = x+ iy z = x – iy z .z = x2 + y2 O halde 4  x2 + y2  9 eşitsizliğini sağlayan (x, y) noktalarının kümesi, 4  x2 + y2 ve x2 + y2  9 eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin kesişimidir. 2 3 – 2 – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2  I z + 1 I < 3 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yer denklemini yazınız. ÇÖZÜM  2  I z + 1 I < 3 2  I x + iy + 1 I < 3 –1 1 2 –3 –4 2  ( x + 1 )2 + y2 < 3 4  ( x + 1 )2 + y2 < 9 Eşitsizliği; merkezi (–1, 0 ), yarıçapı 2 br olan çember ve dış bölgesi ile merkezi (– 1, 0), yarıçapı 3 br olan çemberin iç bölgesinin kesişimidir. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2 < I z – 1 + 2i I  4 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  2 < I z – 1 +2i I  4 2 < I z – ( 1 – 2i ) I  4 2 < I z –1+ 2i I  4 eşitsizliğinin merkezi ( 1, – 2 ), yarıçapları 2 ve 4 br olan çemberlerin arasında kalan bölgedir. ( 1,–2 ) Dahil Dahil değil Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = x + iy olmak üzere ( z – 1 )( z + 1 ) = 2z + 8 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yer denklemini yazınız. ÇÖZÜM  ( z – 1 )( z + 1 ) = 2z + 8 z.z + z – z – 1 = 2z + 8 z.z = z + z + 9 x2 + y2 = x+iy + (x – iy)+9 x2 + y2 = 2x + 9 x2 – 2x + y2 = 9 ( x – 1 )2 – 1 + y2 = 9 ( x – 1 )2 + y2 = 10 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK A = { zC: I z – 1 – i I > 1, I z – 1 – 2i I  2 } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 1 – i I > 1 I z – 1 – 2i I  2 I z –1– i I > 1 eşitsizliğinin merkezi ( 1, 1 ), yarıçapı 1 br olan çemberin dış bölgesidir. I z –1– 2i I  2 eşitsizliğinin merkezi ( 1, 2 ), yarıçapı 2 br olan çemberin kendisi ve iç bölgesidir. ( 1,1 ) ( 1,2 ) Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK A = { z C : I z I < 3, I z + 3i I > 3 } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z I < 3 I z + 3i I > 3 – 3 – 6 3 I z I < 3 eşitsizliğinin merkezi ( 0,0 ) , yarıçapı 3 br olan çemberin iç bölgesidir. I z + 3i I > 3 eşitsizliğinin merkezi ( 0, – 3 ), yarıçapı 3 br olan çemberin dış bölgesidir. Ana Sayfaya Geri Dön

Şekle göre aranan en uzun mesafe IABI dir. www.muratguner.net ÖRNEK I z I  2 olduğuna göre I z – 3 + 4i I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM IzI 2 ifadesi merkezi orijin ve yarıçapı 2 birim olan çember ve iç bölgesini ifade eder. I z – ( 3 – 4i ) I ifadesi ise çember ve iç bölgesi ile ( 3 – 4i ) sayısı arası uzaklığı ifade eder. 2 – 4 – 2 A 3 – 4i B O 3 2 Şekle göre aranan en uzun mesafe IABI dir. 2 3 IABI = I OA I + I OB I = 5 + 2 = 7 3-4-5 üçgeni Ana Sayfaya Geri Dön

Şekle göre aranan en kısa uzaklık IABI dir. www.muratguner.net ÖRNEK I z I  3 olduğuna göre I z + 4 – 3i I ifadesinin en küçük değeri kaçtır? ÇÖZÜM IzI 3 ifadesi merkezi orijin ve yarıçapı 3 birim olan çember ve iç bölgesini ifade eder. I z – ( – 4 + 3i ) I ifadesi ise çember ve iç bölgesi ile ( – 4 + 3i ) sayısı arası uzaklığı ifade eder. 3 – 4 – 3 A – 4 + 3i B O 2 3 Şekle göre aranan en kısa uzaklık IABI dir. IABI = I OA I – I OB I = 5 – 3 = 2 3-4-5 üçgeni Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z + 3 + 6i I = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları için I z – 2 – 6i I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM I z + 3 + 6i I = 1 ifadesi merkezi ( -– 3, – 6 ) ve yarıçapı 1 birim olan çember ifade eder. I z – ( 2 + 6i ) I ifadesi z karmaşık sayısının 2+6i karmaşık sayısına uzaklığını gösterir. z = 2 + 6i 6 B 12 5 13 – 3 2 1 I AB I = 13 + 1 = 14 – 6 1 A Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ARGÜMENT x y z = a +bi o a b  z = a+bi sayısı verilsin.z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle pozitif yönde yaptığı açıya z karmaşık sayısının argümenti denir ve argz =  + 2k ( kZ ) biçiminde gösterilir. +2k açısının esas ölçüsüne de z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Argz =  biçiminde gösterilir. Ana Sayfaya Geri Dön

z = 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. ÇÖZÜM x y z = 1 + i = ( 1, 1 ) o 1 45° Argz = 45° Ana Sayfaya Geri Dön

z = – 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = – 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. ÇÖZÜM y o 1 60° –1 30° I z I = 2 x Argz = 180° – 60° = 120° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2011 LYS z ile z’nin eşleniği gösterildiğine göre z2 = z eşitliğini sağlayan ve argümenti π/2 ile π arasında olan sıfırdan farklı karmaşık sayı nedir? ÇÖZÜM z = x+iy olsun. Argümenti π/2 ile π arasında olan, sıfırdan farklı karmaşık sayı 2.bölgeye düşer.Yukarıda verilen eşitliği sağlayan, 2. bölgenin elemanı olan z karmaşık sayısını bulalım.  z2 = z ( x+iy )2 = x – iy x2 +2xyi – y2 = x – iy x2 – y2 = x 2xy = –y ( z1, 2.bölgede ) ( z2, 3.bölgede ) Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net Ana Sayfaya Geri Dön

KUTUPSAL KOORDİNATLAR www.muratguner.net KUTUPSAL KOORDİNATLAR x y z = a +bi = ( a,b ) o a b  IzI=r z=a+bi sayısı verilsin.z karmaşık sayısının mutlak değeri ile argümentine bu sayının kutupsal koordinatları denir.( I z I,  ) veya ( r,  ) şeklinde gösterilir. Ana Sayfaya Geri Dön

z = 1 – i sayısının kutupsal koordinatlarını bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 1 – i sayısının kutupsal koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM z = 1 – i = ( 1, – 1 ) o – 1 1 45° Argz = 270° + 45° = 315° ve I z I = z = 1 – i = ( 1 , – 1 ) = ( , 315° ) ( kartezyen koordinatları) ( kutupsal koordinatları) Ana Sayfaya Geri Dön

Kutupsal koordinatları ( 2, ) olan karmaşık sayıyı yazınız. 4 3 ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK Kutupsal koordinatları ( 2, ) olan karmaşık sayıyı yazınız. 4 3 ÇÖZÜM 1 60° 2 z = – 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK Arg( z – 2 – i ) = 225°olduğuna göre z karmaşık sayılarının www.muratguner.net ÖRNEK Arg( z – 2 – i ) = 225°olduğuna göre z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. ÇÖZÜM Arg( z – 2 – i ) = 225° (  = 225° açısı III. bölgede olduğundan x – 2 < 0 ,y – 1 < 0 dır) Arg( x + iy – 2 – i ) = 225° –1 1 2 225° Arg(x – 2 + i(y–1)) = 225°  y = x –1 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net UYARI x, y  R olmak üzere z0 = x+ iy karmaşık sayısına karşılık gelen nokta A( x, y ) olsun. Arg( z – z0 ) = , 0   < 360° koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsü ]AB yarı doğrusudur.  A B Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Arg( z + 1 – i ) =135° eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. ÇÖZÜM Arg( z + 1 – i ) =135° Arg( z – ( – 1 + i ) =135° –1 1 135° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Arg( z – i ) = 90°, Arg( z + 1 ) = 60° eşitliklerini sağlayan z karmaşık sayını yazınız. ÇÖZÜM  Arg( z – i ) = 90° Arg( z – ( 0 + i ) ) = 90°  Arg( z +1 ) = 60° Arg( z – (– 1 + 0.i ) ) = 60° – 1 60° 1 z =? Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 90°  Arg( z – 1 ) < 135° eşitliklerini sağlayan z karmaşık sayılarını düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM 90°  Arg( z – ( 1 + 0i ) ) < 135° y o 1 x 135° Ana Sayfaya Geri Dön

  KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL ( TRİGONOMETRİK ) GÖSTERİMİ Cos = www.muratguner.net KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL ( TRİGONOMETRİK ) GÖSTERİMİ x y z = a +bi o a b  r = IzI Cos = a I z I  a = IzI.Cos Sin = b I z I  b = IzI.Sin Tan = b a z = a+ib = IzI.Cos + i.IzI.Sin = IzI.[ Cos + iSin ] = IzI.[Cos(+2k)+iSin(+2k)] = IzI.Cis Ana Sayfaya Geri Dön

z = – 1 + i sayısının kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = – 1 + i sayısının kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y o 1 60° –1 30° I z I = 2 x z = IzI.[ Cos + iSin ] z = 2.[Cos120° + iSin120°] z = 2.Cis120° Argz = 180° – 60° = 120° Ana Sayfaya Geri Dön

z = – 1– i sayısını kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = – 1– i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y o 1 60° –1 I z I = 2 x 30° z = IzI.[ Cos + iSin ] z = 2.[Cos240° + iSin240°] z = 2.Cis240° Argz = 180° + 60° = 240° Ana Sayfaya Geri Dön

z = 4 – 4i sayısını kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = 4 – 4i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y 45° – 4 x 4 z = IzI.[ Cos + iSin ] z = .[Cos315° + iSin315°] z = .Cis315° Argz = 270° + 45° = 315° Ana Sayfaya Geri Dön

z = 5i sayısını kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = 5i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y x 5 z = 5( Cos90°+ iSin90°) = 5Cis90° Ana Sayfaya Geri Dön

z = – 3i sayısını kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = – 3i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y x – 3 z = 3( Cos270°+ iSin270°) =3Cis270° Ana Sayfaya Geri Dön

z = 8 sayısını kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = 8 sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y x 8 z = 8( Cos0°+ iSin0°) = 8Cis0° Ana Sayfaya Geri Dön

z = 6( Cos210°+ iSin210°) sayısını standart biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = 6( Cos210°+ iSin210°) sayısını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM – 1 ÇÖZÜM – 2 Geometrik Çözüm z = 6( Cos210° + iSin210 ) y o 3 30° –3 I z I = 6 x 60° z = 6( – Cos30° – iSin30° ) z = 6( – – i ) 1 2 3 z = –3 – 3i 3 Ana Sayfaya Geri Dön

sayısını standart biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = Cis( ) 4 3 sayısını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM y o 4 45° –4 x z = – 4+ 4i Ana Sayfaya Geri Dön

z = 1+ i sayısının kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK 2010 LYS z = 1+ i sayısının kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM x y o 1  IzI = 2 Argz = 60° z = 2( Cos60°+ iSin60° ) Ana Sayfaya Geri Dön

(2, 200°) = ( IzI,  ) olduğundan I z I = 2 ve Arg(z) = 200° dir. www.muratguner.net ÖRNEK Kutupsal koordinatları ( 2, 200°) olan z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM (2, 200°) = ( IzI,  ) olduğundan I z I = 2 ve Arg(z) = 200° dir. z = 2(Cos200°+iSin200°) = 2Cis200° Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK z = 5 +12i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z = 5 +12i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM I z I = 13 = 2 12 5 + tan = 5 12  5 12 Arctan( tan ) = Arctan ( )  = Arctan ( ) 5 12 5 12 z = 5 + 12i = 13Cis( Arctan ) Ana Sayfaya Geri Dön

 HATIRLATMA 180° –  180° +  360°–  www.muratguner.net HATIRLATMA Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant değerleri pozitiftir Sinüs değeri pozitif, diğerleri negatiftir 180° –   Sınıf Bütün Kara Tahtada Kotanjant ve Tanjant değeleri pozitif, diğerleri negatiftir 180° +  360°–  Coşar Kosinüs değeri pozitif, diğerleri negatiftir Sin230° = Sin(180°+ 50°) = – Sin50° Sin165° ° = sin(180° – 15°) = Sin15 Cos340° = Cos (360°– 20) = Cos20° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Aşağıda verilen karmaşık sayıların esas argümentlerini bulunuz. A) z1 = Cos2009° + iSin2009° 0   < 360° olduğundan 2009°  209° (mod 360°) z1 = Cos209° + iSin209° Arg( z1 ) = 209° olur. X B) z2 = Cos37° + iCos53° z = IzI.[ Cos + iSin ] z2 = Cos37° + iSin37° Arg( z2 ) = 37° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

X C) z3 = 6( Sin5° + iCos5°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan www.muratguner.net X C) z3 = 6( Sin5° + iCos5°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan z3 = 6( Cos85° + iSin85°) olur. Arg( z3 ) = 85° olur. 2.yol tan = Cos5° sin5° = Cot5° = tan85°  = 85° 6 Sin5° > 0 ve 6Cos5° > 0 olduğundan z3 birinci bölgededir. Arg( z3 ) = 85° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

X D) z4 = 4( Sin160° + iCos340°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan www.muratguner.net X D) z4 = 4( Sin160° + iCos340°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan Sin160° = Sin20° Cos340° = Cos20° z4 = 4( Sin20° + iCos20°) z4 = 4( Cos70° + iSin70°) Arg( z4 ) = 70° olur. 2.yol tan = 4cos340° 4sin160° cos20° sin20° = = cot20° = tan70°  = 70° 4 Sin160° > 0 ve 4Cos340° > 0 olduğundan z4 ,birinci bölgededir. Arg( z4 ) = 70° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

E) z5 = Cos50° + iSin230° = Cos50° – iSin50° www.muratguner.net E) z5 = Cos50° + iSin230° Sin230° = Sin( 180° + 50° ) = – Sin50° = Cos50° – iSin50° = Cos( – 50°) + iSin( – 50° ) = Cos( 310°) + iSin( 310° ) Arg( z5 ) = 310° olur 2.yol tan = sin230° cos50° – sin50° Cos50° = = tan50°  = 50° Cos50° > 0 ve sin230° < 0 olduğundan z5 dördüncü bölgededir. Arg( z5 ) = 360°– 50° = 310° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

X F) z6 = 7( – Cos15° + iSin15° ) z6 = 7(Cos165° + iSin165° ) www.muratguner.net X F) z6 = 7( – Cos15° + iSin15° ) z = IzI.[ Cos + iSin ] –7 Cos15° < 0 ve 7Sin15° > 0 olduğundan z6 ikinci bölgededir. z6 = 7(Cos165° + iSin165° ) Sin165° = sin( 180° – 15° ) = Sin15° Cos165° = Cos(180 – 15 ) = – Cos15° Arg( z6 ) = 165° olur 2.yol tan = 7sin15° – 7cos15° = tan15°  = 15° –7 Cos15° < 0 ve 7Sin15° > 0 olduğundan z6,ikinci bölgededir. Arg( z6 ) = 180°– 15° = 165° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

G) z7 = – 3( Sin66° + iCos66°) – 3cos66° tan = = cot66 = tan24° www.muratguner.net G) z7 = – 3( Sin66° + iCos66°) – 3cos66° tan = = cot66 = tan24° – 3sin66°  = 24° –7 Cos24° < 0 ve – 3Sin24° < 0 olduğundan z7 , 3. bölgededir. Arg( z7 ) = 180° + 24° = 204° olur Ana Sayfaya Geri Dön

H) z8 = Cos40°– iSin40° – sin40° tan = = tan40° cos40°  = 40° www.muratguner.net H) z8 = Cos40°– iSin40° tan = – sin40° cos40° = tan40°  = 40° Cos40° > 0 ve –Sin40° < 0 olduğundan z8 , 4. bölgededir. Arg( z8 ) = 360° – 40° = 320° olur Ana Sayfaya Geri Dön

J) z9 = Sin50° + iCos310° tan = cos310° sin50° = cot50° = tan40 www.muratguner.net J) z9 = Sin50° + iCos310° tan = cos310° sin50° = cot50° = tan40  = 40° cos50° = Sin50° > 0 ve cos310° > 0 olduğundan z8 , 1. bölgededir. Arg( z8 ) = 40° olur Ana Sayfaya Geri Dön

z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 1 z = Sin70° + i( 1+ 2Cos235° – 1 ) Cos2a = 2Cos2a – 1 z = Sin70°+ i2Cos235° z = 2Sin35°.Cos35° + i2Cos235° z = 2Cos35°.[ Sin35° + iCos35° ] z = 2Cos35°.[ Cos55° + iSin55° ] IzI Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 2 tan = 1+ cos70° sin70° 1+2cos235°– 1 2sin35°.cos35° = Cos2a = 2Cos2a – 1 2cos235° 2sin35°.cos35° = cos35° = = cot35° = tan55 sin35° Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 3 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) = i + Sin70°+ iCos70° i z1 z2 Iz1I = 1 Iz2I = 1 20° 35° = i + Cos20°+ iSin20° z1 z2 Argz = Arg( z1+z2 ) = 20°+35°= 55° I z2 I = I Cos20°+ iSin20° I = 1 Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır. Ana Sayfaya Geri Dön

z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 4 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) = i + Sin70°+ iCos70° z = i + cos20° + iSin20° z = Cos90° + iSin90° + cos20°+ iSin20° z = Cos90°+cos20° + i[ Sin90°+Sin20° ] z = 2Cos55°.Cos35° + i[ 2Sin55°.Cos35° ] z = 2Cos35°.[ Cos55° + iSin55° ] IzI Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM- 1 z = 1+ 2Cos226 – 1+ i2Sin26°.Cos26° Cos2a = 2Cos2a – 1 Sin2a = 2SinaCosa z = 2Cos226 + i2Sin26°.Cos26° z = 2Cos26 [ Cos26° + iSin26° ] IzI Argz = 26° ( Sorunun geometrik çözümü öğrenciye bırakılmıştır.) Ana Sayfaya Geri Dön

z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 2 tan = sin52° 1+cos52° 1+2cos226°– 1 2sin26°.cos26° = Cos2a = 2Cos2a – 1 Sin2a = 2SinaCosa 2cos226° 2sin26°.cos26° = sin26° = cos26° = tan26 Argz = 26° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK I z + 4i I = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarından esas argümenti en küçük olanın esas argümenti kaç derecedir? ÇÖZÜM I z + 4i I = 2 eşitliğinden M( 0,– 4 ) ve r = 2 br olan çember elde edilir. z karmaşık sayıları şekildeki çember üzerindedir.Bu sayılar içinde argümenti en küçük olan T değme noktasındaki sayıdır. 30° – 2 Neden 30° T 2 – 4 Argz = 270° – 30° = 240° – 6 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net UYARI  –  IzI 2–  z z ile z karmaşık sayılarının reel eksene göre simetrik olduklarını ve modüllerinin eşit olduğunu biliyoruz Arg( z ) =   Arg( z ) = 2 –  z Ana Sayfaya Geri Dön

Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +  www.muratguner.net UYARI z – z   +  z ile –z karmaşık sayılarının orijine göre simetrik olduklarını ve modüllerinin eşit olduğunu biliyoruz Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +  Ana Sayfaya Geri Dön

z = 3Cis205° ise Arg( z ) kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK z = 3Cis205° ise Arg( z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg( z ) = 2 –  Arg( z ) = 360° – 205° = 155° Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK z = Cos40°+ iSin40° ise Arg( – z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z = Cos40°+ iSin40° ise Arg( – z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg( z ) = 2 –  z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg( –z ) =  +   Arg( z ) = 360 – 40 Arg( z ) = 320° Arg( –z ) = 180° + 320° = 500° Esas argüment [ 0, 360° ) arasında olmak zorundadır. Arg( –z ) = 500°– 360° = 140° Ana Sayfaya Geri Dön

KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM www.muratguner.net KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1 – TOPLAMA – ÇIKARMA Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayıyı toplar veya çıkarırken esas argümentlere bakılır.Esas argümentleri kolayca bulunabilen 30,45,60,…gibi açılar ise sayılar standart biçime çevirilir sonra toplama veya çıkarma yapılır. Esas argümentlerin trigonometrik değerleri kolayca bulunamıyorsa modüllere bakılır.Modüler eşit ise trigonometrik dönüşüm formülleri ya da geometrik çözüm kullanılır.Modüller eşit değilse geometrik çözüme başvurulur. Bazı durumlarda geometrik çözüm bizim için en ideal çözüm olacaktır. Ana Sayfaya Geri Dön

z1 = 4( Cos30° + iSin30°) = 4 ( ) = + 2i 3 2 www.muratguner.net ÖRNEK z1 = 4( Cos30° + iSin30°), z2 = ( Cos135°+ isin135°) karmaşık sayıları için z1+z2 = ? 2 ÇÖZÜM z1 = 4( Cos30° + iSin30°) = 4 ( ) = + 2i 3 2 z2 = ( Cos135°+ isin135°) = ( ) = – 2 + 2i 2 + z1 + z2 = – 2 + 4i 3 2 Ana Sayfaya Geri Dön

I z1 I = 2 = Iz2 I olduğundan dönüşüm formülleri kullanılabilir. www.muratguner.net ÖRNEK z1 = 2( Cos20° + iSin20°), z2 =2( Cos80°+ isin80°) karmaşık sayıları için z1+z2 işlemini kutupsal biçimde yazın. ÇÖZÜM – 1 I z1 I = 2 = Iz2 I olduğundan dönüşüm formülleri kullanılabilir. z1 + z2= 2( Cos20° + iSin20°) + 2( Cos80°+ isin80°) z1 + z2= 2 [ ( Cos20° + Cos80°) + i( Sin20°+ sin80°) z1 + z2= 2 [ 2Cos50°Cos30°) + i( 2Sin50Cos30°) z1 + z2= 2.2Cos30°.[ Cos50°+ iSin50 ] z1 + z2 = Cis50° 3 2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z1 = 2( Cos20° + iSin20°), z2 =2( Cos80°+ isin80°) karmaşık sayıları için z1+z2 işlemini kutupsal biçimde yazın. ÇÖZÜM – 2 Z2 Z1 Z1 + Z2 B A C 20° 60° 30° 2 z1 + z2 = Cis50° 3 2 Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK z1 = Cis33°, z2 = Cis153° I z1 – z2 I = ? ÇÖZÜM I z1 – z2 I = www.muratguner.net ÖRNEK z1 = Cis33°, z2 = Cis153° I z1 – z2 I = ? ÇÖZÜM I z1 – z2 I = I z1 – z2 I I z1 – z2 I ifadesinin karmaşık düzlemde z1 ve z2 arasındaki uzaklık belirttiğini hatırlayalım. 1 z1 z2 33° 120° I z1 – z2 I = Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z1 = 4Cis40°, z2 = 3Cis130° karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM 3 4 z1 z2 40° 90° I z1 – z2 I = 5 Ana Sayfaya Geri Dön

KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM www.muratguner.net KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 2 – ÇARPMA z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun. z1.z2 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ) . I z2 I( Cos2 + iSin2 ) = Iz1IIz2I[(cos1cos2–sin1sin2)+i[sin1Cos2+ cos1Sin2 )] = Iz1IIz2I[ ( cos (1+ 2 ) + i [ ( sin (1+2 ) ] Ana Sayfaya Geri Dön

KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM www.muratguner.net KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 2 – BÖLME z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun. I z1 I( Cos1 + iSin1 ) = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) z1 z2 I z1 I( Cos1 + iSin1 ) = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) ( Cos2 – iSin2 ) … I z1 I = I z2 I z1 z2 ( cos (1 – 2 ) + i [ ( sin (1 – 2 ) ] Ana Sayfaya Geri Dön

z karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. www.muratguner.net cos70° ÖRNEK sin15° z = 4( sin20° + iSin70°) 2(cos15° + icos75°) ( cos10° + isin10°) olduğuna göre z karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM z = 4( cos70° + isin70°) 2( cos15° + isin15°) ( cos10° + isin10°) = 4cis70° 2cis(15° + 10) = 4cis70° 2cis25° = 2cis ( 70°– 25° ) = 2cis45° = 2 ( ) = Ana Sayfaya Geri Dön

olduğuna z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK z = –2i cos20°– isin20° olduğuna z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM z = 2( cos270 + isin270 ) cos340°+ isin340°  = 20° Cos20° > 0 ve –Sin20° < 0 olduğundan z8 , 4. bölgedir. cos20°– isin20° sayısının argümenti 340° dir tan = – sin20° cos20° = tan20° = 2cis ( 270° – 340° ) = 2cis (– 70° ) = 2cis290° Ana Sayfaya Geri Dön

karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK 2009 MAT-2 z = cos75° + isin75° cos15°+ isin15° karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM z = cos75 + isin75 cos15°+ isin15° = cos(75° – 15°) + isin(75° – 15°) = cos60°+ isin60° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK A( z1) B( z2) x y Yandaki şekilde z1 ve z2 karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsü verilmiştir.I z1 I = I z2 I ve m(AOB) = 90° olduğuna göre, z1 z2 = ?  90° –   ÇÖZÜM = 1 2 z I z I.Cis( 270 +  ) = Cis( 270 +  –  ) = Cis( 270 ) I z I.Cis(  ) = – i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = 3Cis50° olduğuna göre z-1 sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM 1 1 cis0° 1 z-1 = = = = cis ( 0 – 50° ) z 3 3cis50° 3cis50° 1 = cis ( – 50° ) 3 1 = cis310° 3 Ana Sayfaya Geri Dön

BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ www.muratguner.net BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ rR+, 0° <  < 360° olmak üzere z=r.Cis karmaşık sayısının karmaşık düzlemde başlangıç noktası(orijin) etrafında pozitif yönde  kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karmaşık sayıyı bulalım. z =r.Cis r z' =r.Cis(+)   Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =r.Cis(  + ) veya z' = r.(Cis) .(cis ) = z.Cis Negatif yönde  kadar dönmesi z' =z.Cis(– ) anlamına gelir. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = 4(Cos20°+iSin20°) karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 100° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 1 4 z' 120° 2 60° –2 30° z =4.Cis20 4 z' 20° 100° z' = 4Cis120 z' = – 2 + 2 i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = 4(Cos20°+iSin20°) karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 100° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  + ) veya z' = r(Cis) .(cis ) = z.Cis  z' = z.Cis100° z' = 4Cis20°.Cis100° z' = 4Cis120° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) 4 z' 120° 2 60° –2 30° z' = – 2 + 2 i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z=2(Cos222°+iSin222°) karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 42° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 1 42° z =2.Cis222° 2 2 42° z' = –2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z=2(Cos222°+iSin222°) karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 42° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  + ) veya z' = r(Cis) .(cis ) = z.Cis  z' = z.Cis( – 42°) z' = 2Cis222°.Cis( – 42° ) z' = 2Cis180° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) x -2 y 180° z' = 2Cis180° z' = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z= 1 + i karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 75° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM x y z = 1 + i = ( 1, 1 ) o 1 45° Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  + ) veya z' = r(Cis) .(cis ) = z.Cis z' = z.Cis75° z' = Cis45°.Cis75° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) z' = Cis120° z' = z = Cis45° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z= 3+4i karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 90° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM Arg(z) değerini bilmediğimizden ve geometrik çözüm zor olacağından z' = z.Cis yı kullanmak daha doğru olacaktır.  z' = z.Cis90° z' = ( 3 + 4i ).Cis90° z' = ( 3 + 4i ).(0 + i ) z' = 3i + 4i2 z' = – 4 + 3i Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z = 3 + 5i karmaşık sayısı orijin etrafında, pozitif yönde en az kaç derece döndürülürse (– 5+3i ) sayısı elde edilir? ÇÖZÜM Arg(z) değerini bilmediğimizden geometrik çözüm zor olacağından z' = z.Cis yı kullanmak daha doğru olacaktır, z' = z.Cis  – 5 + 3i = ( 3 + 5i ).Cis Cis = – 5 + 3i 3 + 5i Cis = i  Cis = Cis90°  = 90° Ana Sayfaya Geri Dön

BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ ( DE MOİVRE KURALI ) www.muratguner.net BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ ( DE MOİVRE KURALI ) Bir z karmaşık sayısının herhangi bir tam kuvvetini hesaplamak için z’yi kutupsal biçimde yazmak kolaylık sağlar. r R+, 0   360° olmak üzere z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; z = r.Cis olsun. z2 = z.z = r.Cis.r.Cis = r2.Cis2 z3 = z2.z = r2.Cis2. r.Cis = r3Cis3 z4 = z3.z = r3.Cis3. r.Cis = r4Cis4 … zn = rnCis ( n ) Bu son eşitlik De Moivre Kuralı olarak adlandırılır. Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK z = cis18° olduğuna göre z20 sayısının reel kısmı kaçtır? www.muratguner.net ÖRNEK z = cis18° olduğuna göre z20 sayısının reel kısmı kaçtır? ÇÖZÜM  z = cis18° z20 = cis( 20.18°) z20 = cis360° z20 = cos360° + isin360° z20 = 1 + i.0 z20 = 1 Re( z20 ) = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK z=3cis20° olduğuna göre z30 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z=3cis20° olduğuna göre z30 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM  z = 3cis20° z30 = 330.cis( 30.20°) z30 = 330cis600° ; cis600° = cis240°( esas ölçü ) z30 = 330.cis240° ; cis240° = cos240° + isin240° z30 =330. ÷ ø ö ç è æ – i 2 3 1 Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK ( 1 + i )10 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK ( 1 + i )10 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM sayısının birinci bölgede olduğu âşikârdır. ( 1 + i ) sayısını kutupsal biçimde yazalım. ( 1 + i ) tan = 1   =60° I ( 1 + i ) I = 2 ( 1 + i )10 = ( 2cis60° )10 = 210cis(10.60°) = 210.cis600° = 210.cis240° =210. = – 29.( ) Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK 2012-LYS Ana Sayfaya Geri Dön

işleminin en sade halini yazınız. www.muratguner.net ÖRNEK işleminin en sade halini yazınız. 2 5 27 4 π cis 3 1 9 11 ÷ ø ö ç è æ ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

 ÖRNEK z=2cis25°olduğuna göre z–41 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z=2cis25°olduğuna göre z–41 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM  z = 2cis25° z– 41 = 2–41.cis( – 41 .25°) = 2–41.cis( –1025°) = 2–41.cis55° Ana Sayfaya Geri Dön

? UYARI Argz =   Arg( z-1 ) = 2 –  MİNNACIK BİR İSPAT www.muratguner.net UYARI ? Argz =   Arg( z-1 ) = 2 –  MİNNACIK BİR İSPAT z = r.cis = r.( cos + isin ) olsun z-1 = r–1 cis ( –  ) = r–1 cis ( 2 –  ) olup Arg( z-1 ) = 2 –  dır. Ana Sayfaya Geri Dön

z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun. www.muratguner.net SONUÇLAR z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun.  Arg ( z1 . z2 ) = Arg( z1 ) + Arg( z2 ) = 1 + 2 z1 z2 Arg[ ] = Arg( z1 ) – Arg( z2 ) = 1 – 2  Arg ( zn ) = n.Arg( z ) = n   Arg( z ) =   Arg( z ) = 2 –   Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +   Arg( z ) =   Arg( z-1 ) = 2 –  Ana Sayfaya Geri Dön

karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz. www.muratguner.net ÖRNEK karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının ÇÖZÜM z1 z2 Arg[ ] = Arg( z1 ) – Arg( z2 ) = 1 – 2 Argümenti 270 olan bir karmaşık sayının reel kısmı 0 ve sanal kısmı 0 dan küçük olduğundan Buradan x2+y2 =1 ve y > 0 bulunur. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Arg(z1.z2) = 40°, Arg( z2.z3 ) = 60°, Arg(z1.z3) = 50° olduğuna göre Arg( z1z2z3 ) değeri kaçtır? ÇÖZÜM Arg(z1) =  olsun. Arg(z1.z2) = 40° ise  +  = 40° Arg(z2) =  olsun. Arg(z2.z3) = 60° ise  +  = 60° Arg(z3) =  olsun. Arg(z1.z3) = 50° ise  +  = 50° + 2( +  +  ) = 150° ( +  +  ) = 75° Arg( z1.z2.z3 ) =  +  +  = 75° Ana Sayfaya Geri Dön

ÖRNEK Yandaki şekle göre z1.z2 ( z3 )2 Arg[ ] = ? ÇÖZÜM z1.z2 Arg[ ] = www.muratguner.net ÖRNEK 15° 20° 10° Yandaki şekle göre z1.z2 ( z3 )2 Arg[ ] = ? z2 z1 z3 ÇÖZÜM z1.z2 Arg[ ] = Arg(z1.z2) – Arg(z3)2 = 1 + 2 – 23 ( z3 )2 = 15° + 160° – 2.260° = – 345° = 15° Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK Arg( z20 ) = 200°, IzI=1 olduğuna göre z30 sayısının imajiner kısmı kaçtır? ÇÖZÜM 30° 1 Arg ( zn ) = n.Arg( z ) = n Arg ( z20 ) = 20.Arg( z ) = 20 = 200°  = 10° z30 = 130.cis( 30.10°) = cis300° z = İm( z30 ) = Ana Sayfaya Geri Dön

z1 = – i , z2 = 1 + i olduğuna göre Arg( z1z2 )kaç radyandır? www.muratguner.net ÖRNEK 2 z1 = – i , z2 = 1 + i olduğuna göre Arg( z1z2 )kaç radyandır? ÇÖZÜM Arg ( z1 ) = 270° Arg ( z2 ) = 45° Arg( z1z2 ) = 2 Arg( z1 ) + Arg( z2 ) Arg( z ) =   Arg( z ) = 2 –  Arg( z1 ) + Arg( z2 ) 2. = = 90° + 2.45° =180° =  Ana Sayfaya Geri Dön

z = Cos + iSin ise Arg( z-1 ) kaç radyandır? 4 3 ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z = Cos + iSin ise Arg( z-1 ) kaç radyandır? 4 3 ÇÖZÜM 2 – 4 3 2 3 Arg( z-1 ) = = z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg(z-1) = 2 –  Ana Sayfaya Geri Dön

BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ www.muratguner.net BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ z,wC ve nZ+ olmak üzere zn = w eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının her birine w karmaşık sayısının n.dereceden bir kökü denir. zn = w = I z I.Cis(  ) = I z I.Cis(  + 2k ) sayısının n.dereceden kökleri, zk = .Cis( )  + 2k n z  0 olmak üzere zn = w eşitliğini sağlayan birbirinden farklı n tane kök vardır. Bu kökler karmaşık düzlemde, merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu birim olan çemberin üzerinde eşit aralıklarla ( 2/ n radyanlık açı farkıyla ) sıralanır. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z3 = 8i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının küp köklerini bulunuz. ÇÖZÜM z3 = 8i = 8Cis90° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 120°dir.O halde, z0 = Cis( ) 3 90 ° z0 z2 z1 30° 120° = 2Cis30° = + i z1= 2Cis150° = – + i z2= 2Cis270° = – 2i z0,z1,z2 kökleri, yarıçapı 2 birim olan bir çember üzerinde argümentleri arasındaki fark 120° olacak şekilde sıralanır.Bu üç kök bir eşkenar üçgenin köşeleridir. Ana Sayfaya Geri Dön

° ÖRNEK z4 = – 16 eşitliğini sağlayan kökleri bulunuz. ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK z4 = – 16 eşitliğini sağlayan kökleri bulunuz. ÇÖZÜM z4 = – 16 = 16Cis180° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 90° dir.O halde, z0 = Cis( ) 4 180 ° = 2Cis45° = + i z0 z2 z1 z3 45° 90° z1= 2Cis135° = – + i z2= 2Cis225° = – – i z3= 2Cis315° = – i z0, z1, z2, z3 kökleri, yarıçapı 2 birim olan bir çember üzerinde argümentleri arasındaki fark 90° olacak şekilde sıralanır.Bu dört kök bir karenin köşeleridir. Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK z5 = 32Cis50° olduğuna göre z’ nin alabileceği değerleri bulalım ve karmaşık düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM z5 = 32Cis50° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 72° dir.O halde, z0 = Cis( ) 5 50 ° z0 z3 z2 z4 z1 2 = 2Cis10° z1= 2Cis (10°+ 72° ) = 2Cis82° z2= 2Cis ( 82°+72° ) = 2Cis154° z3= 2Cis (154°+72°) = 2Cis226° z4= 2Cis (226°+72°) = 2Cis298° Ana Sayfaya Geri Dön

sayısının karekökleri bulunuz. z2 = 2 + 2 i www.muratguner.net ÖRNEK sayısının karekökleri bulunuz. z2 = 2 + 2 i ÇÖZÜM z2 = 2 + 2 i = 4cis60° (Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180° dir.) z0= 2Cis30° = + i z1= 2Cis210° = – – i Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180°olduğundan karekökler, orijine göre simetriktir.Yani; z0= – z1 Ana Sayfaya Geri Dön

xxxxxxxx  ÖRNEK karmaşık sayısı için, olduğuna göre,IzI kaçtır? ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK karmaşık sayısı için, olduğuna göre,IzI kaçtır? ÇÖZÜM w2 = 2i =2cis90 xxxxxxxx w0= Cis45° = 1 + i w1= Cis225° = – ( 1 + i )  Ana Sayfaya Geri Dön

www.muratguner.net ÖRNEK 2008 z1 ve z2 karmaşık sayıları z2 = i denkleminin kökleridir. Karmaşık düzlemde z1 ve z2 noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM z2 = i =cis90 z2= – z1 Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180°olduğundan karekökler,orijine göre simetriktir.Yani;  z1= Cis45° I z1 I = 1  z2= Cis225° I z2 I = 1 I z1 – z2 I = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

z4= 6 – 8i karmaşık sayısının kökleri A, B, C ve D noktalarıdır. www.muratguner.net ÖRNEK z4= 6 – 8i karmaşık sayısının kökleri A, B, C ve D noktalarıdır. Bu köklerin karmaşık düzlemde oluşturduğu ABCD dörtgeninin alanı kaç br2 dir? ÇÖZÜM I z4 I = I 6 – 8i I A B C D3 I z I4 = 10 4 10 I z I = Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 90° dir. O halde köşegen uzunluğu olan karenin alanı 4 10, 2 Ana Sayfaya Geri Dön

z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 3 + 4i sayısını kutupsal biçimde yazmakta zorlandığımızdan aşağıdaki yöntemi kullanmak gerekmektedir. z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.Yani; w2 = 3 + 4i  < 0 ( Reel kök yok ) ( x + iy )2 = 3 + 4i ( x,y R ) (x2 – 4)(x2 + 1) = 0 x2 + 2ixy – y2 = 3 +4i x =  2 2xy = 4 x2– y2 = 3 x = 2 ise y = 1 olup w1 = 2 + i y = x =– 2 ise y = –1, w2 = –2 – i x4 – 3x2 – 4 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

UYARI 1) İm( z ) = y > 0 ise 2) İm( z ) = y < 0 ise www.muratguner.net UYARI x,y  R olmak üzere z = x+iy sayısını kutupsal biçime çevirmek bazen kolay olmayabilir.Böyle bir durumda z karmaşık sayısının kare köklerini bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz: z = x+iy sayısının karekökleri z0 ve z1 olmak üzere, 1) İm( z ) = y > 0 ise 2) İm( z ) = y < 0 ise Ana Sayfaya Geri Dön

z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM I z I = 5 z0 = 2 + i z1 = –2 – i Ana Sayfaya Geri Dön

Benzer olarak ( x – 2 ) karmaşık sayısının kökleri de www.muratguner.net UYARI xR , yR– olmak üzere ( x + 2 ) karmaşık sayısının karekökleri pratik olarak şu şekilde de bulunabilir. y = m.n ve x = m + n olacak şekilde m, nR varsa karekökler  ( ) karmaşık sayılarıdır. Benzer olarak ( x – 2 ) karmaşık sayısının kökleri de ( ) karmaşık sayılarıdır. Ana Sayfaya Geri Dön

z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 3 + 4i = 3 + 2 4 – 1 z0 = 2 + i z1 = –2 – i Ana Sayfaya Geri Dön

z = 5 – 12i sayısının kareköklerini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 5 – 12i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 5 – 12i = 5 – 2 9 – 4 z0 = –3 + 2i z1 = 3 – 2i Ana Sayfaya Geri Dön

z = 7 – 24i sayısının kareköklerini bulunuz. www.muratguner.net ÖRNEK z = 7 – 24i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 7 – 24i = 7 – 2 16 – 9 z0 = – 4 + 3i z1 = 4 – 3i Ana Sayfaya Geri Dön

2) z0, z1 başlangıç noktasına (orijine ) göre simetriktir.Yani; www.muratguner.net UYARI z, w, z0, z1C olmak üzere z2 = w eşitliğini sağlayan sayılar z0, z1 ise 1) z0,z1 karmaşık sayıları w karmaşık sayısının karekökleridir.Yani, z0 = w ve z1 = w 2) z0, z1 başlangıç noktasına (orijine ) göre simetriktir.Yani; z0 = – z1 3) Karekökler çarpımı = z0.z1 = – z1 = w 4) Kökler toplamı sıfırdır. 2 Ana Sayfaya Geri Dön

zn = a+ bi eşitliğini sağlayan kökler toplamı sıfırdır. www.muratguner.net UYARI zn = a+ bi eşitliğini sağlayan kökler toplamı sıfırdır. ÖRNEK z2 + 5 – 8i = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2’dir.Buna göre z1z2 – z1 – z2 ifadesinin sonucu nedir? ÇÖZÜM z2 = – 5 + 8i z1z2 = – z2 = 5 – 8i z1+z2 = 0 olup z1z2 – z1 – z2 = z1z2 – ( z1+z2 ) = 5 – 8i Ana Sayfaya Geri Dön

1- MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK www.muratguner.net KAYNAKÇA : 1- MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 2- ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3- MEB 11.SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4- BİREY YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 5- KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6- İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7- KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8- FEM YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 9- AÇI YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 10- UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11- FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12- SINAV DERGİSİ 13-ZİHİNSEL MATEMATİK ( MEGA HAFIZA EĞİTİM MERKEZİ ) Ana Sayfaya Geri Dön