MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ Kenan İLARSLAN

ANALİTİK ORTALAMALAR Bir örneklemede tüm veri değerlerini dikkate alan merkezi eğilim ölçüleridir. – Aritmetik ortalama – Ağırlıklı ortalama – Geometrik ortalama – Harmonik ortalama

ARİTMETİK ORTALAMA Gözlenen değerlerin tümü toplanarak gözlem sayısına bölündüğünde elde edilen değere aritmetik ortalama denir.

Örnek: Bir öğrencinin beş dersten aldığı notların ortalamasını bulalım. Aritmetik ortalama bütün değerlerin önemini eşit kabul ettiği için her zaman dağılımı iyi temsil etmemektedir. Bütün değerlerin aynı öneme sahip olmadığı serilerde ağırlıklı ortalama kullanılır.

ARİTMATİK ORTALAMANIN BAZI ÖZELLİKLERİ VE DEZAVANTAJLARI Bir serideki her bir veri değerinin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının toplamı daima sıfırdır.

Aritmetik ortalamanın hesaplanışında veri setindeki tüm veri değerleri kullanılır. Bir veri setinin yalnızca bir aritmetik ortalaması vardır. Aritmetik ortalamanın önemli bir sakıncası, data setindeki aşırı değerlerden kolay etkilenmesidir. Bir data setinde verilerden bir kaçı çok yüksek yada küçük değerler içeriyor ise, aritmetik ortalama, data setinin merkezi eğilim ölçümünü temsil etmek için uygun olmayabilir. Örnek: 5 öğrencinin bir sınavda almış olduğu notlar 70, 70, 70, 70, ve 100`dir. Aritmetik ortalama 76 olacaktır. Bu aritmetik ortalama veri setinin iyi bir şekilde temsil etmemektedir.

AĞIRLIKLI ORTALAMA Aritmetik ortalamada, her bir veri değerinin Öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabilir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır.

Örnek: Bir öğrenci İşletme dersinden 75 , Muhasebe dersinden 50 , Hukuk dersinden 60 , İngilizce dersinden 67 almış olsun. Ders kredilerinin de İşletme 4 , Muhasebe 4 , Hukuk 3 , İngilizce 1 olduğunu varsayalım. Bu öğrencinin ders ortalamasını hesaplayalım:

GEOMETRİK ORTALAMA Geometrik ortalama iktisat ve işletme alanlarında yaygın olarak kullanılan bir ortalama türüdür. Geometrik ortalama özellikle; değişim oranlarının (yüzde, oran, vb.) ortalamasının hesaplanmasında bir zaman aralığı içerisindeki bir üretimin yada satışın artış miktarının ortalamasının belirlenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Örnek: Bir işletmenin dört farklı ürünün satışından elde ettiği kar yüzdeleri 3, 2, 4, ve 6 ‘dır. Bu işletmenin ortalama karı nedir? Not: - Eğer veri değerlerinden biri 0 yada negatif değerlikli ise Geometrik ortalama hesaplanamaz. - Yani; geometrik ortalama ya aritmetik ortalamaya eşit olacaktır yada küçük olacaktır. Çünkü, aşırı değerlerden aritmetik ortalamaya göre o kadar fazla etkilenmemektedir.

HARMONİK ORTALAMA Bazı özel durumlarda başvurulan bir ortalama olup hız,fiyat, verimlilik gibi oransal olarak belirtilebilen bazı değişken değerleri ortalamalarının hesaplanışında kullanılır. Not: - Veri değerlerinde sıfır bulunması yada veri değerlerinin farklı işaret taşımaları durumunda harmonik ortalama kullanılmaz. - Değişkenlerden birinin sabit, diğerinin ise değişken olduğu durumlarda başvurulan bir ortalamadır.

Örnek: İki şehir arasındaki mesafenin 150 km olduğunu varsayalım Örnek: İki şehir arasındaki mesafenin 150 km olduğunu varsayalım. Gidişte 75 km hızla, dönüşte ise 50 km hızla mesafeyi aldığımızda ortalama hızımız ne olur? 150 km’lik mesafeyi gidişte 150/75=2 saatte, dönüşte ise; 150/50=3 saatte alırız. Burada mesafe unsuru sabit fakat zaman unsuru ise sabit olmadığından harmonik ortalama kullanılmıştır.

ANALİTİK OLMAYAN ORTALAMALAR Bir örnekteki bütün veri değerlerini dikkate almayan merkezi eğilim ölçüleridir - Medyan - Mod

MEDYAN (ORTANCA) Veri değerleri büyükten küçüğe yada küçükten büyüğe sıralandıktan sonra, tam ortaki yani veri dizisini 2 eşit frekansa ayıran değerdir. n tek ise n çift ise

Önce veriler, küçükten büyüğe doğru sıralanır. 2 3 4 5 6 8 9 X1 X2 X3 Örnek: 2,3,2,4,4,6,6,5,8,8,9 sayıları için ortancayı bulunuz. Önce veriler, küçükten büyüğe doğru sıralanır. 2 3 4 5 6 8 9 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 n=11 tek sayıdır. O halde ortanca Yani; M=5’dir.

Örnek: 1,2,3,3,5,5,5,6,7,7,7,8,9,9 biçiminde sıralanmış veriler için ortancayı bulalım. n:14 çift sayıdır. O halde;

MOD (TEPE DEĞER) Bir seride en çok tekrarlanan değere “Mod” denir.