IENG 208 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ Para Yönetimi ve Paranın Zaman Değeri Endüstri Mühendisliği Bölümü Öğr.Gör.Dr. A. Ayça Supçiller

Para Yönetimi ve Paranın Zaman Değeri Faiz: Paranın maliyeti Ekonomik Eşdeğerlik Faiz Formülleri Özel Eşdeğerlik Hesaplamaları

Paranın Zaman Değeri Paranın zaman değeri vardır, çünkü para zaman içerisinde daha fazla para kazandırabilir (kazanma gücü). Paranın zaman değeri faiz oranı cinsinden ölçülür. Faiz paranın maliyetidir. Borç alan için maliyet, borç veren için ise kazançtır.

Paranın Zaman Değeri Satın alma gücü: Bir dövizin değerinin 1 birim para ile alınabilecek mal cinsinden ifadesidir. “Bugünkü 1 TL gelecekteki 1 TL’den daha değerlidir çünkü bugünkü paranın faiz getirisi olabilir.”

Geri Ödeme Planları

Nakit Akış (Cash Flow) Diyagramı

Dönem Sonuna Toplama

Faiz Hesaplama Yöntemleri Basit faiz: sadece başlangıçtaki ana paraya faiz uygulanması Birleşik faiz: başlangıçtaki ana paraya ve önceki ödenmemiş birikimli faize faiz uygulanması

Basit Faiz Formülü F = P + (iP)N P = Başlangıçtaki anapara i = basit faiz oranı n = faiz periyodu sayısı F = N periyot sonundaki toplam biriken para

Bileşkelendirme İşlemi

Nakit Akış Diyagramı

Bileşke Faiz Formülü

Bazı Temel Kanunlar

“The greatest mathematical discovery of all time,” Albert Einstein Bileşke faiz “The greatest mathematical discovery of all time,” Albert Einstein

Örnek Problem %10 faiz veren bir yatırım hesabına şu anda $100 (n = 0) ve bundan iki sene sonra da $200 (n = 2) yatırırsanız 10 senenin sonunda toplam ne kadar paranız olur?

Çözüm

Örnek Problem 4 yıllık bir süreçte gerçekleşen aşağıdaki nakit akışını ele alalım. Eğer faiz oranı %10 ise 4 yılın sonundaki eşdeğer miktar ne kadar olacaktır?

Çözüm

Ekonomik Eşdeğerlik Ekonomik eşdeğerlik, iki nakit akışının aynı ekonomik etkiye sahip olması ve bu yüzden birbiriyle değiştirilebilmesidir. Nakit akışındaki miktarlar ve zamanlar farklı olmasın rağmen, uygun bir faiz oranı iki nakit akışını birbirine eşit yapar.

Ekonomik Eşdeğerlik Eğer P kadar para şimdi N dönem için i faizinden yatırılırsa, N dönem sonra F kadar para elimize geçecektir. N dönem sonraki F kadar para şimdiki P kadar paraya eşdeğer olmaktadır. Para kazanma gücümüz i faiz oranı ile ölçülmektedir

Ekonomik Eşdeğerlik 20,000 TL Banka Kredisi Ödeme Planları

Ekonomik Eşdeğerlik Örnek: Size bugün için P dolar ödeme veya 5 yıl sonunda $3000 ödeme alternatifleri sunulmuş olsun. Şu anda paraya ihtiyacınız olmadığı için size verilen P doları %8 yıllık faizle bankaya yatırmaya karar vermiş olun. Hangi P miktarı sizin için bu iki alternatif ödeme planını eşdeğer yapacaktır?

Ekonomik Eşdeğerlik

İki Nakit Akışının Eşdeğerliği Prensip 1: Paranın değerini hesaplayacağınız zamanı seçin. Eğer bugünü seçerseniz “bugünkü değeri” (present worth) hesaplamış olursunuz, gelecekte bir zamanı seçerseniz “gelecekteki değeri” (future worth) hesaplarsınız. Prensip 2: Eşdeğerlilik seçilen faiz oranına bağlıdır. Prensip 3: Eşdeğeri hesaplarken birden fazla ödemeyi tek bir ödemeye dönüştürmemiz gerekebilir. Prensip 4: Karşılaştırılan nakit akışlarının birbirine eşdeğer olması seçilen zamana ya da kimin açısından bakarak değerlendirme yapıldığına bağlı değildir.

“Eşdeğer Nakit Akışları Herhangi Bir Zaman Noktasında Eşdeğerdir” $2,042 today was equivalent to receiving $3,000 in five years, at an interest rate of 8%. Are these two cash flows are also equivalent at the end of year 3? Equivalent cash flows are equivalent at any common point in time, as long as we use the same interest rate (8%, in our example).

Solution: Practice Problem 1 Compute the equivalent value of the cash flow series at n = 3, using i = 10%. 1 2 3 4 5 $100 $80 $120 $150 $200 V3

Approach: Practice Problem 2 Step 1: Select a base period to use, say n = 2. Step 2: Find the equivalent lump sum value at n = 2 for both A and B. Step 3: Equate both equivalent values and solve for unknown C. Practice Problem 2 Find C that makes the two cash flow transactions equivalent at i = 10%

Approach: Practice Problem 3 Step 1: Select a base period to compute the equivalent value (say, n = 3) Step 2: Find the equivalent worth of each cash flow series at n = 3. Practice Problem 3 At what interest rate would you be indifferent between the two cash flows? i = 8%

Nakit Akış Türleri Tek nakit akışı Eş (uniform/equal) ödeme serisi Doğrusal artımlı (Linear Gradient) seri Geometrik artımlı seri Düzensiz ödemeli seri

P ve F arasındaki Eşdeğerlik İlişkisi Compounding Process : Finding an equivalent future value of current cash payment Discounting Process : Finding an equivalent present value of a future cash payment

Tek Nakit Çıkışlı Formül Verilen: P = $2,000, i = 10%, N = 8 yıl İstenen: F Compound factor Excel Çözümü: Tek ödeme, bileşik faiz, gelecek değer F N P Appendix’deki tablolar formüller yerine kullanılabilir!!!

A Typical Compound Interest Table – say 12% To find the compound interest factor when the interest rate is 12% and the number interest periods is 10, we could evaluate the following equation using the interest table.

Tek Nakit Girişli Formül Verilen: F = $1,000, i = 12%, N = 5 yıl İstenen: P Discount factor Excel Çözümü Tek ödeme, bileşik faiz, şimdiki (bugünkü) değer F N P

Tek Nakit Formülü Örnek: Şimdi $20 aldığınız bir hisse senedini 5 yıl sonra $40’dan satmış olun. Bu durumda ortalama yıllık geri dönüş oranı nedir? Çözüm: Formülde deneme-yanılma yaparak değerin bulunması (uzun ve verimsiz bir yöntem) Faiz çarpımlar tablosunu kullanarak (yaklaşık değerin) bulunması (tam sayı olmayan faiz oranları ve N için zor) Finansal fonksiyonları çözen hesap makinesi yada Excel gibi programların kullanılması

Tek Nakit Formülü Solving for i Given: F = $40, P = $20, N = 5 years Find: i Excel Solution: Solving for i

Tek Nakit Formülü Örnek: XYZ firmasının 100 adet hisse senedini $60/hisse fiyattan almış olalım. Planımız hisse senedinin değeri iki katına çıktığında elimizden çıkarmaktır. Hisse fiyatının yılda %20 artacağını tahmin edildiğinde, hisseyi satmak için kaç yıl beklememiz gerekir?

Tek Nakit Formülü: Find N, Given P, F, and i Excel Solution: Solving for N

Rule of 72 Approximating how long it will take for a sum of money to double Number of Years Required to Double an Initial Investment at Various Interest Rates

Düzensiz ödeme serisi Örnek: Aşağıda belirtilen 4 yıllık harcamaları karşılamak için ne kadar para bankaya yatırılmalıdır (faiz oranı %10)? Yıl1: Müşteri hizmetleri için bilgisayar ve yazılımları için $25,000 Yıl2: Mevcut sistemi yükseltmek için $3000 Yıl3: Harcama yok Yıl4: Yazılım yükseltmeler için $5,000

Düzensiz ödeme serisi How much do you need to deposit today (P) to withdraw $25,000 at n =1, $3,000 at n = 2, and $5,000 at n =4, if your account earns 10% annual interest? 1 2 3 4 $25,000 $3,000 $5,000 P

Check to see if $28,622 is indeed sufficient 1 2 3 4 Beginning Balance 28,622 6,484.20 4,132.62 4,545.88 Interest Earned (10%) 2,862 648.42 413.26 454.59 Payment +28,622 -25,000 -3,000 -5,000 Ending Balance $28,622 0.47 Rounding error It should be “0.”

Örnek Problem 3. Periyodun sonundaki eşdeğer miktarı %10 faiz durumunda bulunuz.

Çözüm

Çözüm

Eşit Ödemeli Seri

Gelecek Eşdeğer Karşılığın (F) Bulunması

Eşit Ödemeli Seri – Bileşik değer faktörü A, i ve N verilince F’i bulmak: N dönem boyunca %i kazandıran dönemsel ödemelerin (A) gelecekteki değeri, F. Bileşik değer faktörü: (F/A, i, N) Örnek: 10 yıl boyunca her yıl sonunda banka hesabınıza $3000 yatırmış olun. %10 faiz oranından hesabınızın 10 yıl sonraki değeri ne olur?

Eşit Ödemeli Seri – Bileşik değer faktörü

Eşit Ödemeli Seri – Birikim Hesabı (Sinking Fund) F, i ve N verildiğinde A’nın hesaplaması: Birikecek para (F), ne kadar zamanda (N) birikmesi gerektiği ve faiz oranı (i) verilince dönemsel ödeme (A) miktarını bulmak. Bu tür hesaplamalar genellikle sabit değerlerin/varlıkların (fixed assets) yenilenmesi için her dönem bir hesaba sabit para yatırması ile ilgili hesaplardır.

Eşit Ödemeli Seri – Birikim Hesabı (Sinking Fund) Örnek: Bir baba çocuğuna 5 yıl sonra $5,000 sahip olma hedefine ulaşması için şimdi $500 vermiştir. Çocuk ise, yarı-zamanlı bir işte çalışarak her yıl sonunda hesaba ilave olarak sabit bir miktar yatırmıştır. Eğer yıllık faiz %10 ise, çocuğun her yıl yatırdığı para miktarı ne kadardır?

Eşit Ödemeli Seri – Birikim Hesabı (Sinking Fund) Verilen: F = $5,000, N = 5 yıl ve i = 10% İstenen: A Çözüm: F=500( F/P, %10, 5)= 805.25 A = $5,000-805.25(A/F,%10,5) = $687.1

Eşit Ödemeli Seri Ödemeler yılın sonunda değil de başında yapılırsa ne olur? Örnekteki ödemelerin yılın başında olduğunu kabul edersek, 10. yıl sonunda hesap bakiyesi ne olur?

Üç Alternatif Yatırım Planı

Çözüm

Eşit Ödemeli Seri – Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Sermaye/Özkaynak geri kazanım veya dönemsel ödeme (capital recovery factor, (CRF/Annuity factor) hesaplamaları P, i ve N verildiğinde A’nın hesaplaması: Alınan kredi veya yatırım (P), ne kadar zamanda (N) geri ödenmesi gerektiği ve faiz oranı (i) verilince dönemsel ödeme (A) miktarını bulmak. Ev ve araba kredi geri ödeme hesapları bunun tipik örneklerindendir.

Eşit Ödemeli Seri – Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Örnek: BioGen, biyoteknoloji alanında çalışan küçük ölçekli bir firmadır. Firma, laboratuar donanımı almak amacıyla $250,000 kredi almıştır. Kredi yıllık %8 faiz ve 6 yıl eşit ödemeli şeklindedir. Her yıl ödenmesi gereken kredi taksit miktarını nedir?

Eşit Ödemeli Seri – Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Verilen: P = $250,000, N = 6 yıl, i = %8 İstenen: A Çözüm: A = $250,000 (A/P,%8,6) = $54,075

Eşit Ödemeli Seri – Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Örnekteki kredinin geri ödemelerini 1. yıl sonunda değil de 2. yılın sonunda başlasalar ve yine 6 eşit ödeme yapsalar, bankanın aynı miktar kar elde edebilmesi için aylık ödemelerin kaç dolar olması gerekir?

Ertelenmiş Geri Ödeme

2-Adımlı Prosedür

Eşit Ödemeli Seri – Bugünkü değer faktörü N periyodu boyunca yapılan A eşit ödemelerinin i faiz oranına göre bugünkü değeri, P, nedir?

Eşit Ödemeli Seri – Bugünkü değer faktörü Örnek: 9 yıl boyunca yılda $32,639 veya şimdi $140,000 toplu ödeme şeklinde iki alternatiften, yıllık banka faizinin %10 olduğu durumda hangisini seçersiniz?

Eşit Ödemeli Seri – Bugünkü değer faktörü Verilen: A = $32,639, N = 9 yıl ve i = %10 İstenen: P Çözüm: P = $32,639(P/A,%10, 9) = $187,968 > 140,000 toplu para tercih edilmez

Eşit Ödemeli Seri – Bugünkü değer faktörü Hem eşit ödemeler hem de gelecekte bir ödeme olsa (composite series) bugünkü değeri nasıl hesaplardınız?

Özet - Faktörler Tablosu

Doğrusal artımlı (Gradient) seri A Strict Gradient Series Gradient Series as a Composite Series of a Uniform Series of N Payments of A1 and the Gradient Series of Increments of Constant Amount G. Gradient serisi bugünkü değer faktörü

Eşit Ödemeli Seri – Bugünkü değer faktörü Hem eşit ödemeler hem de gelecekte bir ödeme olsa (composite series) bugünkü değeri nasıl hesaplardınız?

Eşit Ödemeli Seri – Bugünkü değer faktörü Hem eşit ödemeler hem de gelecekte bir ödeme olsa (composite series) bugünkü değeri nasıl hesaplardınız?