Mukavemet II Strength of Materials II 3-D Gerilme Analizi 3-D Stress Analysis Teaching Slides Chapter 5:
Chapter Outline Internal forces Stress concept The stress state at a point Stress tansor Equations of stress transformations Principle stresses and directions Maximum/minimum shear stresses 3D Gerilme Analizi
Üç Boyutlu Gerilme Analizi İç Kuvvetler: Dış kuvvetler etkisindeki katı bir cismin içerisinde iç kuvvetler meydana gelir. Bu iç kuvvetler ayırma prensibi uygulanarak hesaplanırlar (Şekil-1). 3D Gerilme Analizi
Gerilme kavramı Cisim bütün iken statik dengede olduğu için, ayırma prensibine göre (hayali olarak)ayrılan I ve II parçaları da dengede olmak zorundadır. B kesitindeki herhangi bir ∆A alanına düşen iç kuvvet miktarı ∆F‘tir. ∆F iç kuvvetinin ∆A kesit alanına oranı gerilmedir. Bu gerilme aşağıdaki gibi ifade edilir: Bu bileşke gerilmenin, kesite normal ve teğetsel yönlerde iki bileşeni bulunmaktadır: Burada σN normal gerilmedir, σT ise kayma gerilmesi olup τ ile gösterilir.
Bir Noktadaki Gerilme Bileşenleri Bir noktadaki gerime bileşenleri: B düzleminden sonsuz küçük kübik bir eleman çıkartarak bu elemanın SCD’ını çizelim (Şekil-2). Bu elemanın boyutları sonsuz küçük olduğundan yüksek dereceden gerilme terimleri ihmal edilebilmektedir. 3D Gerilme Analizi
Gerilme tansörü Normal gerilmeler, yüzeylerin normalleri ile çakışmakta olup, eğer normal yönünde ise pozitif, normale zıt yönde is negatiftirler. Kayma gerilmeleri ise, yüzeylere paralel olup, karşılıklı yüzeylerde kuvvet çifti gibi düşünüldüklerinde, saatin tersi yönünde döndürme etkisi olanlar pozitif, aksi halde negatiftirler. Bu gerilme bileşenleri, bir matris içerisine aşağıdaki gibi yerleştirilirler ki bu matrise gerilme tansörü denir.
3D Gerilme Analizi
Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için Şekil-3’te görülen düzlem gerilme durumunu ele almak daha kolaydır. t kalınlıklı ve a kenar uzunluklu bu eleman dengede olduğu için düzlem denge şartları aşağıdaki gibi yazılır: Bu denge denklemlerinden ΣMO=0 şartı kullanılırsa kayma gerilmeleri arasında aşağıda olduğu gibi bir bağıntı kurulabilir:
Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için Şekil-3’te görülen düzlem gerilme durumunu ele almak daha kolaydır. Bu eleman dengede olduğu için düzlem denge şartları aşağıdaki gibi yazılır: Şekil-3 τxy τyx t ∆y ∆x Bu denge denklemlerinden ΣMZ=0 şartı kullanılırsa kayma gerilmeleri arasında aşağıda olduğu gibi bir bağıntı kurulabilir: Z
Simetrik Gerilme Tansörü Burada OA=AB=BC=OC=a olduğundan bu denge denklemi şeklinde olur.3-D genel durum için ΣMy=0 denkleminden τzx=τxz ve ΣMz=0 denkleminden de τxy=τyx eşitlikleri bulunur. Bu eşitlikler gerilme matrisinin simetrik olduğunu gösterir. Böylece gerilme bileşenleri 9’dan 6’ya indirgenmiş olur. Buna göre gerilme tansörü aşağıdaki gibi olur: 3D Gerilme Analizi
Dördüncü Düzlemdeki Gerilmeler Bir noktadaki gerilmeleri temsil eden Şekil-2’deki küp eleman herhangi bir dördüncü düzlemle kesilir ve elde edilen dört yüzlü katı cismin SCD’ı aşağıdaki gibi çizilir:
Dördüncü düzlemdeki birim vektör ve gerilme bileşenleri ABOC dört yüzlüsünün statikçe dengede olabilmesi için ABC yüzeyinde bir dengeleyici S gerilmesinin olması gerekir. Bu gerilmenin x-y-z yönlerindeki bileşenleri Sx , Sy ve Sz şeklindedir. ABC düzleminin normalinin doğrultman cosinüsleri l, m ve n olup, normal doğrultunun x, y ve z eksenleri ile pozitif yönde yaptığı açıların kosinüsleridir. 3D Gerilme Analizi
Doğrultman kosinüsleri Dördüncü düzlemdeki gerilme bileşenleri Şekil 4-b’deki dört yüzlünün x yönündeki statik dengesinden elde edilir. Bu denklem ABC alanı ile bölünürse şeklinde olur. Doğrultman kosinüsleri 3D Gerilme Analizi
Benzer şekilde diğer bileşenler ΣFy=0 ve ΣFz=0 şartlarından bulunur: Bu denklemler aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilir: 3D Gerilme Analizi
Dördüncü düzlemin normali yönündeki gerilme Elde edilen S gerilmesi bileşenleri vektör formunda aşağıdaki gibi yazılır: ABC düzleminin normal doğrultusundaki birim vektör e olup bu iki vektörün skaler çarpımından ABC düzlemindeki normal gerilme aşağıdaki gibi bulunur: 3D Gerilme Analizi
Dördüncü düzlemin normali yönündeki gerilme Bu bileşenler σN denkleminde yerine yazılarak aşağıdaki denklem elde edilir: 3D Gerilme Analizi
Gerilme dönüşümleri x-y-z eksen takımının orijini üzerinde yeni bir X-Y-Z eksen takımı tanımlayalım. Burada Y ekseni ile N yüzey normali ile çakıştırılırsa, eksen takımları arasındaki açıların kosinüsleri (doğrultman kosinüsleri) aşağıdaki gibidir: X-Y-Z yönlerindeki birim vektörler: X-Y-Z ve x-y-z arasındaki dönüşüm denklemi: 3D Gerilme Analizi
X-Y-Z yönlerindeki gerilme bileşenleri, daha önce bulunmuş olan N yönündeki σN gerilmesi gibi hesaplanır: 3D Gerilme Analizi
X-Y-Z yönlerindeki kayma gerilmeleri Kayma gerilmeleri S vektörünün X, Y ve Z eksenleri üzerindeki izdüşümleri ile bulunur. X, Y ve Z yönlerindeki birim vektörler sırası ile e1, e2 ve e3 olmak üzere S1, S2 ve S3 gerilme bileşenleri ile, aşağıdaki gibi skaler çarpılarak bulunur:
Örnek: Üç boyutlu gerilme haline ait gerilme tansörü σij aşağıdaki gibi verildiğine göre: Normalin doğrultman kosinüsleri olan düzlemdeki gerilme bileşenlerini, bileşke gerilmeyi, normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. x-y-z eksenlerini sırasıyla 5, 10, 15 noktalarında kesen düzlemdeki gerilmeleri hesaplayınız. 3D Gerilme Analizi
Çözüm 3D Gerilme Analizi
ve 3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
Asal gerilmeleri 3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
veya 3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
Asal gerilmelerin x, y, z eksenleriyle yaptığı açılar 3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
Çözüm:
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
Örnek: Şekilde görülen konsol kiriş P=8 kN ve Q=6 kN luk kuvvetlere maruz kaldığına göre: A noktasında oluşan gerilme bileşenlerini hesaplayınız. Gerilme tansörünü oluşturunuz. Gerilme invariantlarını hesaplayınız. Asal gerilmeleri ve doğrultularını belirleyiniz. y z P Q b h 8 4 A x y z O P Q L=0.2 m h=60 mm b=40 mm
Vy =-P=-8 kN Vz =Q=6 kN 3D Gerilme Analizi
Vy =-P=-8 kN Vz =Q=6 kN
Asal gerilmeler:
σ1 için doğrultman cos’lerini bulalım (i=1):
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. Örnek: Bir noktadaki gerilme durumu aşağıdaki verilmektedir. Buna göre; Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. Mohr çemberlerini çizerek kayma gerilmelerini belirleyiniz. 3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi
3D Gerilme Analizi