KÜMELER TEORİSİNİN TARİHÇESİ B C E

Küme kavramı doğada her zaman vardı, ama isimlendirilmesi, varlığı kadar kolay olmamamıştır. Sayılar üzerinde uzun yıllar çalışmalar yapıldığı halde, bunların belirli topluluklarının küme olarak isimlendirilmesi oldukça vakit almış ve çok sonraları yapılmıştır.

Örneğin Bernard Bolzano (1781-1848) doğal sayıların ötesinde sayılabilme problemini ortaya koyan “Sonsuzun Paradoksu (Paradoxien des Unendlichen)” isimli çalışmasında, bir bakıma adını koymadan, sonsuz kümeler üzerinde çalışmış ve bu özellikteki ilk çalışma olarak tarihteki yerini almıştır. Bolzano’nun bu çalışması ölümünden üç yıl sonra 1851 de yayınlanmıştır.

18. yy sonlarında matematiğin kendine has olan lisanında birlik sağlama ihtiyacı hissedilmiştir.

Dönemin Alman matematikçisi Georg Cantor (1845-1918) tüm matematik araştırmalarında ve problemlerinde kullanılan nesnelerin aslında kendi aralarında belirli özelliklere göre gruplanabileceğini, bu durumda araştırma ya da problemin anlaşılırlığının ve problemin çözümüne yönelik işlem yapmanın daha da kolaylaşacağını fark etmiştir.

Cantor’a göre; Matematik problemlerinde genellikle sayılar, noktalar ya da bağıntılar, fonksiyonlar gibi kavramlarla çalışıldığından aslında matematiğin uğraşısı olan tek nesne vardı o da küme. Daha açıkçası; sayıların kümesi, noktaların kümesi, fonksiyonların kümesi gibi kümeler dışında matematiğin hiçbir nesneye ihtiyacı yoktu. Esas olan kümeler arasındaki bağıntıların araştırılmasıydı.

1878 yılında Georg Cantor küme kavramını ortaya atan ilk makalesini yayınladı. Bu makalede, ait olma bağıntısının, her terim için, belirlenmesini sağlayan her özelliğin bir kümeyi tanımladığı vurgulanmıştır. Ayrıca yine bu çalışmada kümeler için temel bağıntının, günümüzde  ile gösterilen, ait olma bağıntısı olduğu belirtilmiştir.

Georg Cantor kümenin elemanlarını ( yani kümeye ait olan nesneleri) belirlemek için iyi tanımlanmış bir özelliğin yeteceği düşüncesindeydi. Bu durumda bir nesnenin bu özelliği sağlayıp sağlamadığına bakılarak, nesnenin bu kümeye ait olup olmadığı belirlenebilirdi. Böylece matematik, problemin içeriği ne olursa olsun, kümelere işlemler uygulanarak yapılabilirdi.

Bu ise matematiğin geneline bir sade (yalın) yaklaşım getirmekteydi. Bu yaklaşımın doğru olmadığı çabuk farkedildi.

1893 yılında yayınlanan, Gottlob Frege’nin Aritmetiğin Temel Yasaları (Grundgesetze der Arithmetik) adlı çalışmasının ilk cildinde Georgg Cantor’un yaptıklarına çok yakın bir biçimde küme kavramını ve sayıların kümeye dayalı tanımını vermiştir.

Georg Cantor’un düşüncesinin yanlış olduğunun ilk örneği, Bertrand Russell tarafından 1903 yılında ortaya çıkarılmıştır. Russel açık bir soru soruyordu ve kesin bir cevabının olmasını bekliyordu: Bir küme kendisinin elemanı olabilir mi?

Aslında Russel bunu kataloglara benzetiyordu ve içinde kendi adının da yer aldığı kataloglar vardı. Bu problem üzerinde biraz düşünelim:

Kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerin oluşturduğu aileyi C ile gösterelim. Yani günümüzdeki gösterimi ile C= Bu durumda C nin kendisi C de midir?

Bu sorunun cevabı C nin tanımından dolayı “Eğer C nin kendisi C nin elemanı değilse C kümesi C nin elemanıdır.” Biçimindedir. Oysa bu bir çelişkidir.

(Veya tersine “C nin kendisi C kümesinin elemanı ise C, C nin elemanı değildir.” ifadesi bulunur ki bu da bir çelişkidir.

O halde C bir küme olamaz. Yani Georg Cantor’un “ her özelliğin bir küme belirlemeye yeteceği” düşüncesi doğru değildir. Russel’ın bu paradoksu, matematiğin tümünün kümeler kuramı üzerine kurulmasının imkânsız olduğunu göstermesi bakımından matematik tarihinde önemli bir kilometre taşı mahiyetindedir.

1908 yılında Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) paradoksal kümelere imkân vermeyen ilk aksiyom sistemini geliştirdi.

Bu yazım tekniği bazı bilgisayar dilleri için temel oluşturdu. 1910 yılında Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) ve Alfred North Whitehead (1861-1947) “Matematiğin İlkeleri (Principia Mathematica) ” isimli bir eser yayınladılar. Bu eserde paradokslardan kaçınmak için tipler kuramı adı altında karmaşık bir yazım önerdiler. Bu yazım tekniği bazı bilgisayar dilleri için temel oluşturdu.

1922 yılında Adolf Abraham Halevi Fraenkel (1891-1965), Zermelo’nun aksiyom sistemini daha da geliştirdi. Günümüzde ZF (Zermelo-Fraenkel) aksiyom sistemi adıyla bilinen bu sistem yaygın bir kullanım alanı buldu.

1924 yılında John von Neumann (1903-1957), kümeler kuramını aksiyomatik hâle getirmek için temel iki kavrama, yani paradoks olabilecek sınıflara ve kümelere dayanan bir çözüm önerdi.

1940 yılında Kurt Gödel (1906-1978), sonlu ötesi sayıların tanımlanmasında zorunlu olan seçme aksiyomunu ve bu sayılara tutarlı bir temel sağlayan süreklilik varsayımının, kuramın diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi.

1963 yılında Paul Joseph Cohen (1934- ), Kurt Gödel’in çalıştığı bu iki önermenin olumsuzunun da kuramın diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Cohen’in süreklilik varsayımı hakkındaki bu sonucu rahatsız edicidir; nasıl kurulduğu belirtilmeksizin bir doğrunun noktalarının kümesi ve doğal sayıların sayılabilirliği arasında sonsuz büyüklükte keyfi bir sayının sabitleştirilebileceğini ifade eder.

Bu konu üzerinde araştırmalar hâlen devam etmektedir. SON