Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Hazırlayan: Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr GİRİŞ Otomatik kontrol sistemlerinin çözümleme ve tasarım süreçlerinde sistemlerin matematiksel modellerine ihtiyaç duyulur. Bu model, sistem değişkenleri arasındaki ilişkileri çözümlememizde bize yol gösterir. Mekanik, kimyasal, ısıl, elektriksel ve bunların bileşimi olan (eletromekanik, elektrokimyasal..) pek çok sistem fiziksel olarak modellenebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Fiziksel bir sistemi, örneğin endüstriyel bir tesisi, bir uçağı deneme yanılma yoluyla incelemek, bozup tekrar tasarlamak oldukça maliyetli ve uzun bir süreç olurdu. Bunun yerine sistemin davranışlarını temsil eden denklemlerden oluşan matematiksel bir eşdeğer model üzerinde hesap kitap yapmak işimizi oldukça kolaylaştırır. Hızı saatte 90 km olan bir otobüsün 3 saat sonra nerede olacağını tahmin etmek için otobüse binip 3 saat gitmemiz gerekmez. Newton’un hareket yasasına göre alacağımız yolun matematiksel formülü x=v.t’dir. Otobüsün davranışını doğrusal ve zamanla değişmiyor kabul edersek (hız kesmiyor, mola vermiyor ..gibi) bu matematiksel modeli çözerek aracın 3 saat sonra yaklaşık olarak 270 km ilerdeki bir ilçede olduğu tahmininde bulunabiliriz. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Fiziksel bir sistemin çözümleme sürecini ele alalım; Fiziksel sistemlerin dinamik karakteristiklerinin incelenmesini mümkün kılmak için bu sistemlere ait fiziksel olayın idealleştirilmesi suretiyle modellerinin kurulması gereklidir. Model kurma işleminde genellikle çok karmaşık olan fiziksel sistemin uygun kabullerle basit ve pek çok durumda idealize edilmiş elemanlardan oluşacak şekilde tasarlanması suretiyle bir “fiziksel modeli” elde edilir. Fiziksel modeli gerçek fiziksel elemanlarla da kurmak mümkündür ama sadece matematiksel modele geçiş için görsel birer araç olduklarından genelde fiziksel modeli, fiziksel sistemi kağıt üstünde temsil eden şekiller olarak algılamak yanlış olmaz. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Örneğin; Çarpışma esnasında bir aracın tamponunun nasıl davranacağını bildiğimiz eleman davranışları cinsinden modellemeye çalışalım. Tamponu temsil eden fiziksel model birbirine seri veya paralel bağlanmış fiziksel elemanlardan oluşabilir. Örneğin tamponun bir kütlesi vardır. Bunu, tamponun merkezinde aynı ağırlığa sahip ideal bir m kütlesine indirgeyebiliriz. Çarpışma sırasında tamponun gerilip şekil değiştirmesi suretiyle darbenin bir kısmı tamponda depolanabilir. Tampon sonra tekrar düzelerek depoladığı enerjiyi boşaltabilir. Bu davranışı bir yay elemanı ile temsil edebiliriz. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Tampon darbenin bir kısmını da sürtünmeyle ısıya dönüştürerek sönümler. Bu davranışı da bir sönümleme elemanı (amortisör) ile temsil edebiliriz. Bu bizim, tamponu temsil etmek için davranışlarını bildiğimiz elemanlardan oluşturduğumuz fiziksel modeldir. Yoksa tampon veya tampon sistemi gerçekte de seri veya paralel bağlı bir kütle, bir yay ve bir sönümleme elemanından oluşması gerekmez. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Fiziksel modelden itibaren de temel fizik kanunlarını kullanarak elemanların davranışını ifade eden doğrusal veya doğrusal olmayan denklemlerden oluşan “Matematiksel model” elde edilmiş olur. Örneğin kontrol sistemleri doğası gereği dinamik sistemlerdir. Bu nedenle bu tür sistemleri dinamik davranışları ifade etmek için kullandığımız diferansiyel denklemlerde temsil edilebilirler. Özetle fiziksel model şekil, matematiksel model de onun denklemidir. Bir sistem için uygun bir matematiksel model kurulduktan sonra bilinen analitik çözümleme yöntemleri veya sayısal çözümleme (hesap makinesi veya bilgisayar) yöntemleriyle çözümü bulmak (dif. denklemleri çözmek) mümkündür (Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 1995). Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bütün fiziksel sistemler gerçekte doğrusal olmayan bir yapıya sahiptir. Doğrusal olmayan sistemlere ait matematik çözümlerini özellikle analitik çözümleme yöntemlerinde elde etmek oldukça güçtür. Genelde sistem elemanlarının belirli bir çalışma bölgesi içinde doğrusal oldukları kabul edilir ve çözümler buna göre yapılır. Bu yaklaşımın gerçek duruma uyması nisbetinde model mükemmel olur. Böylece sistem için lineer elemanlardan oluşan bir lineer fiziksel model elde edildikten sonra Newton kanunu, Kirchoff kanunu, hidroliğin ve termodinamiğin temel kanunları gibi temel fiziksel kanunlar yardımıyla sistemin davranışını ifade eden doğrusal bir integro-diferansiyel denklem elde edilebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bu doğrusal denklemleri çözmek için frekans düzlemi (veya karmaşık düzlem(s düzlemi)) analizi veya zaman (t) düzlemi analizi yöntemleri kullanılabilir. s düzlemi analizi için transfer fonksiyonları kullanırız. t düzlemi analizi için ise durum denklemleri yöntemini kullanırız. Lineer olmayan sistemler belirli bir örnekleme zamanı boyunca doğrusal kabul edilip, durum denklemleri yöntemiyle iteratif olarak çözülebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Şekil. Matematiksel modelleme kullanılarak bir sistemin çözümlenmesi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Basit sistem elemanları Elektriksel, mekanik, hidrolik, ve termodinamik sistemlere ait basit elemanların davranışını sebep (giriş) sonuç (çıkış) bağıntıları şeklinde inceleyerek bu bağıntıları matematiksel olarak ifade edebiliriz. Basit elemanların seri veya paralel olarak bağlanması ile ortaya çıkan karmaşık sistemlerin matematiksel modelleri de kolayca elde edilebilmektedir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Basit elemanlarda İç ve Uç değişken kavramları Basit elektriksel elemanlar, direnç ve kondansatörde olduğu gibi iki uçlu (2-1 veya a-b gibi) elemanlardır. Bir R direncinin 2-1 uçları arasına bir V21 potansiyel farkı uygulanırsa dirençten i akımı geçtiği bilinmektedir. İki uçlu elemanlarda değişkenlerden biri (örneğin V21) davranışın sebebi, diğeri (örneğin i) sonucu olarak kabul edilebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr İki uçlu bir elemanda V21’in ölçülebilmesi için bir voltmetrenin devreyi bozmadan 2 ve 1 uçlarına bağlanması yeterlidir. Voltmetre bu uçlar arasındaki değer farkını ölçer bu nedenle burada ölçülen V21 değişkeni uç değişkeni olarak adlandırılır. i akımını ölçmek için devreyi kesip araya giren bir ampermetre kullanmak gerekir. ölçülen akım değeri eleman içinde her noktada aynıdır. Bu bakımdan akıma iç değişken denir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Benzer şekilde, mekanik sistem elemanlarında uç değişken hız, iç değişken ise kuvvettir. Mekanik bir elemanın hızı sabit bir referans sistemine (örneğin dünyaya) göre mekanik elemanın yapısını bozmadan ölçülebilir. Örnek olarak takometreyi dönen milin ucuna bağlayarak bir referansa (örneğin sıfıra) göre açısal hızını kolayca ölçebiliriz. İç değişken olan kuvvetin ölçülmesine gelince mekanik bağlantıyı bozup bir dinamometre yerleştirmek gerekir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Tablo 1. Fiziksel sistemlerde iç ve uç değişkenlerin özeti. İç değişken İç değişkenin integrali Uç değişken Uç değişkenin integrali Elektriksel Akım, i Yük, q Potansiyel farkı, v21 Akı geçişi, λ21 Mekanik (ötelemeli) Kuvvet, F Doğrusal moment, P Hız farkı, v21 Yerdeğiştirme farkı, y21 (dönel) Tork (Döndürme momenti), T Açısal moment, h Açısal hız farkı, ω21 Açısal yerdeğiş. farkı, θ21 Akışkan Sıvının hacimsel akış hızı, Q Hacim, V Basınç Farkı, P21 Basınç momenti, γ21 Isıl Isı akış hızı, q Isı enerjisi, H Sıcaklık farkı, Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Fiziksel Sistemlerin Diferansiyel Denklem Eşdeğerleri Fiziksel sistemin dinamik davranışını ifade eden diferansiyel denklemler süreçle ilgili fizik kanunları kullanılarak elde edilir. Bu yaklaşım, mekanik, elektriksel ve termodinamik sistemlere aynı başarıyla uygulanabilir. Bir çok sistemde basit elemanların değişkenleri arasındaki fiziksel bağıntıların benzer olması, bu elemanlara ait matematik modeli aynı kılmaktadır. Bu durum ise sistemler arasındaki benzerlikleri (analojiyi) açıkça ortaya koymaktadır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Tablo.2’de bir fiziksel modeli oluşturan ideal elemanlara ait semboller ve değişkenleri arasındaki bağıntıyı betimleyen matematiksel denklemler verilmiştir. Tabloya bir bütün olarak bakıldığında bazı elemanların genelde benzer davranış gösterdikleri, bu davranışı betimleyen denklemlerin farklı kişiler tarafından farklı zamanlarda tanımlanmış fizik kanunları olmalarına rağmen (Örneğin 1. denklem Lenz yasasıdır) benzer formüllerle ifade edildikleri görülmektedir. Elemanlar genelde enerjiyi indüktif veya kapasitif olarak depolama ve gücü harcama şeklinde 3 tip davranış göstermektedir. Depolanan enerji daha sonra geri kazanılabilmektedir. Harcanan güç ise genelde ısı şeklinde kaybedilmekte ve geri kazanılamamaktadır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr İndüktif depolayıcılar: L=elektriksel indüktans, 1/k=düzlemsel veya dönel hareketlerde sertlik katsayısı (k:esneklik katsayısı), I = akışkan eylemsizliği Kapasitif depolayıcı: C=elektriksel kapasite, M=kütle, J=eylemsizlik momenti, Cf=akışkan kapasitesi, Ct=ısıl kapasite Enerji tüketiciler: R=direnç, b=vizkoz sürtünme, Rf = akışkan direnci, Rt= ısıl direnç Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Tablo.2. İdeal Elemanları betimleyen diferansiyel denklemler Bu elemanların seri-paralel bağlanmasıyla bileşke davranışlar gösteren sistem modelleri elde edilebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek.1. yay - kütle -sönümleme elemanlarından oluşan mekanik model Örnek olarak daha önce bir aracın tamponunu modellemek için kullandığımız yay - kütle -sönümleme elemanından oluşan sistemin davranışını ele alalım. Burada k ideal yayın esneklik katsayısı, b ise sönümleme elemanının sürtünme katsayısıdır. Bu denklemde sürtünmeyi vizkoz sürtünme adını verdiğimiz gidiş yönüne ters ve hızla orantılı olarak artan bir sürtünme kuvvetiyle temsil edebiliriz. Bu sürtünmeyi oluşturacak ideal eleman bir sönümleme elemanı ile modellenebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bu mekanik modelin davranışı Newton’un 2. hareket yasası ile ifade edilebilir. M kütlesine ait serbest cisim şeması Şekil.b’de verilmiştir. Yasaya göre, yönleri de göz önüne alındığında, bu kütleye etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır ( ). Ters işaretli olan r(t) kuvvetini denklemin sağ tarafına atalım. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Aşağı yönde uyguladığımız r(t) kuvvetinin ky kadarı yayı germeye harcanmış, bu sırada kadarı sürtünme kuvvetini yenmiş ve geri kalan kadarı da kütleyi ivmesiyle harekete geçirmiştir. Şekil. (a)Yay-kütle-sönümleyici sistemi, (b) sistemde kütleye etki eden kuvvetleri gösteren serbest cisim şeması Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Denklem şu haliyle 2. dereceden sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklemdir. Denklemin çözümü, giriş (r(t)) değerine göre çıkışın bulunmasıdır. Çıkış, r(t) girişi uygulandığında bizim davranışını gözlemlemek istediğimiz değişkendir. Bu v(t) hızı veya y(t) yer değiştirmesi olabilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Örneğin burada kütleye önceden bir r(t) kuvveti uygulanarak y(t)=y(0)=0.15m kadar aşağı çekilmiş ve buradan serbest bırakılmış olduğunu düşünelim. Diferansiyel denklem çözülürse bu sönümlü sistemin, yer değiştirme (y(t)) cinsinden dinamik yanıtı diferansiyel denklemi klasik yöntemlerle iki kere integre ederek, Laplace-ters Laplace dönüşümleri yaparak veya sayısal çözümleme yöntemlerini kullanarak bulunabilir. y(t)= Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Çıkış yanıtında eksponansiyel olarak azalan bir işaretle sinüzoidal bir işaretin çarpımı görülmektedir. Nitekim yanıtı zamanda grafik olarak çizersek zarfı eksponansiyel olarak azalan bir işaret tarafından sınırlandırılmış, sinüzoidal bir işaret görürüz. Geçekten de serbest bırakılan M kütlesi harekete ters yönlerde enerjiyi biriktiren sonra tekrar salan (enerji depolayıcı bir eleman olan yayın davranışı), giderek sönümlenen (enerji tüketici bir eleman olan sönümleyicinin davranışı) ve en son bir denge noktasında sabit kalan bir davranış gösterir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Örnek.2. Kondansatör - direnç -indüktans elemanlarından oluşan elektriksel model Benzer şekilde Kirschoff’un akım yasası kullanılarak şekildeki RLC devresi matematiksel olarak ifade edilebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr RLC devresi r(t)=I akımına maruz kaldığında da yanıt v(t) gerilimi olarak benzer bir davranış gösterir. Integro-diferansiyel denklemin çözümü v(t)= Eksik sönümlü RLC devresinde gerilim grafiği Şekildeki gibidir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Benzer (Analog) Sistemler Mekanik ve elektriksel sistemlerdeki benzerliği ortaya çıkarmak için, mekanik sistemin çıkışını yer değiştirme değil, hız cinsinden çözebiliriz. Bu değişikliği denklemde yer değiştirmenin türevi dy/dt yerine hız (v) yazarak yapabiliriz. v(t)= Bu durumda denklemimiz, elektriksel sisteme ait integro-diferansiyel denkleme benzer. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bu iki özdeş denklemde v(t) hızı ve v(t) gerilimi eşdeğer değişkenlerdir ve benzer (analog) değişkenler olarak adlandırılırlar. Oluşturdukları sistemler de benzer sistemler olarak adlandırılırlar. Genlik ve frekansı elemanların değerlerine bağlı olarak değişmekle birlikte davranış olarak çıkış grafikleri birbirine benzer. Benzer sistemler kavramı sistem modellemede oldukça kullanışlı bir yöntemdir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Hız-gerilim benzeşimi ya da başka bir deyişle kuvvet-akım benzeşimi elektriksel ve mekanik sistemlerde yaygın olarak kullanılır. Benzer sistemler, elektriksel, mekanik, ısıl, akışkan pek çok sistemi aynı diferansiyel denklemle ifade ettikleri ve birbirine yakın çözüm sonuçları elde ettiklerinden dolayı, çözümleme ve tasarım sırasında bunlardan birinin davranışı hakkında ne öğrenirsek bunu diğer sistemler için de genişletebilir, kullanabiliriz. Matematiksel modeli aynı olan sistemlerin en elverişli eşdeğerlerinin kurulması ve değişik parametrelerin etkilerini belirlemek için bunlar üzerinde deney yapma imkanı sistemlerin dinamik karakteristiklerini inceleme bakımından büyük kolaylıklar sağlamaktadır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.3. Fiziksel Sistemlerin Doğrusal Yaklaşık Eşdeğerleri Fiziksel sistemlerin büyük bir çoğunluğu, sisteme ait değişken veya değişkenlerin belirli bir çalışma bölgesi civarında, doğrusal davranış gösterir. Ama değişken değerleri bu bölge sınırlarını aştığında doğrusal olmayan davranış kendini göstermeye başlar. Örneğin Şekil.X’deki yay-kütle-sönümleme elemanı sistemi, kütle küçük y(t) yer değiştirmelerine maruz kaldığı sürece doğrusaldır ve denklem 2.1 ile matematiksel olarak ifade edilebilir. Yayı geren kuvvet idealde =ky’dir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Fakat y(t) sürekli arttırılırsa, sonunda yay aşırı gerilecek, yapısı bozulacak ve kopacaktır. Bundan sonra kütle daha aşağı çekilse de yayda bir gerilme kuvveti oluşmayacaktır. Bu nedenle doğrusallık sorununu ve uygulanabilirlik sınırlarını her sistem için ayrı ayrı dikkate almak gerekir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bir sistemin, sistem girişine yapılan uyartım ve çıkışından alınan yanıta bakarak doğrusal olup olmadığına karar verebiliriz. Örneğin bir elektriksel sistemde, uyartım girişi r(t) akımı, yanıt ise v(t) gerilimi olabilir. Genelde, doğrusal bir sistem için gerek koşul, x(t) uyartımı ile y(t) yanıtı arasındaki bağıntı cinsinden tanımlanabilir. Sistemin doğrusal olabilmesi için, toplamsallık (süperpozisyon) ve ölçeklenebilirlik (homojenite) ilkelerini aynı anda sağlaması gerekir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Toplamsallık ilkesine göre bir sistemin girişine X1(t) uyartımı verildiğinde Y1(t) cevabı, X2(t) uyartımı verildiğinde ise Y2(t) yanıtı alınıyorsa, X1(t) + X2(t) şeklindeki bir uyartım girişine sistemden Y1 (t)+ Y2 (t) yanıtı alınması beklenir. Şekil.1.1. Toplamsallık ilkesi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Ölçeklenebilirlik ilkesine göre de, bir sistemin girişine X1(t) verildiğinde Y1(t) yanıtını alıyorsak, girişe X1 (t)’nin belirli bir katı uygulandığında da çıkışta Y1 (t)’nin aynı katı kadar bir cevap almamız beklenir. Şekil.1.1. Ölçeklenebilirlik ilkesi Bu durumda örneğin y=x² şeklinde bir bağıntı doğrusal değildir. Çünkü Y1= ve Y2= iken Y1+ Y2 = + olduğundan toplamsallık özelliği yoktur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Benzer şekilde y=mx+b şeklinde bir bağıntı da doğrusal değildir. Çünkü ky ≠ eşitsizliğinden dolayı ölçeklenebilirlik ilkesini sağlamaz. Fakat bir x0,y0 çalışma bölgesi civarında küçük ve değişimleri için doğrusal kabul edilebilir. x’i; x=x0+ ve y’yi; y=y0+ şeklinde temsil edersek ; y=mx+b y0+ = mx0+m + b haline dönüşür. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Şekil.(a) y=mx+b fonksiyonu (b) bundan türetilen fonksiyonu Özellikle mekanik ve elektriksel elemanlarda, örneğin transistörlerde nonlineer elemanlar yerine çözüm için elemanın küçük genlikli işaretler için doğrusal eşdeğer modeli kullanılır. Sistem sadece çalışma (x0,y0) bölgesi sınırları ( , ) içinde çalışıyorsa, grafiği bu bölge için yeniden çizebiliriz. Çalışma noktasını başlangıç noktası olarak orijine taşıyalım. Bu durumda çalışma sınırlarının dışına çıkmamak kaydıyla orijinal fonksiyon yerine =m fonksiyonunu kullanmamız her hangi bir hataya neden olmaz. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Etki (iç) değişkeni x(t), tepki (uç) değişkeni y(t) olan bir fiziksel eleman düşünelim. İki değişken arasındaki bağıntı y(t)=g( x(t) ) şeklinde yazılabilir. Burada g( x(t) ) ile, y(t)’nin x(t)’nin bir fonksiyonu olduğunu gösterilmiştir. Fonksiyonu bir x0 çalışma noktası civarında, Taylor serisi ile temsil edebildiğimizi biliyoruz. y=g(x) = g(x0)+ Serinin derecesi ne kadar büyürse, Taylor serisi, gerçek fonksiyonu o kadar iyi temsil eder, seri sonsuza kadar açılırsa da eğrinin kendisine eşit olur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Çalışma noktasındaki eğim (m) olan bu nokta etrafında (x-x0) gibi küçük bir değişim bölgesi için gerçek eğriyi yaklaşık olarak temsil edebilir. Fonksiyonu 1. dereceden kuvvetine kadar seriye açarsak doğrusal olmayan denklemin yaklaşık eşdeğerini temsil eden denklem y= g(x0)+ = y0 + m (x-x0) Buradan y’ı sol tarafa atarsak denklem y- y0=m(x-x0) veya şeklinde doğrusal bir denkleme dönüşür. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek. Kütle-yay-sönümleyici Bir M kütlesinin, lineer olmayan bir yayı denge konumuna gelene kadar ağırlığıyla sıkıştırdığını düşünelim. Çalışma noktasını yer çekimi kuvveti Mg’nin , yay tarafından dengelendiği bu denge noktası olarak seçelim. Burada g, yerçekimi sabitidir. Şekil. a) Doğrusal olmayan yay üzerine yerleştirilmiş bir kütle, b) yayın gerilme (sıkışma) kuvvetiyle yerdeğiştirme arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyon Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Doğrusal olmayan yayın formülü f=y² dir ve olur. Denge noktası y0’da yayın gerilme kuvveti, f0=f(y0) yerçekimi kuvvetine eşittir (f0=Mg). Denge noktasında f0 = Mg = y0= dir. Aynı sistemin küçük değişimler için doğrusal eşdeğer modeli ’ olacaktır. Burada m= ’dir. Denklem Y’ye göre m; m=2y0’dır. Sistemin doğrusal eşdeğer modeli de olacaktır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Çok parametreli fonksiyonlarda doğrusallaştırma Eğer y bağımlı değişkeni, pek çok girişe bağımlıysa bu bağıntı benzer şekilde çok değişkenli bir fonksiyonla temsil edilebilir. y=g(x1, x2, x3…….xn) Burada da y çıkışının her bir giriş değişenine göre kısmi türevleri kullanılarak, fonksiyon Taylor serisine açılabilir. Yine yüksek dereceli terimler atılıp, birinci dereceden olan terimler bırakılarak fonksiyonun , , …. çalışma noktası civarında, doğrusal yaklaşık bir eşdeğeri elde edilebilir. y=g( , , …. )+ + + Burada x0 çalışma noktasıdır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek. Ters Sarkacın Salınım Modeli Şekildeki gibi bir sarkacın salınımını ele alalım. Burada kütleye etki eden döndürme momenti (tork) T=M g l sin dır. Şekil. Ters sarkacın salınımı T ile arasındaki nonlineer ilişki Burada g yerçekimi sabitidir. Çalışma (denge) noktası normalde, yani sarkacın düşey olarak durduğu noktadadır. Normalle yapılan açı 90° iken normale doğru yapılan döndürme momenti en büyüktür (T=Mg*1). Çalışma noktasında ise en küçüktür ( ). Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Çalışma noktası ( ) civarındaki küçük değişimler için sistemin doğrusal yaklaşık eşdeğeri; fonksiyonun Taylor serisinin 1. türevine kadar açılmasıyla elde edilebiliyordu. Burada T=0 ve =0 idi. Bu yaklaşık model, şekilden de görüldüğü gibi aralığında oldukça doğru sonuçlar verir. Gerçekten de küçük açı değerleri için sinüsün aldığı değer açı değerinin kendisine oldukça yakındır(sin0=0;sin(0.150)=0.1495;sin(0.314)=0.308) Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Laplace Dönüşümü Laplace dönüşümlerinin kullanılabilmesi için sistemleri temsil eden denklemlerin doğrusal olması gerekir. Bu yüzden fiziksel sistemlerin doğrusal yaklaşık eşdeğerleri elde edilir. Laplace dönüşümleri, zaman düzleminde çözümü oldukça karmaşık ve güç olan doğrusal diferansiyel denklemleri, karmaşık frekans düzleminde toplama çarpma bölme gibi çözümü daha basit olan cebirsel denklemlere dönüştürür. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Amacımız sisteme ait bir değişkenin zaman düzleminde çözümünü bulmaksa Laplace dönüşümlerini de içeren yandaki gibi bir yol izleyebiliriz; Şekil1. Bir sisteme ait çıkış değişkenin Zaman düzlemi yanıtının çözümlenme adımları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Dönüştürme integrali yakınsayan, yani sonlu bir değere sahip olan, doğrusal diferansiyel denklemlerin Laplace dönüşümleri vardır. Örneğin f(t) böyle bir denklemi temsil etsin. f(t)’nin dönüşümünün olabilmesi için yeter koşul ile verilir. Burada , pozitif gerçel bir sayıdır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Fiziksel olarak gerçeklenebilir bütün işaretlerin Laplace dönüşümleri vardır. Bir f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü Benzer şekilde ters Laplace dönüşümü de f(t)= Bu dönüşüm formülleri kullanılarak bizim için gerekli pek çok işaretin Laplace dönüşümü elde edilip dönüşüm tabloları oluşturulabilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Yanda önemli bazı Laplace-Ters Laplace dönüşüm çiftlerini gösteren dönüşüm tablosu verilmiştir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Otomatik kontrolde Laplace dönüşümlerini çoğunlukla transfer fonksiyonu modellerini elde etmek için kullanıyoruz. Daha sonraki bölümde göreceğimiz bu modelleme türünde, ilk koşullar sıfır alınır. Bu nedenle Laplace değişkeni s’i diferansiyel operatörlerin Laplace dönüşümü olarak düşünmek yanlış olmayacaktır. s=ℒ ve = ℒ Sistemin karmaşık düzlemde çözümü bulunduktan sonra zaman düzlemi karşılığı bulunur. Bu sırada ters Laplace dönüşümleri genelde kısmi kesirlere ayrılarak bulunur. Bu yaklaşım, karakteristik denklemin her bir kökünün (özdeğerinin) sistem yanıtına ne kadar etki ettiğini göstermesi nedeniyle sistem analizi ve tasarımında oldukça yararlı bir çözüm yaklaşımıdır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Sistem Davranışının İncelenmesinde Geçici Durum ve Sürekli Durum Yanıtı Kavramları Laplace dönüşümleri karmaşık düzlemde s’li terimlerden oluşan denklemler (F(s)=s2+3s+..) elde etmemizi sağlar. Bu s’li terimler, diferansiyelleri yani değişimleri, yani dinamik bir davranışı ifade ederler. Sistem, kararlı bir sistemse, yani denetleyicisi onu istenen nihai bir değere ulaştırıyor ve bu değerde sabit kalmasını sağlıyorsa, sistem geçici bir süre için değişik çıkışlar üretecek, sonunda sürekli bir çıkış değeri verecektir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Zaman düzleminde ve karmaşık frekans düzleminde geçici hal yanıtı (steady state response) ve sürekli hal yanıtı aşağıdaki gibidir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Laplace dönüşümlerinin özellikle çözülmesi zor diferansiyel denklemler içeren sistem problemlerinin çözümlenmesinde nasıl kolaylıklar sağladığını örnekler üzerinde görelim. Çıkış yanıtı başlangıç koşulları tarafından belirlenen doğal yanıt ve giriş tarafından belirlenen zorlanmış yanıtın toplamından oluşur. Y(s)= Burada q(s)=0 karakteristik denklemdir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Eğer giriş işaretimiz, basamak fonksiyonu , rampa fonksiyonu gibi kesirli bir sayı(R(s)= ) ise Y(s) = = şeklinde olur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Y1(s), doğal yanıttır, gerekirse kısmi kesirlere ayrılarak bulunabilir. Benzer şekilde zorlanmış yanıt da paydası q(s) ve d(s) olan terimler olarak kısmi kesirlere ayrılabilir. q(s)’li olan kısmi kesirli terimden elde edilen yanıt Y2(s), paydası giriş işaretinin paydası olan d(s)’li terimden elde edilen yanıt ise Y3(s)’tir. Yanıtın ters Laplace’ı alındığında y(t)= y1(t) + y2(t) + y3(t) bulunur. Geçici durum yanıtı y1(t)+y2(t)’den, kalıcı durum yanıtı, giriş işaretini içeren y3(t)’den oluşur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek. Bir diferansiyel denklemin çözümü Aşağıdaki diferansiyel denklem ile temsil edilen bir sistem düşünelim; Başlangıç koşulları y(0)=1, ve t için r(t)=1 olsun. Denklemin Laplace dönüşümü şeklindedir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Y(s)= y(0)=1 ve R(s)= = olduğundan Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Buradan Y(s)= = Zaman yanıtı y(t)= ve kalıcı durum yanıtı bulunur. Kalıcı duruma erişilene kadar geçen süre zarfında y(t)’nin grafik üzerinde gösterdiği davranış ise geçici durum yanıtıdır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek.1. Kütle-yay-sönümleyici örneği Daha önceki örneklerde kütle-yay- sönümleyici elemanlarından oluşan sistemin dinamik denklemini; olarak bulmuştuk. y’nin zamana göre değişimini öğrenmek istersek, yukarıdaki diferansiyeli çözüp y(t)’yi elde etmek oldukça zor olacaktır. r(t)=0, y(0)=y0=1 ve =0, =3, =2 olsun. Bu durumda y(t)=? Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Çözüm: Laplace dönüşümüyle s düzlemine geçersek; Burada r(t)=0, y(0)=y0=1 ve =0 olduğu için denklem; haline dönüşür. y(t)’yi bulmak istediğimize göre Y(s)’i yalnız bırakmalıyız. Y(s)= Burada payda polinomu q(s) sıfıra eşitlendiğinde karakteristik denklem elde edilir. Çünkü bu denklemin kökleri, zaman cevabının nasıl olacağını yani karakteristiğini belirlemektedir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Karakteristik denklemin kökleri, denklemi sıfır, yanıtı da sonsuza, yani çok uzağa götüreceğinden kutup olarak da adlandırılırlar. Benzer şekilde paydaki p(s) polinomunun kökleri, sistem yanıtını sıfıra taşıdığından sıfır olarak adlandırılırlar. Sistemin girişi ne olursa olsun kutuplar ve sıfırlar sistem yanıtını sonsuz veya sıfır yapan kritik frekanslardır. Kutup ve sıfırların karmaşık frekans ( s ) düzlemindeki yerleri, sistemin doğal geçici durum yanıtının karakteristiğinin ne olacağını grafiksel olarak gözler önüne serer. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Denklemi kısmi kesirlere ayırırsak Y(s)= Burada k1, k2 kısmi kesirlerin katsayılarıdır. Rezidü olarak da adlandırılan bu katsayılar, her bir kutbun, çıkış davranışına ne oranda etki ettiğini gösterir. Hangi kutbun rezidüsünü bulmak istiyorsak, içinde o kutup olan çarpan (s-si) ile henüz kısmi kesirlere ayrılmamış Y(s) fonksiyonu çarpılır ve s değeri istenen kutup değerine eşitlenir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr k1 ve k2 yerlerine koyulursa ters Laplace değerlerini bulabileceğimiz kısmi kesirlerine ayrılmış basit terimleri elde ederiz. Y(s)= ve denklemin ters Laplace’ı alınırsa Sistemin yanıtı bulunur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Şekil. Yanıtı çizdirmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı Geçici yanıtı 10 sn boyunca grafik olarak görmek istersek Matlabta aşağıdaki kodları yazabiliriz. Şekil. Yanıtı çizdirmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Eksponansiyel olarak azalan zıt iki işaret kesikli çizgilerle verilmiştir. Yanıtı temsil eden ve düz çizgiyle verilen bileşke işarette, katsayısı daha büyük olan kutbun, katsayısı oranında daha etkili olduğu görülmektedir. Son olarak, son değer teoremine göre kalıcı yanıtın ne olacağı bulunabilir. = = =0 Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Demek ki yay bir r(t) kuvvetiyle (veya herhangi başka bir yolla) önceden bir y0 noktasına getirilmişse ve sonra r(t)=0 iken serbest bırakılmış ise kütlenin “y” yer değiştirmesi şekildeki gibi geçici bir süre boyunca hiç salınım yapmadan eksponansiyel olarak azalır ve doğruca denge noktası olan 0’a doğru gider. Son değer olarak da y=0 değerini alır. Laplace dönüşümü yönteminin özelliklerini biraz daha açmak için aynı kütle-yay-sönümleyici sistemini eksik sönümlü durum için inceleyelim. Karakteristik denklemi 2. dereceden olan dolayısıyla 2.dereceden bir sistem yanıtı olan Y(s) denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Burada : sönümleme oranı, ise sistemin doğal frekansıdır. Denkleme göre salınımı sağlayan doğal frekansı = , fiziksel olarak yay sabiti ve kütle belirlemektedir (c). Yay sabiti büyük, yani yay sert ise salınım frekansı büyük, gevşek ise salınım daha yavaş olmaktadır. Benzer şekilde kütle ağırsa salınım ağır seyretmekte, kütle küçüldükçe ise salınım kolaylaştığından salınım frekansı yükselmektedir. (b) katsayısında yerine koyduğumuzda, sönümleme oranı =b/ bulunur. Buradan da sönümlemeyi b sürtünmesiyle orantılı, yay ve kütleyle ters orantılı olduğunu görüyoruz. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Karakteristik denklemin kökleri, 2. dereceden sistemlerin köklerinin bulunmasında olduğu gibi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Kritik sönümlü durum: =1 ise s1,s2 kökleri tekrarlamalı (eşit) v gerçeldir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Eksik sönümlü durum: 0< <1 ise s1,s2 kökleri karmaşık eşlenik kökler şeklindedir. Çünkü olacağından = (-1)* olarak yazılabilir. Bu durumda kökler Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Sönümsüz durum: =1 ise s1,s2 kökleri imajiner eksen üzerindedir. Gerçel bileşeni yoktur; Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bu durumda sistem yanıtı, doğal frekansta salınım yapar ve sönümlenemez. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Şekil. a) s düzleminde eşlenik karmaşık kökler b) ’ya bağlı olarak köklerin yer değiştirmesi = = ‘dır. sabit tutulursa, :1’den 0’a değiştikçe, ’da ’den ’ye kadar değişecek ve karmaşık eşlenik kökler şekildeki gibi yarıçapı olan dairesel bir yörünge izleyecektir. Böylece ,sıfıra yaklaştıkça kökler imajiner eksene yaklaşacak ve geçici yanıtın salınımı artacaktır. Tersini düşünecek olursak, : 0’dan 1’e doğru değişirken, iki karmaşık kök, daire çizerek karmaşık eksenden gerçel eksene doğru kayacak, aradaki makas giderek kapanacak, =1’ken iki kök reel eksen üzerinde çakışacak, imajiner bileşen ve dolayısıyla salınım kalmayacaktır. Artık ortada bir ve doğal frekansı kalmamıştır. Dolayısıyla üstteki formüller karmaşık düzlemde kalmıştır, gerçel eksen üzerinde geçerli değildir. daha da artarak 1’den büyük değerler almaya devam ettiğinde kökler gerçel eksen üzerinde biri sola, diğeri sağa doğru kayarak ilerler. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek.2. Eksik sönümlü durum için y(t) yanıtının bulunması 2.dereceden sistemin köklerinin her zaman birbirinin karmaşık eşleniği olduğunu görmüştük. Bu durumda ’dır. y(t) yanıtını bulmak için yine denklemi kısmi kesirlerine ayıralım. Bunun için Y(s)= = şeklinde bir denklem elde edebilmemiz gerekir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Önce bunu sağlayacak k1, k2 katsayıları bulmalıyız. Buradaki bölme işlemini daha kolay yapabilmek için karmaşık sayıları toplama ve çıkarma şeklindeki gösteriliş biçiminden, genlik ve fazın çarpımı şeklindeki kutupsal gösterime geçelim. Paydaki karmaşık terimi, değerlerini birazdan bulacağımız M1 genliği ve fazından; paydadaki karmaşık terimi de benzer şekilde M2 genliği ve fazından oluşsun. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bu durumda denklem halini alacaktır. Eksik sönümlü 2. dereceden sistemlerde s1 ve s2 karmaşık köklerini daha önce s1,s2= olarak tanımlamıştık. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr ’yi daha basit bir sembolle temsil edelim; Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Sistem, üstel olarak azalan sinüzoidal bir davranış göstermektedir. Gerçekten de t’ye değerler vererek y(t)’yi çizecek olursak bu davranışı görürüz. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Doğrusal Sistemlerin Transfer Fonksiyonu G(s) sadece bir araçtır. Amaç bir R(S) girişi karşısında Y(s)=G(s)*R(s)’i, buradan da y(t)’yi bulmaktır. Yüksek dereceli bir sistemin davranışını ele alalım ve belirli bir girişe yanıtını inceleyelim. y(t) yanıt, r(t) giriş olmak üzere sistemi betimleyen diferansiyel denklem şeklinde olsun. Bütün başlangıç koşulları sıfıra eşitse sistemin transfer fonksiyonu = olur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Kaynaklar 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 2) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 1995 3)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf 4)Vatansever,Ş.,Savaş,Ç.,KOÜ. Mü .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr