6. Frekans Tanım Bölgesi Analizi Uygulamada bir kontrol sisteminin davranışı en gerçekçi ve doğru olarak zaman bölgesi kriterleri (aşma, yükselme zamanı, gecikme zamanı, yerleşme zamanı) ile belirlenir. (2. mertebeden prototip transfer fonksiyonu için türetilmişti.) Diğer yandan frekans tanım bölgesinde, düşük mertebeden sistemlerle sınırlı kalmayan Nyyquist ve Bode diyagramları gibi grafiksel frekans cevabı yöntemleri mevcuttur. Frekans bölgesinde analitik yöntemlerin varlığı nedeniyle tasarım ve analiz yapılabilir. Frekans cevabı yöntemleri, kontrol sistemlerinin dinamik davranışını incelemek için önemli bilgiler sağlar. Frekans cevabı bir sistemin x(t)=Xcos(t) formunda bir harmonik girdiye cevap anlamına gelir. Cevaplar sıfır ile belirli bir frekans aralığı için incelendiğinden, inceleme artık zaman bölgesinde yapılamaz. Frekans cevabında sistem transfer fonksiyonunda s yerine s=i yazılır ve sistemin frekans transfer fonksiyonu elde edilir. Frekans cevabında; Nyquist ve Bode diyagramlarında K kontrol kazancı olmak üzere, birim geri beslemeli bir kontrol sisteminde KG(i) = -1 ile kritik kazanç bulunur dolayısıyla kapalı sistemin kararlığı açık sistem tarafından belirlenir. Tekstil Mühendisliği-MAK3026 Kontrol Sitemleri

İleri yol Nyquist diyagramı, karmaşık düzlemdeki farklı ω (rad/s) değerleri için KGp(s) in değeri çizilerek elde edilir. K=5 için Nyquist diyagramı, ileri yolun [KGp(s)] cevabını farklı frekanslardaki (ω) harmonik girdiler için karmaşık düzlemde çizilerek elde edilir. KGp(s) in genliği ve faz bilgileri Nyquist diyagramından görülebilir. Kapalı devre transfer sisteminin paydası 1+KGp(s)=0 veya diğer bir deyişle KGp(s) ileri yolunun transfer fonksiyonu -1 ise kapalı kontrol sisteminin kararlılığı için kritik bir durumdur.

Frekans cevabı yöntemleri ile kapalı sistemin kararlığı açık sistem tarafından belirlenirken, aynı zamanda mutlak ve göreli kararlılıkta belirlenir. Mutlak kararlılık kapalı sistemin sadece kararlı olup olmadığını belirler. Göreli kararlılık ise kapalı sistemin kararsız olması için daha ne kadar payı olduğu ölçülerek veya hesaplanarak belirlenir. Göreli kararlılık kazanç payı ve faz payı ile tespit edilir. Nyquist diyagramı kompakt ve tek bir grafiktir ve kazanç ve faz payı aynı grafikten hesaplanır. Nyquist diyagramında frekans eğrisinin (-1,0) noktasına yakınlığı kazanç payı ve faz payı ile ifade edilir. Özetle; kazanç payı kapalı sisteme kararsız olmadan önce eklenecek dB cinsinden kazançtır. Faz payı ise kazanç payının sıfır olduğu durumda sistemin karasız olması için eklenecek derece cinsinden açıdır. Bode diyagramı ise iki grafikten oluşur; Genlik-frekans ve faz-frekans grafikleridir. Açık sistem transfer fonksiyonundan KG(i) frekansın değişimine göre genlik ve frekans grafikleri çizilir. Genlikler logaritmik skaladır dolayısıyla desibel (dB) cinsinden çizilir. Genlik diyagramı lineer skalada açık sistem transfer fonksiyonlarının çarpımı, dB skalasında ise açık sistem transfer fonksiyonlarının toplamı ile ifade edilir.

KGp(s) düzlemi Im Re ω artışı Nyquist eğrisi -1 -0.75 -0.25i KGp(s) düzlemi -1 ω=2.2 rad/s KGp(s)=-0.5334 - 0.0201i ω=2.0 rad/s KGp(s)=-0.7500 - 0.2500i ω=1.8 rad/s KGp(s)=-0.7873 - 0.8427i ω=1.7 rad/s KGp(s)=-0.5098 - 1.1722i -0.5334 -0.0201i -0.8427i -0.78 -1.1722i -0.5098 Nyquist eğrisi ω artışı ω=1.7 rad/s ω=1.8 rad/s ω=2.0 ω=2.2 Nyquist diyagramı, farklı ω frekanslar için KGP(s) i temsil eden vektörlerin ucu bağlanarak çizilir.

KGp(s)=-1 olduğu durumda kapalı kontrol sistemi marjinal kararlı olur. num=[K]; den=[1 4 5 10]; nyquist(num,den) Kapalı sistemin paydası Routh-Hurwitz kriterinden; KGp(s)=-1 olduğu durumda kapalı kontrol sistemi marjinal kararlı olur.

Bode diyagramı Nyquist diyagramı Vektör uzunluğu [KGp(s)]= a Vector uzunluğu [KGp(s)]= 1 Vektör uzunluğu [KGp(s)]= a K  KGp(s)=-a Kc  KGp(s)=-1 Genlik 1, desibel değeri 0 Vektör yatay doğrultuda, faz açısı -180º İlişki, oransal denetleyicinin kritik değerini bulmak için kullanılabilir. [KGp(s)] vektör uzunluğu 1 olduğunda, logaritmik ölçekteki değeri sıfırdır. Φ KGp(s) in fazıdır. Faz açısı -180º olduğunda KGp(s) gerçek eksendedir ve genliği -a olarak gösterilmiştir. Nyquist eğrisi gerçek ekseni -1'de kestiği zaman, kontrol sistemi marjinal stabildir. Genlik Kazancı (gm) Logaritmik skalada genlik kazancı

6a. Bode diyagramı k=1000;ng=1;dg=[1,30,200,0]; sys1=tf(k*ng,dg); bode(sys1)

Nyquist diyagramı Bode diyagramı [gm,pm,w2,w1]=margin(sys1) K=2000: gm=3, pm=32.61, w2=14.14 rad/s, w1=7.49 rad/s

KGp(s) GM PM Kcr=K*gm=5*2=10 clc;clear K=5; num=K*[1]; den=[1 4 5 10]; bode(num,den) [gm,pm,w2,w1]=margin(num,den) gm = 2.0024 pm = 33.2155 w2 = 2.2367 w1 = 1.8830 PM GM ω1 ω2 Matlab, kazanç payını lineer ölçekte gm olarak verir. Kritik kazanç değeri Kcr, gerçek kazanç değeri K ile gm çarpılarak hesaplanabilir. Kcr=K*gm=5*2=10 Kazanç marjı desibel ölçeğinde Bode diyagramından (GM) elde edilir. GM ve gm arasındaki ilişki GM=20log10(gm) gm=10GM/20 Kazanç eğrisi 0'ın altına kesiştiğinde kapalı çevrim sistemi kararlıdır, aksi takdirde kontrol sistemi kararsızdır. Genlik kazancının frekansı Faz Marjının frekansı Faz Marjı (derece) Lineer skalada Genlik Kazancı Sönüm oranı KGp(s)

6b. Bode diyagramı ile kararlılık analizi Kazanç ve faz geçiş noktaları, kazanç ve faz payları Bode diyargramlarında, Nyquist eğrisine göre daha kolay belirlenir. Faz geçiş frekansında, kazanç payı dB cinsinden negatif ise kapalı sistem kararlıdır. Buna göre kazanç payı 0 dB altında ölçülür. Bu eksenin üzerinde ise kazanç pozitiftir ve sistem kararsızdır. Kazanç geçiş frekansında, açık sistemin fazı -180 dereceden büyük ise faz payı pozitiftir ve kapalı sistem kararlıdır. Kararlı sistem için faz payı 0 ile -180 derece arasında ölçülür. Eğer faz payı -180 derecenin altında ölçülür ise kapalı sistem kararsızdır.