Çizge Algoritmaları 3. ders

BAĞLANTILI ÇİZGELER Tanım. Parkur (walk) W: v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn (n0) köşelerin ve kirişlerin birer değişmeli bir dizisidir, burada ei=vi-1vi, i. (W ye v0 -vn parkuru de denir) W nin uzunluğu n dir. İz(trail) kirişleri tekrar etmeyen parkurdur Yol(path) köşeleri tekrar etmeyen parkurdur G u v w x y parkur: x, w, v, x, w iz: x, w, v, x, y yol: x, w, v Ch1-2

Teorem Çizgede her u-v parkurunda u-v yolu vardır Tanım (1) Bir parkur v0, v1, v2, …, vn-1, vn için n3, v0 = vn, ve köşeler v1, v2, …, vn-1, vn farklı ise bu parkur bir döngüdür (n-döngü(cycle)) (2) Bir u-v parkuru için u=v ise bu parkura kapalı parkur denir. (3) Birden çok köşesi olan kapalı ize devre denir Ch1-3

(4) G nin bileşen sayısı k (G) ile gösterilir. Tanım (1) Eğer u,vV(G) için bir u-v yolu varsa u v ile bağlantılıdır denir. (2) Eğer u,v  V(G) için u v ile bağlantılı ise G çizgesi bağlantılıdır denir aksi durumda bağlantısızdır. (3) H çizgesi G nin H da bulunan kirişleri içeren bağlantılı en büyük alt çizgesi ise H çizgesine G nin bileşeni denir. (4) G nin bileşen sayısı k (G) ile gösterilir. Not. “bağlantılıdır” kavramı bir denklik bağıntısıdır. Ch1-4

EKLEM(CUT) KÖŞESİ VE KÖPRÜ Tanım G çizgesinin v köşesi için k(G - v) > k(G) ise bu köşeye eklem köşesi denir v köşesi bağlantılı G çizgesinde eklem köşesi ise G - v bağlantısızdır. Ch1-5

G çizgesinde e kirişi (bridge) köprüdür eğer k(G - e) > k(G) ise. Ch1-6

Örnek G : eklem köşeleri： 　　　　　　　　　　　　 v3, v5 köprü： v5v6 v1 v2 v3 v5 v4 v6 Ch1-7

Not. (1) Eğer v köşesi bağlantılı G çizgesinde eklem köşesi ise k(G - v)  2 (2)Eğer e kirişi bağlantılı G çizgesinde köprü ise k(G - e) =2

Teorem Bir e kirişi bağlantılı G çizgesinde köprüdür ancak ve ancak e kirişi G çizgesinde bir döngü üzerinde değil Ch1-9

Bu durumda C - e：v, w, …, x, u G - e çizgesinde bir u-v yoludur. İspat. () e kirişi G de bir köprü olsun. e =uv olsun ve tersini düşünelim yani e kirişi C：u, v, w, …, x, u döngüsü üzerinde olsun. 　Bu durumda C - e：v, w, …, x, u G - e çizgesinde bir u-v yoludur. İddia: G - e bağlantılıdır. (Önerme doğru ise ) (e köprü değil)

 (İddianın ispatı) C u1, v1  V(G-e)=V(G) ∵G bağlantılıdır ∴G de  u1-v1 yolu var. Bu P yolu G dedir. Eğer e  P, ise P yolu G-e de de geçerlidir.   u1-v1 yolu G-e dedir. Eğer e  P, ise (PC)-e G-e de bir parkurdur yani u1- v1 parkuru var yani G-e de u1-v1 yolu da var Yani G-e bağlantılıdır. v1  u u1 v C P

() Şimdi de e=uv G de bir döngü üzerinde olmasın Bu durumda e nin köprü olduğunu gösterelim. Aksini düşünelim. Köprü olmasın. Bu durumda G-e çizgesinde P: u-v yolu vardır. Ama bu durumda P { uv } döngüsü e yi içerir. .

Tanım Köşe sayısı 2 den büyük veya eşit olan ve eklem köşesi olmayan bağlantılı çizgeye ayrışamayan çizge denir. G çizgesinin ayrışamayan en büyük alt çizgesine blok denir.

örnek G G nin 3 bloku var： <{v1,v2,v3}>, <{v3,v4,v5}>, <{v5,v6}> v1 v2 v3 v4 v5 v6

Not: 1. Blok üretilmiş altçizgedir. 2 Not: 1. Blok üretilmiş altçizgedir. 2. Bloklar kirişler kümesinin bölünmesini sağlar. 3. Farklı 2 blokta en fazla bir ortak köşe vardır. 4. Eğer v V(B1)V(B2), (B1, B2 G de bloklardır ), ise v eklem köşesidir. 5. G ayrışmayan çizge ise G bir bloktur.