1- Değişim Aralığı (Menzil) Bir serideki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark olarak tanımlanır. R= X max –Xmin 2 – Ortalama Sapma Seriyi oluşturan terimlerin her birinin aritmetik ortalamadan farklarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.

Sınıflandırılmış veya gruplandırılmış verilerde k: Sınıf sayısı veya fi : Frekans xi : Sınıf orta değeri N: Örnek küme elemen sayısı

Standart sapmanın karesine denir. 4- Varyans Standart sapmanın karesine denir. Deneysel varyans Teorik varyans için

Herhangi bir A ortalama değerine göre r’inci moment MOMENTLER Frekans dağılımlarının özelliklerini belirleyen ölçütlerin en önemlileri momentlerdir. Herhangi bir A ortalama değerine göre r’inci moment veya fi = frekanslar b) aritmetik ortalamaya göre r’inci moment veya Aritmetik ortalamaya göre momente Merkezsel Moment’ de denir.

OLASILIĞA GİRİŞ , TEMEL KAVRAMLAR İstatistik eksik bilgilerden doğru sonuç çıkarma problemlerinin çözümleri ile uğraşır. Küme : Eşit koşullardaki olayların tümüne verilen addır. Başka bir deyişle nesneler topluluğudur. Ana Küme : Yapılması mümkün bütün gözlemlerle derlenecek sonuçların topluluğuna denir. Örnek Küme (örneklem) : Ana kümenin ulaşabileceğimiz kesimine denir. Eleman : Kümeyi oluşturan olayların her birine denir. Alt Küme : Bir kümenin elemanlarından bazılarının oluşturduğu kümedir. Örnekleme : Örnek küme oluşturma işlemidir. Özellik : Bir olayın bilinmek (vurgulanmak) istenen belirtisidir.

Yapılan örneklemede temel amaç seçilen örnek küme hakkında değil, ana küme hakkında bilgi edinmektir. İstatistik uygulamalarda iki tür sonuç alınmaya gidilebilir. 1. Örnek küme vasıtası ile ana kümenin özellikleri hakkında bir yargıya varılabilir. 2. İki ana kümenin belirli bir özelliğe göre farklı olup olmadığı anlaşılmaya çalışılır. (Örnek: İki farklı sınıfın matematik dersinden aynı veya farklı düzeyde başarı gösterip göstermediğini anlamak) Ana kümeyi oluşturan gözlemlerin tümü elimizde olsaydı istatistik yorumlama gerekmezdi. Ancak tüm gözlem değerlerine ulaşamadığımız ve belli bir örnekten derlediğimiz değerlerle yetinmek zorunda kaldığımız için yorumlarımızda istatistik yöntemlere ihtiyaç duyarız. İşte bu bakımdan istatistik eksik bilgilerden doğru sonuç çıkarma problemlerinin çözümleriyle uğraşır.

Örnek uzayının her alt kümesi bir olaydır. Örnek 1 : Bir zar atma deneyinde Üste gelen sayının çift olması olayı Üste gelen sayının 4’den büyük olması olayı olsun. ile gösterilir. Örnek 2 : Bir paranın iki kez atılması deneyi Hiç tura gelmemesi olayı Hiç yazı gelmemesi olayı Bir yazı gelmesi olayı En az bir yazı gelmesi olayı A ve B gibi bir tek örnek noktası olan olaya basit olay, birden fazla örnek noktası olan olaya birleşik olay denir.

OLAYLARIN TOPLANMASI A ve B olaylarından en az birinin ya da her ikisinin birlikte ortaya çıkması olayına A ve B olaylarının toplamı veya birleşimi denir. Olayların toplamı A+B veya AUB şeklinde gösterilir. Örnek 1 : Kusursuz bir zarın atılması deneyinde Üste gelen sayının en az 4 olması Üste gelen sayının tek olmasıolayları olsun.

Örnek 2 : Bir kurumda çalışanlar arasından kura ile bir kişi seçilecektir. A. Seçilen kişinin evli olması B. Seçilen kişinin bekar olması C. Seçilen kişinin lise mezunu olması D. Seçilen kişinin üniversite mezunu olması olayları ise ; A,B,C ve D olayları cinsinden aşağıdaki olayları belirleyiniz. a) Seçilen kişinin evli ya da üniversite mezunu olması Cevap : A+D olayıdır. b) Seçilen kişinin bekar ya da üniversite mezunu olması Cevap : B+D olayıdır. c) Seçilen kişinin bekar ya da lise mezunu olması Cevap : B+C olayıdır.

Örnek 3 : Bir çift zar atma deneyinde Zarlardan birinin 4 gelmesi Zarların toplamının 11 olması olduğundan A ve B ayrık olaylardır.

olur. ÖZELLİK:

Örnek 1 : Bir tek zar atılma deneyi S = { 1,2,3,4,5,6} Deneyin muhtemel sonuçlarının sayısı : N =6 A={ Gelen sayının 5 olması } Beklenen sonuçların sayısı: NA = 1 A= { 5 }, P(A ) = 1/6 B = { Gelen sayının çift olması } B = { 2,4,6 } , P (B) = 3/6 = 1/2 C = { Gelen sayının 3 ile bölünebilir olması } C = { 3,6 } , P (C) = 2/6 = 1/3 Örnek 2 : Bir paranın atılma olayı S = { y, t } N= 2 P(y) = 1/2 P(t) = ½

Olasılığın göreli tekrar tanımı Buna Frekans tanımı veya Bernouilli tanımı da denir. Bir deneyde n kez deneme yapılır ve bunların nA adedinde A olayı ortaya çıkarsa A olayının olasılığı , Örnek : Düzgün bir parça 1000 kez atılsa bunun 535 inde yazı gelse P(y) = 535 /1000 = 0,535 P ( t ) = 465/1000 = 0,465

Örnek : Bir sınıfta 20 kız , 30 erkek öğrenci vardır Örnek : Bir sınıfta 20 kız , 30 erkek öğrenci vardır.Hem kız, hem de erkek öğrencilerin yarısı bursludur. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek ya da burslu olma olasılığı nedir? A = { Öğrenci erkekdir } , B = { Öğrenci bursludur } P (A) = 30 /50 P (A) = 25/50 AB = { Öğrenci erkek ve bursludur } P (AB) = 15/50 P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 30/50 + 25/50 - 15/50 = 40/50 P(A+B) = 4/5

c ) 4 er harf alınarak yapılan kombinasyon ABCD

Örnek: 4 ü bozuk 12 nesneden 2 si rastgele çekiliyor. a – Çekilen iki nesnenin de bozuk olma olasılığı nedir ? A ={ 2 nesnede bozuk } , P (A) = ? b – Çekilen iki nesnenin de sağlam olma olasılığı nedir ? B = { 2 nesne de sağlam } , P(B) = ? c - En az bir bozuk nesne çekme olasılığı nedir ? C = { En az bir nesne bozuk } , P(C) =? d – Birinin bozuk diğerinin sağlam olma olasılığı nedir ? D = { Biri sağlam , diğeri bozuk }

a) Fransızca veya İngilizce bir öğrenci olması Örnek: Bir sınıftaki 120 öğrenciden 60 ı İngilizce 50 si Fransızca ve 20 si hem İngilizce hem de Fransızca bilmektedir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin a) Fransızca veya İngilizce bir öğrenci olması b) Ne İngilizce ne de Fransızca bilen öğrenci olması olaylarının olasılığını bulunuz. Çözüm A={ İngilizce bilen öğrenciler } P(A) = 60/120 B={ Fransızca bilen öğrenciler } P (B) = 50/120 C= AB ={ Hem İngilizce hem de Fransızca bilen öğrenciler } P(C) = 20/120 D = A+B = { Fransızca veya igilizce bilen öğrenciler } E = =( ) = { ne İngilizce ne de Fransızca bilen öğrenciler }

RASGELE DEĞİŞKEN Rasgele bir örneklemenin sonucunu gerçel sayılarla gösteren bir fonksiyondur. Örnek uzayının elemanter olayları Rastgele değişkenin parametreleridir. Bir rasgele değişkenini değerleri her zaman sayılarla gösterilebilir. Örneğin a) Bir şehirdeki trafik kazalarının aylık sayısı b) Bir açının veya uzunluğun ölçü değerler (cc ve mm incelikli) c) Bir üniversitedeki öğrencilerin boyları Rasgele değişken büyük harflerle (X, Y, Z gibi), örnek uzayındaki olanaklı olayların özellikleri de Xi ile gösterilecektir. Rasgele değişkenin alacağı değerler X1, X2, ... gibi simgelerle gösterilir.

Örneğin: Bir kentteki trafik kazalarının sayısı veya zar atma deneyinde gelen sayılar kesikli (Ayrık ) rasgele değişkene örnektir. Bir kentte yaşayan insanların mm incelikli boyları, açıların cc incelikli değerleri sürekli rasgele değişkene örnektir. Bunların dağılımı da sürekli dağılımlardır.

X rasgele değişkeni olarak tura sayısı alınırsa, X rasgele değişkenin aldığı değerler;

Örnek: 4 ayrı paranın bir kez atılma deneyinde X rasgele değişken üste gelen turaların sayısını göstersin. X’in yoğunluk (olasılık) ve dağılım fonksiyonunu bulunuz.

Örnek Önemli olarak verilmiştir. Olasılık Fonksiyonunu bulunuz.

Örnek2: Sürekli türden X rasgele değişkenini yoğunluk fonksiyonu olarak verilmiştir. X rasgele değişkeninin umut değerini bulunuz. Çözüm:

Örnek: Bir kumarcı hilesiz iki parayı atarak kumar oynamaktadır Örnek: Bir kumarcı hilesiz iki parayı atarak kumar oynamaktadır. Eğer 1 tura gelirse 100 lira, 2 tura gelirse 200 lira kazanacak, hiç tura gelmezse 400 lira kaybedeceksiniz. Bu kumar oyununda kazanma şansınız kaybetme şansınızdan daha az mı ? fazla mı? Çözüm: X: rasgele değişkeni kazanılan veya kaybedilen para sayısı olsun Sonuç: Kazanma ve kaybetme şansı eşittir.

KESİKLİ (AYRIK) DAĞILIMLAR Uygulamada ihtiyaç duyulan olasılıkların kolayca hesaplanabilmesi için deneye ilişkin rastgele değişkenlerin yoğunluk (olasılık) fonksiyonlarından yararlanılır. Burada rastgele değişkenler için bazı özel dağılımlardan söz edilecektir. Bernoulli Dağılımı Çoğu uygulamalarda bir denemenin mümkün olan sonucu Başarılı-Başarısız veya Olumlu-Olumsuz gibi iki grupta toplanır. Bu tür denemelere Bernoulli denemeleri denir. Örneğin ; bir paranın atılması, bir zarın atılması A, örnek uzayında bir olay olsun. A olayının ortaya çıkması veya çıkmaması gibi iki durum söz konusu olsun. A olayının ortaya çıkma olasılığı p, ortaya çıkmama olasılığı q olsun. (p+q=1) X rastgele değişkeni A olayı ortaya çıktığında 1, ortaya çıkmadığında 0 (sıfır) değerlerini aldığı varsayılsın.

BİNOM DAĞILIMI n sayıda birbirinden bağımsız Bernoulli denemesinin yapıldığı deneye Binom deneyi denir. Yani bir Bernoulli denemesi aynı koşullar altında n kez tekrarlanmakta ve her bir deneme diğerinden bağımsız olmakta ve her bir deneme için başarı olasılığı p ve başarısızlık olasılığı q=1-p sabit kalmaktadır. X rastgele değişkeni n bağımsız denemenin başarılı olanlarının toplam sayısı olarak tanımlansın. Bir deneme için başarılı olma olasılığı p ve başarısız olma olasılığı q=1-p ise X rastgele değişkeninin olasılık (yoğunluk) fonksiyonu x = 0,1,2,3,.......,n için olarak verilir.

Çözüm: Kusursuz bir para için X rastgele değişkeni 4 atışta gelen turaların sayısı olsun. X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu; , . 2 kez tura gelme olasılığı

Örnek: Bir kutuda 5’i bozuk 15 parça vardır Örnek: Bir kutuda 5’i bozuk 15 parça vardır. Bu kutudan çekilen yerine konmak koşulu ile 3 parça çekilmiştir. a) Çekilen parçalardan birinin bozuk olma b) Çekilen parçalardan üçünün de (hepsinin) bozuk olma olasılıklarını bulunuz

Örnek: Bir atıcının bir hedefi vurma olasılığı 1/3 dür. Bu atıcının hedefi en az 1 kez vurma olasılığının 0,80 olması için kaç kez atış yapması gerektiğini bulunuz. Çözüm: p =1/3 q = 2/3 n. atışta hedefi en az 1 kez vurma olasılığı; P (X

HİPERGEOMETRİK DAĞILIMI Sonlu bir kitledeki elemanların sayısı N, belli bir A özelliğindeki elemanların sayısı k olsun. Bu kitleden çekilen yerine konmaksızın rastgele çekilen n elemandan A özelliğinde olanların sayısı X rastgele değişken olarak tanımlanırsa; X rastgele değişkenine hipergeometrik rastgele değişken, dağılımına da hipergeometrik dağılım denir. Eğer çekilen yerine konulmak koşuluyla çekim yapılırsa X rastgele değişkeni Binom dağılımına uyar.

Hipergeometrik dağılımın olasılık fonksiyonu; f (x) = P(X=x) = x = 0,1,2,.....,n dir. N : Kitledeki toplam eleman sayısı k : Kitledeki aranılan herhangi bir özellikteki eleman sayısı n : Örnekleme sayısı (çekilen eleman sayısı) x: Örneklemedeki aranılan özellikteki eleman sayısı (Çekilen elemanlardan aranılan özellikte olanların sayısı) Dağılım fonksiyonu; F (x) =

Hipergeometrik dağılımının özellikleri Ortalama : Varyans : Örnek: Bir kutuda 3’ü bozuk 10 nesne vardır. Bu kutudan çekilen yerine konmaksızın ard arda rastgele 4 nesne çekiliyor. Çekilen 4 nesnenin de sağlam Çekilen 4 nesnenin ikisinin bozuk olma olasılıklarını bulunuz.