5 Gamma Dağılımı Gamma dağılımının yoğunluk fonksiyonu şöyledir. Dağılımın parametreleri  ve  olup gamma fonksiyonudur. Dağılım adını bu fonksiyondan almaktadır. Farklı her  ve  değerleri için farklı dağılım şekilleri elde edilmektedir. Mesela  =1 ve  =1,  =2,  =3,  =4 değerleri aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir. Gamma fonksiyonu şöyle ifade edilir. Gamma fonksiyonuna ardı ardına kısmi integrasyon uygulanarak;

Gamma Dağılımı Farklı her  ve  değerleri için farklı dağılım şekilleri elde edilmektedir. Mesela  =1 olurken =1,  =2,  =3,  =4 değerlerini aldığında aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir.

Gamma Dağılımı Gamma dağılımında  ve  nın bazı değerleri için özel dağılımlar elde edilir. =1 için üstel dağılım, Ki-kare dağılımı elde edilir. Gamma dağılımının ortalaması: Dağılımın varyansı : Bu iki değerden hareketle  ve  şöyle bulunur.

Gamma Dağılımı Örnek: Bir işletmede günlük elektrik enerjisi tüketiminin (bin kilovat/ saat cinsinden ) bir gamma dağılımına göre değiştiği kabul edilmektedir. İşletmenin çevirim santralinin günlük kapasitesi 10 bin kilovat/saat olduğuna göre, her hangi bir günde işletmenin elektrik ihtiyacının çevirim santrali kapasitesini aşması olasılığını bulunuz? Çözüm:

Gamma Dağılımı

6. Weibull Dağılımı Özellikle güvenilirlik analizinde kullanılan önemli bir olasılık dağılımıdır. Dağılımım olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları aşağıda verilmiştir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu; Olasılık dağılım fonksiyonu; Fonksiyonda : şekil, : yer parametresidir. =1 olursa Weibull dağılımı üstel dağılıma dönüşür.  büyüdükçe dağılım normal dağılıma yaklaşır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği incelendiğinde alfa parametresi büyük değerler aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma doğru yaklaşmaktadır.

Weibull Dağılımı Örnek: Bir cihazın güvenilirliğinin =3, =100 saat olan Weibull dağılımına uyduğu bilinmektedir. a) Bu cihazın en fazla 70 saat kesintisiz (arızasız) çalışma olasılığını bulunuz. b) 90 saatten fazla çalışması için güvenilirliğini (90 saatten fazla arızasız çalışma olasılığını) bulunuz. Çözüm: Olasılık dağılım fonksiyonu ile çözüm a) b)

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı Deney sayısı sonsuza giderken dağılım simetrik ise (p değeri 0,5 civarında ise) binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Eğer n deney sayısı yeterince büyük ise, dağılım tam olarak simetrik olmasa bile dağılımın çarpıklığı çok belirgin olmayacaktır. Böyle durumlarda kesikli olan Binom değişkeni uygun bir işlemle sürekli bir değişkene dönüştürülür. Böylece n ve p parametreleri ile tanımlanmış olan Binom dağılımı yerine normal dağılım kullanılabilir. Deney sayısı n değerinin yeterince büyük olması ifadesi oldukça muğlak bir ifadedir. Deney sayısının yeterince büyük olup olmadığını tespit için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. Binom değişkeni kesikli olduğu halde normal değişken süreklidir. Bu durumda Binom değişkenini sürekli şekle dönüştürmek gerekir. Kesikli olan Binom değişkeni {0, n} arasındaki tam sayı değerleri alır. Bu tam sayıların arasındaki birer birimlik boşlukların değişkenin değerine yansıtılması gerekir. Bunun için değişkenin değeri (1/2) birim geriden başlayıp (1/2) birim ileriden bitirilir. Böylece kesiklilik hali sürekli hale dönüştürülmüş olur.

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı Örnek olarak aşağıdaki tabloda bazı Binom değişkenlerinin sürekli şekilleri verilmiştir. Örnek:Bir lisedeki öğrencilerin ÖSS sınavını kazanma olasılıkları 0,3 tür. Bu lisede sınava 100 öğrenci katıldığı bilindiğine göre; a) Sınavı 30 öğrencinin kazanma olasılığı ne olur? b) Bu öğrencilerin en az 27 sinin kazanma olasılığı ne olur? c) Öğrencilerin en az 33 en fazla 37 inin kazanma olasılığı ne olur? Kesikli Binom değişkeni Normal yaklaşım (sürekli) P(X=5) P(4,5<X<5,5) P(X≤5) P(X<5,5) P(X>5) P(X>5,5) P(3<X ≤7) P(3,5<X<7,5) P(3 ≤X<7) P(2,5<X<6,5)

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı Çözüm: Dağılımın ortalaması: µ = np = 0,3*100 = 30 Dağılımın varyansı : 2 = npq = 0,3*0,7*100 = 21  =4,58 a) P(X=30) a) Normal yaklaşımla P(29,5<X<30,5) olur. b) P(X≥27) için normal yaklaşımla P(X>26,5) aranır.

Problem Bir elektronik mamul 22 entegre devreden oluşmaktadır. Entegre devrelerin arızalı olma olasılıkları %1 ve birbirinden bağımsızdır. Elektronik parçanın çalışır olması için bütün devrelerinin sağlam olması gerekmektedir. a) Rastgele seçilen 60 entegre devreden en az 2 tanesinin arızalı olma olasılığı nedir? b) Seçilen devrelerden en az 1 tanesinin arızalı olma olasılığı %80 olması için kaç entegre devre seçilmelidir? c) Bu devrelerle imal edilen elektronik mamulün sağlam olma olasılığı nedir? d) Rasgele seçilen 10 mamulden en çok 2 sinin arızalı olma olasılığı nedir. e) Seçilen 7. mamulün ilk arızalı parça olma olasılığı nedir? f) Seçilen 10. mamulün 3. arızalı mamul olma olasılığı nedir? g) Rasgele seçilen 140 mamulden en az 30 tanesinin kusurlu olma olasılığını bulunuz.

Problem Bir hastaneye gelen hastaların dahiliye polikliniğine gitme olasılığı %15 dir. Bu hastaneye gelen 40 hastadan a) Dahiliye polikliniğine giden hastaların ortalama ve varyansı ne olur? b) Hastaneye gelen 40 hastanın 5 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme olasılığı ne olur? c) Bu hastaların en az 3 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme olasılığı ne olur? d) Hastaneye gelen 5. hastanın dahiliye polikliniğine gelen ilk hasta olma olasılığı ne olur? e) Hastaneye gele 40. hastanın dahiliye polikliniğine gelen 4. hasta olma olasılığı ne olur? f) Hastaneye gelen hastaların %15 i dahiliye, %20 si KBB’ye, % 10 u Çocuk ve geri kalanı diğer polikliniklere gittiğine göre, Hastaneye gelen 40 hasta içerisinden seçilen 10 hastadan 2 sinin dahiliye, 3 ünün KBB ye, 1 inin çocuk, geri kalanlarının diğer polikliniklere gitme olasılığı ne olur?