Çizge Teorisi ve Algoritmalari 2. ders

Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? Tanım. H  G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a örten altçizge denir. Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı E(H) = E(G) ∪ {uv, uw} , burada uv, uwE(G). Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? G u v w H v w Hayır  Ch1-2

Örnek G =(p, q) çizge olsun Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır? Not. Kiriş üretilmiş alt çizge cevap. 2q-1 ( X  E(G) X , 2q-1 X ) Ch1-3

Dereceler dizisi Tanım. G=(V, E), V={v1, v2, …, vp} olsun. s: deg(v1), deg(v2), …, deg(vp) dizisine G nin dereceler dizisi denir (Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu durumda s tek olarak belirlenir) G 3 2 1 s: 3, 3, 2, 1, 1, 0 maximum derece : D(G) minimum derece : d(G) Ch1-4

Not Eğer d1, d2, …, dp bir çizgenin dereceler dizisi ise 0  d i  p-1 i. ve çifttir. s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisi ve 0 d i  p-1 i, ve çift ise s in dereceler dizisi olduğunu söyleyemeyiz. örnek. s: 5, 4, 2, 2, 1, 0 ( p-1 ve 0 aynı zamanda olamazlar) Ch1-5

olsun. s in grafikseldir ancak ve ancak t grafikseldir. Tanım. Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun. Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan bir çizge varsa bu diziye grafiksel dizi denir Teorem 2 (Havel-Hakimi) s dizisi: d1, d2, …, dp, burada di N, i. olsun. t dizisi : olsun. s in grafikseldir ancak ve ancak t grafikseldir. Ch1-6

(  ) Eğer s1 : grafikselse   G1 de s1 dereceler dizisidir İspat : (  ) Eğer s1 : grafikselse   G1 de s1 dereceler dizisidir G1 … v2 v3 vd1+1 vd1+2 d2-1 d3-1 vp dd1+1-1 dd1+2 dp d1 köşeler  dd1+1 dd1+2 d2 d3 dp G … v2 v3 vd1+1 vd1+2 vp … v1  s : d1, d2, …, dp grafikseldir Ch1-7

iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) İspat devam (  ) Eğer s : d1, d2, …, dp grafikselse   G çizgesi var yani s dereceler dizisidir G ve deg(vi) = di for 1  i  p, ve maksimumdur iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) v1 G … v2 v3 vd1+1 vd1+2 d2 d3 vp dd1+1 dd1+2 dp d1 i.e., : : Bu iddia doğru ise, bu durumda G-v1 çizgedir dereceler dizisi s1  s1 grafikseldir Ch1-8

İddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) ispat: doğru değilse öyle iki vj ve vk (j < k) köşeleri vardır ki dj > dk yani v1vk  E(G) ama v1vj  E(G). v1 G vj vk vn dj > dk olduğundan  vnV(G) yani vjvn  E(G), vkvn  E(G). G2 = G - {v1vk, vjvn} + {v1vj, vkvn} G2 nin derece dizisi s ama büyük ,  Ch1-9

Algoritma s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisidr s grafiksel midir?: (1) Eğer di=0, i, ise s grafikseldir. Eğer  di<0 bir i için ise s grafiksel değildir. Aksi durumda, (2). Adıma git (2) s i artmayan şekilde sırala (3) s = s1 olsun(s1 Teorem ), (1) e dön Ch1-10

Örnek 1 s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1’: 3, 2, 2, 1, 2 ( 4 ü sil) s1: 3, 2, 2, 2, 1 (sırala) s2: 1, 1, 1, 1 (3 ü sil) s3’: 0, 1, 1 (ilk biri sil 1) s3: 1, 1, 0 (sırala) s4: 0, 0 (ilk1 i sil)  s grafiksledir Ch1-11

Çizge çizimi s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1’: 3, 2, 2, 1, 2 s1: 3, 2, 2, 2, 1 s2: 1, 1, 1, 1 s3’: 0, 1, 1 s3: 1, 1, 0 s4: 0, 0  s grafikseldir G 4 2 3 Ch1-12

Örnek 2 s: 5, 4, 3, 2, 1, 1 s1: 3, 2, 1, 0, 0 (5 i sil) s2: 1, 0, -1, 0 (3 ü sil)  s grafiksel değil Ch1-13