İleri Algoritmalar Ders 3

Bağlantılı çizgeler Tanım. Parkur (walk) W: v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn (n0) köşelerin ve kirişlerin birer değişmeli bir dizisidir, burada ei=vi-1vi, i. (W ye v0 -vn parkuru de denir) W nin uzunluğu n dir. İz(trail) kirişleri tekrar etmeyen parkurdur Yol(path) köşeleri tekrar etmeyen parkurdur G u v w x y parkur: x, w, v, x, w iz: x, w, v, x, y yol: x, w, v Ch1-2

Theorem Çizgede her u-v parkurunda u-v yolu vardır Tanım (1) Bir parkur v0, v1, v2, …, vn-1, vn için n3, v0 = vn, ve köşeler v1, v2, …, vn-1, vn farklı ise bu parkur bir döngüdür (n-döngü(cycle)) (2) Bir u-v parkuru için u=v ise bu parkura kapalı parkur denir. (3) Birden çok köşesi olan kapalı ize devre denir Ch1-3

(4) G nin bileşen sayısı k (G) ile gösterilir. Tanım (1) Eğer u,vV(G) için bir u-v yolu varsa u v ile bağlantılıdır denir. (2) Eğer u,v  V(G) için u v ile bağlantılı ise G çizgesi bağlantılıdır denir aksi durumda bağlantısızdır. (3) H çizgesi G nin H da bulunan kirişleri içeren bağlantılı en büyük alt çizgesi ise H çizgesine G nin bileşeni denir. (4) G nin bileşen sayısı k (G) ile gösterilir. Not. “bağlantılıdır” kavramı bir denklik bağıntısıdır. Ch1-4

Yönlü çizgeler (Digraphs) Tanım: Yönlü çizge(digraph) D, sonlu ve boş olmayan V(D) köşeler kümesi ve bu köşelerin farklı sıralı ikililer kümesi olan E(D) kümesinden oluşmuştur. E(D) nin elemanlarına yay(arcs) denir. Örnek v u x w D : E(D) ={(v,u),(u,w), (v,w),(x,w),(w,x)} Ch1-5

u köşesinin komşusu v dir. v köşesi u nun komşusudur Not: yerine çizilebir x w x w Tanım: u köşesinin komşusu v dir. v köşesi u nun komşusudur (u,v) demek u köşesi v ye bağlıdır u v Ch1-6

dışderece v : od v veya deg+(v) Tanım: dışderece v : od v veya deg+(v) v içderece v : id v, deg -(v) v T Teorem : ※ Çok özelliği basit çizge ile aynıdır ama döngü uzunluğu 2 olabilir. Ch1-7

Tanım: D yönlü çizgesinde yönlerin kaldırılmasıyla oluşan G çizgesine D nin temelinde yatan çizge denir Ch1-8

Tanım: Eğer D de u-v yarıparkuru varsa Tanım: yarıparkur(semiwalk) : D yönlü çizgesinin temelinde yatan G de parkur olan W ye D de yarıparkur denir e1 e2 e3 e4 W: … v0 v1 v2 v3 v4 vn (ei = (vi-1,vi) veya (vi,vi-1) ) Tanım: Eğer D de u-v yarıparkuru varsa D yönlü çizgesinde u ve v bağlantılıdır denir. Ch1-9

Tanım: ① Eğer D de her hangi 2 köşe bağlantılı ise D yönlü çizgesi bağlantılıdır veya zayıf bağlantılıdır denir ② Eğer her hangi 2 farklı u ve v köşeleri için u-v yolu veya v-u yolu varsa D yönlü çizgesi tek yönlü bağlantılıdır denir. Eğer her hangi 2 farklı u ve v köşeleri için u-v yolu ve v-u yolu varsa D yönlü çizgesi kuvvetli bağlantılıdır denir. Ch1-10

Ağırlıklı çizgeler Her kirişi bir sayı ile eşleştirilmiş çizgelerdir yani , ağırlık verilmiştir, genelde ağırlık fonksiyonu w: E  R. 1 2 3 4 5 6 .5 1.2 .2 1.5 .3

Çizge gösterimleri G = (V, E) çizgesinin komşuluk listesi gösterimi V sayıda listenin bir dizisi(array), V deki her köşe için bir tane liste Her Adj[u] listesi u köşesinin bağlı olduğu tüm v köşelerini içerir (rastgele sıralı olarak) Yönlü veya yönsüz çizgeler için kullanılabilir 1 2 5 / 1 2 5 4 3 2 1 5 3 4 / 3 2 4 4 2 5 3 / 5 4 1 2 Yönsüz çizge

Komşuluk listesi gösteriminin özellikleri Tüm komşuluk listelerinin toplamı Yönlü çizgelerde: Her (u, v) kirişi listede sadece bir defa olacağından sayısına Yönsüz çizgelerde: Her uv kirişi listede 2 defa olacağından sayısına eşittir 1 2 3 4 Yönlü çizge 1 2 5 4 3 E  2 E  Yönsüz çizge

Komşuluk listesi gösteriminin özellikleri Hafiza gereksinimi (V + E) Tercih edildiği çizgeler Seyrek çizgelerde: E  << V 2 Eksik yönü u ile v arasında kiriş olup olmadığını hızlı kontrol etmenin bir yolu yoktur u ya komşu tüm köşelerin listesini bulmak için gerekli süre: (degree(u)) (u, v)  E için kontrol süresi: O(degree(u)) 1 2 5 4 3 Yönsüz çizge 1 2 3 4 Yönlü çizge

Çizge gösterimi A matrisi simetriktir: aij = aji A = AT G = (V, E) çizgesinin komşuluk matrisi gösterimi Köşelerin numaraları 1, 2, … V olsun. Komşuluk matrisi A V x V  nın terimleri aij = 1 eğer (i, j)  E 0 aksi durumda 1 2 3 4 5 A matrisi simetriktir: aij = aji A = AT 1 1 1 2 5 4 3 2 1 3 1 4 1 Yönsüz çizge 5 1

Komşuluk matrisi gösteriminin özellikleri Hafiza gereksinimi (V2), G nin kiriş sayısına bağlı değil Ne zaman tercih edilir Çizge yoğunsa, yani E sayısı V 2 sayısına çok yakınsa 2 köşe arasında kiriş olup olmadığını hızlı bulma gereksinimi varsa u ya komşu tüm köşelerin bulunması süresi: (V) (u, v)  E kontrol süresi: (1)

Ağırlıklı çizgeler Ağırlıklı çizgeler = Her kiriş için atanmış w(u, v) ağırlığı vardır w: E  R, ağırlık fonksiyonu Ağırlıkların hafızada tutulması Komşuluk listesinde: w(u,v) sayısı u nun komşuluk listesinde v köşesi ile birlikte tutulur Komşuluk matrisinde: w(u, v) saysı matrisin (u, v) ye karşılık gelen yerinde tutulur