TÜREV ve TÜREV UYGULAMALARI Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşittir.

The tangent line single point of intersection

slope of a secant line f(a) - f(x) a - x f(x) f(a) x a

slope of a (closer) secant line f(a) - f(x) a - x f(x) f(a) x x a

f(x) - f(a) lim x - a x a x  a eğim

benzerlik... f(x+h) - f(x) (x+h) - x = f(x+h) - f(x) h f(a+h) h f(a)

ve... lim f(a+h) - f(a) h 0 h AND lim f(x) - f(a) x a x - a

x2 + 1 x2 – 1 2x2 2x2 + 1 2x2 – 2 f(x) = x2 – 1 f(x) = x2 + 1

a sabit bir reel sayı olmak üzere, tanım kümesi negatif olmayan reel sayılar olan f(x) = xa şeklindeki fonksiyonların türevi,

slope

slope

Çarpma Kuralı

BÖLME Kuralı

Example 1: Not: zincir kuralı.

u=g(x) Örnek:

Türevi olan bir f fonksiyonu için koşulunu sağlayan noktalar ekstremum noktası olmaya aday noktalardır. Böyle noktalara kritik noktalar denir. MAKSİMUM VE MİNİMUM Bir fonksiyonun bir aralıkta türevinin pozitif olması, o fonksiyonun o aralıkta artan olması ile eşdeğerdir. Aynı şekilde; bir fonksiyonun bir aralıkta türevinin negatif olması, o fonksiyonun o aralıkta azalan olması ile eşdeğerdir. Benzer biçimde bir fonksiyonun türevinin bir aralıkta sıfır olması, fonksiyonun o aralıkta sabit olması ile eşdeğerdir. KRİTİK NOKTA Bir fonksiyonun bir noktada türevi sıfır ise o noktaya kritik nokta adı verilir. YEREL EKSTREMUM Bir fonksiyonun kritik bir noktasında, fonksiyonun türevi işaret değiştiriyorsa, bu kritik noktaya yerel ekstremum, bağıl ekstremum veya lokal ekstremum adı verilir. Ayrıca fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın uç noktasında, varsa, değerine de yerel ekstremum denir.

Ekstremum noktaların bulunması: 1 Ekstremum noktaların bulunması: 1.YOL: Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için türevi ve türevin kökleri, yani kritik noktaları bulunur. Daha sonra varsa fonksiyonun türevinin Olmadığı noktalar da belirlenip türevin işareti incelenir. Sürekli fonksiyonun türevinin işaretinin + dan – ye geçtiği nokta yerel maksimum noktası, -den + ya geçtiği nokta yerel minimum noktasıdır. Türevin işaret değiştirmediği nokta ekstremum nokta değildir.

Örnek: fonksiyonunun kritik noktalarını bulalım Örnek: fonksiyonunun kritik noktalarını bulalım. noktaları kritik noktalardır.

Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım.

+ - x f x=-1 yerel maksimum noktasıdır. x=0 ekstremum nokta değildir. -1 0 3 x=-1 yerel maksimum noktasıdır. x=0 ekstremum nokta değildir. x=3 yerel minimum noktasıdır.

Bu noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.

Örnek: Bir malın, x mal miktarı türünden kâr fonksiyonu, bin TL cinsinden dir. Maksimum karın elde edildiği mal miktarını bulunuz.

Bu üründen 1500 tane üretilip satıldığında x 0 1500 3000 + - K 750 Bu üründen 1500 tane üretilip satıldığında maksimum kâr olarak 750 bin TL elde edilir.

Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. olur.

olduğundan y=2 yatay asimptottur. Örnek: Fonksiyonunu göz önüne alalım. olduğundan y=2 yatay asimptottur.

Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulalım Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulalım. Paydayı sıfır yapan değerler; olur. Dolayısıyla x=-1 ve x=2 doğruları düşey asimptottur.

BELİRSİZ HALLER belirsizliği için L’Hospital kuralı: f ve g, (a,b) açık aralığının her noktasında türevlenebilir iki fonksiyon, ayrıca ve (a,b) aralığındaki her x için olsun. Bu durumda olur.

Bu kural olması durumunda uygulanabilir Bu kural olması durumunda uygulanabilir. şeklinde bir belirsizlik oluyorsa bu kural kullanılır. Aksi halde kullanılmaz.

L’Hospital’s

Bu bd Yeniden yazarsak bd L’Hôpital’s :

Örnek: limitini hesaplayalım. Olup belirsizliği vardır Örnek: limitini hesaplayalım. Olup belirsizliği vardır. Kuralı uygularsak: bulunur.

f(x) =y

http://www. matematikcozumlerim. com/index http://www.matematikcozumlerim.com/index.php/12-siniflar/matematik- konu-anlatmlar/940-12.Sinif-Turev-Konu-Anlatimi.html http://www.ohio.edu/people/melkonia/math2301/slides/