İleri Algoritmalar 2. ders

Derece uygulaması Soru: n kişi var (n  2) Bu kişiler arasından hangi iki kişiyi alırsak alalım, bu kişilerin tanıdıkları kişi sayıları bir birinden farklıdır. Bu mümkün mü? ( A B yi tanıyorsa, B de A yı tanıyor) Ch1-2

ispat. deg(x) = 0 ve deg(y) = n-1 olacak biçimde Örnek 1 Mertebesi n  2 olan çizgenin dereceleri bir birine eşit olan en az 2 köşesinin olduğunu gösteriniz. (ipucu. Önceki sayfadaki problem.) ispat. deg(x) = 0 ve deg(y) = n-1 olacak biçimde x ve y köşeleri olmalıdır bu da olamaz Ch1-3

çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun, 14-x köşenin derecesi 5 olur. Örnek 2. G çizgesinin mertebesi 14 ve boyutu 25 tir. Köşelerinin derecesi 3 veya 5 tir. Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır? çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun, 14-x köşenin derecesi 5 olur. |E(G)| =25  dereceler toplamı=50 3x + 5(14-x) = 50  x = 10 Ch1-4

sol. 6a + b = 20 (a, b) = (0, 20) () (1, 14) () (2, 8) () Örnek 3. G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu 10 dur. 6 köşenin derecesi a ve bir köşenin derecesi b dir. b kaçtır? sol. 6a + b = 20 (a, b) = (0, 20) () (1, 14) () (2, 8) () (3, 2) ()  a=3, b=2. Ch1-5

Isomorf(denk) çizgeler u1 v2 v1 u3 u4 u5 v3 v5 v2 v4 u2 G1 ve G2 aynıdır (köşelerin yerlerini değiştirdikten sonra). Ch1-6

Isomorf (denk çizgeler) Tanım. Eğer V(G1) kümesinden V(G2) kümesine öyle bir 1-1 ve örten  fonksiyonu varsa ve uv  E(G1) ancak ve ancak f (u) f (v)  E(G2) koşulu sağlanıyorsa G1 ve G2 çizgeleri izomorfdur denir(G1  G2 ile gösterilir)  fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki sayfada f (vi) = ui her i için Ch1-7

Tanım. Mertebesi 1 olan çizgeye önemsiz çizge denir Örnek 4 Mertebesi 6 ve boyutu 9 olan ve izomorf olmayan 2 tane 3-düzgün çizge bulunuz . Sol. G1 G2 Üçgen var Üçgen yok Ch1-8

Örnek 5 Aşağıdaki G1 ve G2 çizgelerinin izomorf olup olmadıklarını araştırınız. Üçgensiz Üçgen var Cevap: hayır Ch1-9

1.4 Altçizgeler Tanım. Eğer V(H)  V(G) ve E(H)  E(G) ise H çizgesine G çizgesinin altçizgesi denir ( H  G) Örnek G u v w x y H v w x y v w x y F  G  G Ch1-10

Üretilmiş Altçizge Tanım. S  V(G), S   olsun. G nin köşeleri S olan en büyük alt çizgesine s den üretilmiş alt çizge denir( <S> ile gösterilir) G u v w x y v w x y H H G nin üretilmiş altçizgesi değil H ∪{xw} Ch1-11

Köşelerin silinmesi Tanım.S  V(G) olsun. G-S = <V(G)-S> olarak tanımlanır Eğer S={v} ise G-v yazılır. G u v w x y G-S v w S={x,u} ise  u x y Ch1-12

Kiriş üretilmiş alt çizge Tanım. X  E(G), X   olsun. X den üretilmiş alt çizge, G nin kirişleri X olan en küçük alt çizgesidir ( <X> ile gösterilir) G u v w x y <X> u v w Let X={uv,vw}  Ch1-13

Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? Tanım. H  G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a örten altçizge denir. Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı E(H) = E(G) ∪ {uv, uw} , burada uv, uwE(G). Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? G u v w H v w Hayır  Ch1-14

Örnek G =(p, q) çizge olsun Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır? Not. Kiriş üretilmiş alt çizge cevap. 2q-1 ( X  E(G) X , 2q-1 X ) Ch1-15

Düzgün çizge Tanım. G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge denir Örnek Not. mertebesi 5 olan 3-düzgün çizge yoktur (Özellik) 2-düzgün Ch1-16

Tümleyen Tanım. G çizgesinin tümleyeni G çizgesidir eğer V(G) = V(G) ve uv E(G) eğer uv  E(G). u v w x G u v w x G Ch1-17