SAYISAL GÖRÜNTÜ İŞLEME Pikseller Arasındaki Temel İlişkiler

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar Pikseller arasındaki bağlantı; bölgeler, sınırlar gibi çok sayıdaki sayısal görüntü kavramlarını tanımlamayı basitleştiren temel bir kavramdır. İki pikselin bağlantılı olduğunu göstermek için, Komşu pikseller, Aynı gri seviye Örneğin, 0 ve 1 değerlerine sahip binary bir görüntüdeki 2 piksel 4 komşuluğa sahip olabilir. Ama birbirleriyle bağlantılı olduklarının söylenebilmesi için aynı değere sahip olmaları gerekmektedir.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… V grilik kümesi olsun, Binary görüntüde piksellerin bitişikliğini ‘1’ ile gösterdiğimizde V = {1} olur. Gri ölçekli (8 bit) görüntüde de ana fikir yine aynıdır. Fakat V daha fazla elemana sahiptir. Örneğin, gri seviyeli bir görüntüde piksellerin bitişiklikleri 0 - 255 arasında olabilir. Burada V nin alacağı değer bu 256 değerin herhangi bir alt kümesi olabilir. V={12,13,…85,86}

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… 3 farklı bitişiklik vardır: 4 bitişiklik; Eğer q, N4(p) kümesinin elemanı ise, V kümesinden bir değere sahip p ve q pikselleri 4 bitişikliği olan iki pikseldir. 8 bitişiklik; Eğer q, N8(p) kümesinin elemanı ise, V kümesinden bir değere sahip p ve q pikselleri 8 bitişikliği olan iki pikseldir.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… m bitişiklik (karma bitişiklik); V kümesinden bir değere sahip p ve q pikselleri aşağıdaki şartlarda m bitişikliği olan iki pikseldir: q, N4(p) kümesinin elemanı veya q, ND(p) kümesinin elemanı ve N4(p) ∏ N4(q) = Boş küme

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Karma bitişiklik 8 bitişiklik yöntemi kullanıldığında ortaya çıkan belirsizliği kaldırmak için geliştirilmiştir.

(x + 1,y),(x- 1,y),(x,y + 1),(x,y -1) Piksel Komşulukları Bu piksellerin tümü p pikselinin 4 komşuluğu olarak isimlendirilir ve N4(p) olarak gösterilir. (x + 1,y),(x- 1,y),(x,y + 1),(x,y -1) Her piksel (x, y) den birim mesafede uzaktadır. Eğer (x, y) noktası görüntünün sınırında ise p pikselinin bazı komşulukları sayısal görüntünün dışında kalır.

Piksel Komşulukları p nin 4 köşegen komşulukları; (x + 1,y),(x- 1,y),(x,y + 1),(x,y -1),(x + 1,y + 1),(x+ 1,y- 1), (x-1,y + 1),(x- 1,y -1) Bu noktalar 4 lü komşulukları ile birlikte p nin 8 komşuluğu olarak isimlendirilir ve N8(p) ile gösterilir. 4 komşulukta olduğu gibi eğer (x, y) noktası görüntünün sınırında bir nokta ise komşuluklardan bazıları dışarda kalabilir.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… V={1} için;

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Şekil b’nin üstteki iki piksel arasındaki kesikli çizgilerle gösterilen bağlantı 8 bitişiklikte ortaya çıkan belirsizliği gösterir.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Şekil c’de görüldüğü gibi bu belirsizlik m komşuluk kullanılarak ortadan kaldırılır.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… S1 ve S2 iki alt kümesi olsun. Eğer S1 deki bazı pikseller S2 deki bazı piksellere bitişik ise, S1 ve S2 alt kümeleri bitişiktir denebilir. f(x,y) = p ile g(s,t) = q arasındaki yol; (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn) koordinatları boyuncadır Burada; (x0, y0) = (x,y), (xn,yn) = (s,t) 1 ≤ i ≤ n iken (xi, yi) ve (xi-1, yi-1) ise pikseller bitişik (x0, y0) = (xn,yn) olduğunda yol ‘kapalı yol’

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Burada n yolun uzunluğudur. Eğer (x0, y0) = (xn, yn) ise yol kapalı yol olarak tarif edilir. Bitişiklik tipine göre 4,8 veya m yolları tanımlanır. Örneğin, şekil b’de yollar kuzeydoğu güneydoğu noktaları arasında 8 yoldur. Şekil c’de ise m yoldur. m yolda belirsizliğin olmadığı görülmektedir.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Bir görüntüdeki piksellerin alt kümesi S1 ve S2 ile gösterilirse, S1 ve S2 bitişiktir; S1deki bazı pikseller ile S2 bazı pikseller birbirlerine bitişik olduğunda

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Bir görüntüdeki piksellerin alt kümesi S ile gösterilirse, p ve q arasında tamamı S deki piksellerden oluşan bir yol var ise, p ve q S de bağlantılıdır, S deki her p pikseli için, S deki p ile bağlantılı olan piksellerin kümesi S nin bağlantılı elemanı olarak isimlendirilir.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… S sadece bir tane bağlantılı eleman ise Snin kendisi bağlantılı eleman olarak isimlendirilir, Eğer R bağlantılı bir küme ise R görüntünün bir bölgesi olarak isimlendirilir ve R bağlantılı elemandır. Bir R bölgesinin sınırı, R’ye ait olmayan bir veya daha fazla komşuya sahip bölgedeki piksellerin kümesidir. S = R

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Eğer R bütün bir görüntü olur ise, sınırları görüntünün ilk ve son satırlar ve sütunlarındaki piksellerin kümesi olarak tanımlanır. Bir görüntüdeki piksellerin görüntü sınırları dışında komşuları yoktur. Görüntüde bir bölge denildiği zaman görüntünün herhangi bir alt kümesi kast edilir. Bu bölge mutlaka görüntünün sınırları içerisinde yer alır.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Bir görüntünün bölgeleri ve sınırlarını ifade etmek için kenar kavramı kullanılır. Sonlu bir bölgenin sınırı kapalı yol şeklindedir. Bu sebeple sınır kavramı global bir kavramdır. Kenar ise belli bir eşik değerine göre şekillendirilen piksellerdir. Bu kavram sınıra göre daha dar kapsamlıdır.

Komşuluk, Bağlantı, Bölgeler ve Sınırlar… Bundan dolayı kenar kavramı bir noktadaki süreksiz gri seviye ölçüsüne bağlı bölgesel bir kavramdır. Kısaca; kenarlar keskinliğin (koyuluğun) süreksiz olması gibi, Sınırlar ise kapalı yol gibi düşünülebilir.

Mesafe Ölçüsü (x, y), (s, t) ve (v, w) koordinatlarındaki p, q ve z piksellerinin aralarındaki mesafe fonksiyonu yada ölçütü, D(p,q) ≥ 0 {D(p,q) =0 eğer p = q}, D(p,q) =D(q,p) ve D(p,z) ≤ D(p,q) +D(q,z)

Mesafe Ölçüsü p ve q pikselleri arasındaki öklit bağıntısı De(p,q) = [(x-s)2 + (y-t)2]1/2 olarak tanımlanır. Pikseller (x,y) merkezli r yarı çaplı bir diskin içindedir. Ve bazılarının mesafesi r bazılarının mesafesi ise r den küçüktür.

Mesafe Ölçüsü… p ve q arasındaki D4 mesafesi aşağıdaki gibi tanımlanır: D4(p,q) = Ix-sI + Iy-tI Burada pikseller (x,y) merkezli elmas şeklinde olacak. Ve bazılarının (x,y) ye mesafesi r’ye eşit bazılarının mesafesi ise r’den küçük olacak.

Mesafe Ölçüsü… Örneğin, (x,y) noktasından D4 =< 2 mesafesindeki piksellerin şekli aşağıda görüldüğü gibi olur; D4=1 olduğu noktadaki pikseller (x,y)nin 4 komşuluğuna sahiptir.

Mesafe Ölçüsü… p ve q arasındaki D8 mesafesi ise şöyle tanımlanır; D8(p,q) = max(|x - s|,|y - t|) (3) Bu durumda, pikseller (x,y) merkezli bir kare şeklinde olur. Bazıları (x,y) merkezinden r yada r’den küçük D8 mesafesinde olurlar.

Mesafe Ölçüsü… Örneğin, (x,y)den D8 =< 2 mesafesindeki pikseller aşağıda görüldüğü gibi olur; D8=1 mesafeli pikseller (x,y)nin 8 komşuluğuna sahiptir.

Mesafe Ölçüsü… p ve q arasındaki D4 ve D8 mesafeleri noktalar arasında bulunabilecek her hangi bir yoldan bağımsızdır. Eğer m bitişikliği seçersek, iki nokta arasındaki Dm mesafesi iki nokta arasındaki en kısa m yol olarak tanımlanır.

Mesafe Ölçüsü… Bu durumda iki nokta arasındaki mesafe hem komşularının değerine hemde yol üzerindeki piksellerin değerine bağlı olur. Örneğin, piksellerin düzeninin ve değerlerinin p,p2,p4 = 1 ve p1,p3 = 0 veya 1 olduğunu varsayalım;

Mesafe Ölçüsü… 1 değerlikli piksellerin komşuluğunu düşünelim (V = {1}) Eğer p1,p3 = 0 ise, p ve p4 arasındaki en kısa m yol uzunluğu 2 dir.

Mesafe Ölçüsü… 1 değerlikli piksellerin komşuluğunu düşünelim (V = {1}) Eğer p1 =1 ise p2 ve p m bitişiklik kadar uzun olmayacak ve en kısa m yol uzunluğu 3 olur (yol pp1p2p4 şeklinde gidecek). Eğer p3 =1 (ve p1 0) ise yine benzer yorum yapılabilir. Bu durumda yine en kısa m yol uzunluğu 3 dür.

Mesafe Ölçüsü… Son olarak, Eğer p1,p3 =1 ise p ve p4 arasındaki en kısa m yol uzunluğu 4 dür. Bu durumda, yol şu sıralamada olur pp1p2p3p4.

Mesafe Ölçüsü… Koordinatları bilinen iki piksel arasındaki mesafe trigonometri kullanarak hesaplanabilir. Aşağıdaki şekilde a noktası ile b noktası arasındaki mesafeyi bulalım. Bu iki nokta koordinatları (x1,y1) ve (x2,y2) olan ekrandaki herhangi iki piksel olabilir.

Mesafe Ölçüsü… Koordinatları bilinen a ile b noktaları arasındaki mesafe Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. Bunun için koordinatların dikeyde ve yatayda aralarındaki fark alınır; (x2-x1) ve (y2-y1).

Mesafe Ölçüsü… Pisagor teoremine göre, a ile b noktaları arasındaki mesafe d2=(y2-y1)2+(x2-x1)2 olarak bulunur. Burada d iki nokta arasındaki mesafedir. Aşağıdaki gibi koordinatları verilmiş iki nokta arasındaki mesafe şu şekilde hesaplanır: d2 = (76-18)2+(184-44)2 d2 = 582+1402 d2 = 3364+19600 = 22964 d = √(22964) = 151.54 Sonuç olarak bu iki nokta arasındaki yaklaşık mesafe 151.54 olacaktır.

Temel Piksel Görüntü İşleme Bir görüntünün aşağıda olduğu gibi matris formunda ifade edilebileceğini görmüştük.

Temel Piksel Görüntü İşleme Bir görüntünün bir başka görüntüye bölünmesi işleminden bahsedildiğinde kastedilen iki görüntüdeki ilgili pikseller arasında bu bölme işleminin gerçekleştiğidir. f ve g iki görüntü olsun. f’in g’ye bölünmesi ile elde edilen görüntünün ilk elemanı f’in g’ye bölümünün sonucudur. Burada g’nin hiç bir elemanının ‘0’ değerinde olmadığı kabul edilir. Diğer aritmetik veya lojik işlemler de görüntüdeki karşılıklı pikseller arasında aynı şekilde tanımlanır.

Lineer ve Lineer Olmayan İşlemler H giriş ve çıkış görüntülerinde bir operatör olsun. f ve g herhangi iki görüntü ve a ve b her hangi iki işaretsiz sayı için, H operatörünün doğrusal olduğu durum; H(af + bg) = aH(f) + bH(g)

Lineer ve Lineer Olmayan İşlemler Diğer bir deyişle, iki görüntünün toplanması için bir doğrusal operatörün kullanılmasının sonucu operatörün ayrı ayrı bu görüntülere uygulanması işlemi ile aynıdır (doğrusallık özelliği). Uygun sabit sayılarla sonuçlar çoğaltılır ve sonra bu sonuçlar toplanır. Örneğin bir operatör K görüntülerinin toplamını hesaplama işlemi gerçekleştiriyorsa bu operatör doğrusaldır. Ama iki görüntünün farkının mutlak değerini hesaplayan bir operatör doğrusal değildir.

Lineer ve Lineer Olmayan İşlemler H(af + bg) = aH(f) + bH(g) Yukarıda verilen denklemi sağlamayan bir operator doğrusal olmayan olarak tanımlanır. Doğrusal işlemler görüntü işlemede teorik ve pratik sonuçların iyi anlaşılmasında çok önemlidir. Bazen doğrusal olmayan işlemler daha iyi sonuçlar verse de, tahmin edilemez ve teorik olarak bir çok parçaları iyi anlaşılamazdır.