Tüm ikililer arasında en kısa yollar Matris Çarpımı Algoritması Floyd-Warshall Algoritması

Tüm ikililer arasında en kısa yollar Verilen: Yönlü çizge G = (V, E) Ağırlık fonksiyonu w : E → R Hesapla: Çizgenin herhangi 2 köşesi arasındaki en kısa yolu Sonucun ifade edilmesi: en kısa yolları gösteren δ(u, v) sayılarından oluşan bir n × n matrisi 1 2 3 5 4 -4 7 6 -5 8

Motivasyon Bilgisayar ağları Uçak ağları (e.G. Flying time, fares) Demiryolu ağları Her hangi 2 şehir arasındaki en kıs ayol uzunluklarını gösteren tablo

Bilinen algoritmaların yardımıyla çözümler BELLMAN-FORD algoritmasını her köşeyi başlangıç köşe alarak çalıştır: İşlem süresi O(V2E) olur ve eğer çizge yoğun çizge ise E = (V2) olduğundan işlem süresi O(V4) olur Negatif ağırlık yoksa her köşe için Dijkstra algoritması çalıştır: İşlem süresi O(VElgV) olur (ikili yığın veri yapısı ile) ve çizge yoğun ise bunun anlamı O(V3lgV) demek olur Biz bu derste işlem süresi O(V3) olan ve veri yapısından bağımsız algoritma göreceğiz.

Tüm ikililer arasında en kısa yollar G çizgesi ağırlıkların komşuluk matrisi ile verilmiş olsun W = (wij), n x n matris, |V| = n Köşeler 1 den n e numaralı olsun if i = j wij = if i  j , (i, j)  E if i  j , (i, j)  E Çıkış bir n x n matrisi olacak D = (dij), burada dij = δ(i, j) Dinamik programlama kullanılacak 1 2 3 5 4 -4 7 6 -5 8 Ağırlık (i, j) ∞

En kısa yolun optimal altyapısı  11 j En fazla m kiriş En kısa yolun her alt yolu en kısadır p: i ile j arasında en fazla m kiriş kullanan en kısa yol olsun If i = j w(p) = 0 ve p yolunda kiriş yok k En fazla m - 1 kiriş If i  j: p = i k  j p’ yolunda en fazla m-1kiriş var p’ en kıs ayoldur δ(i, j) = p’ δ(i, k) + wkj

Özyinelemeli çözüm lij(m) = i ile j arasında en fazla m kirişi olan en kısa yolun ağırlığı m = 0: lij(0) = if i = j if i  j m  1: lij(m) = i ile j arasında en fazla m kirişi olan en kısa yolun ağırlığı: ya en fazla m – 1 kirişi olan en kısa yolun ağırlığına eşit olur ya da j den önce gelen tüm k lara bakılarak k dan j ye geçen m kirişli en kısa yolun ağırlığına eşit olur i  11 j En fazla m kiriş  k min { , } lij(m-1) min {lik(m-1) + wkj} 1  k  n = min {lik(m-1) + wkj} 1  k  n

En kısa yolun hesaplanması m = 1: lij(1) = İ den j ye en fazla 1 kiriş kullanarak giden en kısa yolun ağırlığı W = (wij) veriliyor, hesapla: L(1), L(2), …, L(n-1), burada L(m) = (lij(m)) L(n-1) matrisinde tüm kısa yolların ağırlıkları olur L(m-1) ve W verildiğinde hesapla L(m) En kısa yolu bir kiriş daha kullanarak genişlet Eğer çizgede negatif döngü yoksa en kısa yolda en fazla n - 1 kiriş olur δ(i, j) = lij(n-1) and lij(n), lij(n+1). . . wij L(1) = W = lij(n-1)

En kısa yolun genişletilmesi lij(m) = min {lik(m-1) + wkj} 1  k  n k j k j i * i = L(m-1) n x n W L(m) Değiştir: min  + +   L(m) matrisinin hesaplanması Matris çarpımı hesaplanmasına benzer

EXTEND(L, W, n) create L’, an n × n matrix for i ← 1 to n do for j ← 1 to n do lij’ ←∞ for k ← 1 to n do lij’ ← min(lij’, lik + wkj) return L’ Running time: (n3)

SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W, n) L(1) ← W for m ← 2 to n - 1 do L(m) ←EXTEND (L(m - 1), W, n) return L(n - 1) Running time: (n4)

Örnek … en son L(4) 3 8  -4 1 7 4 2 -5 6 3 8  -4 1 7 4 2 -5 6 3 8 2 L(m-1) = L(1) W 3 8  -4 1 7 4 2 -5 6 3 8  -4 1 7 4 2 -5 6 3 8 2 -4 3 -4 1 7 L(m) = L(2) … en son L(4) 4 5 11  2 -1 -5 -2 8 1 6 

Örnek  1 6 l14(2) = (0 3 8  -4)  = min (, 4, , , 2) = 2

Matris çarpımı ile benzerliği C = a  b cij = Σk=1n aik  bkj Karşılaştır: D(m) = d(m-1)  C  dij(m) = min1≤k≤n {dik(m-1) + ckj}

İşlem zamanını iyileştirme Tüm L(m) matrislerini hesaplama gereksinimi yoktur Eğer negatif döngü yoksa: L(m) = L(n - 1) tüm m  n – 1 için L(n-1) matrisini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz: L(1) = W L(2) = W2 = W  W L(4) = W4 = W2  W2 L(8) = W8 = W4  W4 …

FASTER-APSP(W, n) L(1) ← W m ← 1 while m < n - 1 do L(2m) ← EXTEND(L(m), L(m), n) m ← 2m return L(m) : L(n - 1) matrsisinden sonra matrisler değişmez İşlem zamanı: (n3lg n)

The Floyd-Warshall Algoritması Giriş: Yönlü ağırlıklı çizge G = (V, E) Negatif ağırlıklar olabilir Negatif döngü olamaz Hesapla: Çizgenin her hangi 2 köşesi arasındaki en kısa yolun ağırlığı 1 2 3 5 4 -4 7 6 -5 8

En kısa yolun altyapısı G deki köşeler V = {1, 2, …, n} p = v1, v2, …, vl bir yol olsun p yolundaki ara köşe {v2, v3, …, vl-1} kümesinin herhangi bir elemanıdır Örneğin: p = 1, 2, 4, 5: {2, 4} p = 2, 4, 5: {4} 5 1 3 4 2 6 0.5 2

En kısa yolun altyapısı Her i, j  V için ara köşeleri {1, 2, …, k} kümesinden olan i den j ye giden tüm yollara bakalım p yolu bu yollar arasında ağırlığı en az olan olsun p1 pu j i pt Ara köşeler arasında k dan büyük numaralı köşe yoktur

Örnek dij(k) = i köşesinden j köşesine olan ve ara köşeleri {1, 2, …, k} kümesinden olan en az ağırlıklı yolun (en kısa yolun) ağırlığı d13(0) = d13(1) = d13(2) = d13(3) = d13(4) = 6 6 1 3 4 2 6 0.5 5 5 4.5

En kısa yolun altyapısı k köşesi p de ara köşe değil i den j ye olan ve ara köşeleri {1, 2, …, k} kümesinden olan en kısa yol, i den j ye olan ve ara köşeleri {1, 2, …, k - 1} kümesinden olan en kısa yolun aynısıdır k köşesi p de ara köşe olsun p1 yolu i den k ya en kısa yol olsun p2 yolu k dan j ye en kısa yol olsun k köşesi p1, p2 yollarında ara köşe değil p1 ve p2 yolları sırasıyla i den k ya ve k dan j ye olan ve ara köşeler {1, 2, …, k - 1} den olan en kısa yollardır k i j i  k j p1 p2

Özyinelemeli Çözüm dij(k) = i den j ye olan ve ara köşeleri {1, 2, …, k} kümesinden olan en kısa yolun ağırlığı k = 0 dij(k) = wij

Özyinelemeli çözüm dij(k) = i den j ye olan ve ara köşeleri {1, 2, …, k} kümesinden olan en kısa yolun ağırlığı k  1 Durum1: k köşesi p en kısa yolu için ara köşe değil dij(k) = k i j dij(k-1)

Özyinelemeli çözüm dij(k) = i den j ye olan ve ara köşeleri {1, 2, …, k} kümesinden olan en kısa yolun ağırlığı k  1 Durum2: k köşesi p en kısa yolu için ara köşedir dij(k) =  k j i dik(k-1) + dkj(k-1)

En kısa yol ağırlığının hesaplanması dij(k) = wij if k = 0 min {dij(k-1) , dik(k-1) + dkj(k-1) } if k  1 Çözüm: D(n) = (dij(n)): dij(n) = (i, j)  i, j  V i j j + (k, j) i (i, k) D(k-1) D(k)

FLOYD-WARSHALL(W) n ← rows[W] D(0) ← W for k ← 1 to n do for i ← 1 to n do for j ← 1 to n do dij(k) ← min (dij(k-1), dik(k-1) + dkj(k-1)) return D(n) İşlem süresi: (n3)

Example dij(k) = min {dij(k-1) , dik(k-1) + dkj(k-1) } 3 8  -4 1 7 4 D(0) = W D(1) 1 2 3 5 4 -4 7 6 -5 8 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 8  -4 1 7 4 2 -5 6 1 3 8  -4 1 7 4 2 6 2 2 3 3 5 -5 -2 4 4 5 5 D(2) 1 2 3 4 5 D(3) D(4) 3 8 -4  1 7 4 2 5 -5 -2 6 4 3 8 4 -4  1 7 5 11 2 -5 -2 6 3 4 -4 1 5 2 -1 -5 -2 6 -1 3 -4 -1 5 11 7 3 -1 8 5 1 COSC3101A

Geçişken kapanma Verilen G çizgesi için, bu çizgenin geçişken kapanması G* : G* nin köşeleri ile G nin köşeleri aynıdır G de u dan v (u  v) ye yol varsa, G* de u dan v ye kiriş var D E B G C A B A D C E G*

Yönlü çizgenin geçişken kapanması Tanım: Yönlü bir G çizgesi için G*= (V, E*) çizgesine geçişken kapanma denir, burada E* = {(i,j): G de i den j ye yol var} Verilen yönlü G = (V, E) çizgesinde her i ve j köşesi için i den j ye yol olup olmadığını bulmak istiyoruz.

Algoritma Devrik kapanma Floyd-Warshall algoritmasının yardımıyla bulunabilir (Eğer ise yol vardır) Floyd-Warshall algoritmasına benzer yolla da bulunabilir: i den j ye ara köşeleri { 1,2,…, k} kümesinde olan yol olup olmadığını gösteren Bool değişkeni olsun. (i,j) kirişinin E* de olması için gerek ve yeter şart = 1 olmasıdır. ={ 0 if i  j ve (i, j)  E 1 if i = j ve (i, j)  E

Transitive-Closure Pseudo Code Transitive-Closure(G) (n3) 1 n  | V(G)| 2 for i 1 to n 3 do for j  1 to n 4 do if i = j or (i,j) E[G] 5 then tij(0)  1 6 else tij(0)  0 7 for k  1 to n 8 for i 1 to n 9 for j  1 to n 10 11 return T(n)