PROBLEM ÇÖZME 08.05.2018

08.05.2018 Problem Nedir? Problem deyince akla, çoğunlukla ilkokul matematik ders kitaplarından elde edilen bir anlayışla, konu sonlarında verilen dört işleme dayalı matematik problemleri gelmektedir.   Problem kavramı burada sözü edilenden daha geniş bir anlama sahiptir ve problemin matematikle ilgili olması şart değildir.

Etkinlik : Problem kavramı Grup : 2-3 kişi İşlemler : 08.05.2018 Etkinlik : Problem kavramı Grup : 2-3 kişi İşlemler : 1. Aşağıdaki üç sorunun okunması. Bir çiftlikte bulunan 40 inekten birincisi 1kg, ikincisi 2kg, ..., kırkıncısı 40kg süt vermektedir. İnekleri 5 kardeş arasında öyle paylaştırınız ki, her kardeşe düşen inek ve süt miktarı aynı olsun. %35 indirimle 65-YTL ye satılan bir malın indirimsiz fiyatı kaç TL dir? 52 sayısının 5 katının 13 eksiği olan sayı kaçtır?

2. Yukarıdaki üç sorudan, hangisinin sonucunu merak ediyorsunuz? 08.05.2018 2. Yukarıdaki üç sorudan, hangisinin sonucunu merak ediyorsunuz? Bu sorulardan yalnız birine PROBLEM demek zorunda kalırsanız, bu hangi soru olur? Bu etkinlikte yer alan sorulardan birincisi gerçek bir problem, ikincisi bir dört işlem problemi, üçüncüsü ise bir problem değil, bir alıştırmadır.

08.05.2018 En genel anlamda problem, kişinin bir şeyler yapmak isteyip de ne yapacağını hemen kestiremediği, bilmediği bir durumdur.   Problem kavramıyla ilgili çeşitli kaynaklarda verilen değişik tanımlar, problemin 3 temel özelliğini ortaya koymaktadır: Problem, karşılaşılan kişi için bir güçlüktür Problem, kişinin çözümüne ihtiyaç duyduğu bir durumdur Kişi, problem olan durumla daha önce hiç karşılaşmamıştır ve çözmek için bir hazırlığı yoktur

08.05.2018 Problem Çözme Problem çözme, ne yapılacağının bilinmediği durumlarda yapılması gerekeni bilmektir. Problem çözme sadece bir doğru sonuç bulma olarak algılanmakla birlikte, daha geniş bir zihinsel süreci ve becerileri kapsayan bir eylemdir. Sonuç bulmanın yanı sıra bir yol bulma, güçlükten kurtulmadır.

08.05.2018 Problem çözme süreci, net olarak tasarlanan fakat hemen ulaşılamayan bir hedefe varmak için kontrollü etkinliklerle araştırma yapmadır.   Çağdaş eğitim, kendi kendine güçlüklerin üstesinden gelebilen insanı yetiştirmeyi hedeflemektedir.

Problemlerin Sınıflandırılması 08.05.2018 Problemlerin Sınıflandırılması Öğretimindeki farklılıklar esas alınarak problemler iki sınıfa ayrılabilirler: Sıradan problemler ve Sıradışı problemler.

Sıradan (Rutin) Problemler 08.05.2018 Sıradan (Rutin) Problemler   Matematik ders kitaplarında yer alan ve dört işlem becerileri ile çözülebilen problemlerdir. “Ali 212 sayfalık bir kitabın 1. gün 30, 2. gün 42 sayfasını okudu. 3. gün kitabın yarısına geldiğine göre, 3. günde kaç sayfa okumuştur?” problemi sıradan bir problemdir.

Sıradışı (Rutin Olmayan) Problemler 08.05.2018 Sıradışı (Rutin Olmayan) Problemler Çözümleri, işlem becerisinin ötesinde, verileri organize etme, sınıflandırma ve ilişkileri görme gibi becerilere sahip olmayı ve bir takım eylemleri arka arkaya yapmayı gerektiren problemlerdir. “Bir adam bir oyundan bir tilki, bir ördek ve bir çuval mısır kazanıyor. Bunlarla bir tekne yardımıyla nehri geçmesi gerekiyor. Ancak tekneye kendisi ile birlikte bunlardan yalnız birini alabiliyor. Hiçbir zayiat olmadan bunları karşıya nasıl geçirebilir?” problemi sıradışı bir problemdir.

Problem Çözmenin Doğası 08.05.2018 Problem Çözmenin Doğası Sıradan ve sıradışı problemlerin çözümleri konusunda en çok kabul gören süreç George POLYA tarafından verilen 4 aşamalı bir süreçtir. Bu sürecin basamakları şöyledir:   1.     problemin anlaşılması 2.     çözümle ilgili stratejinin seçilmesi 3.     seçilen stratejinin uygulanması 4. çözümün değerlendirilmesi.

Etkinlik : Problem çözmenin doğası Grup : 3-4 kişi İşlemler : 1. Gruptaki öğrencilerin aşağıdaki soruları çözmeleri ve sonuçları bildirmeleri. 102 öğrenci 16 kişilik minibüslerle pikniğe gidecekler. Kaç minibüs gerekir? 102m kumaştan her biri 16m eninde perdeler dikilecektir. Kaç perde çıkar? 102gr ilaç 16 şişeye eşit olarak paylaştırılacaktır. Her bir şişeye kaç gr ilaç düşer?

2. Yukarıdaki üç problemin her birinde kullanılan işlem aynı mıdır? 08.05.2018 2. Yukarıdaki üç problemin her birinde kullanılan işlem aynı mıdır? 3. Yukarıdaki üç problemin her birinin cevabı aynı mıdır? Aşağıdaki döngü etkinlikteki soruları açıklamaya yardımcı olabilir.

Matematik Dünyası Matematiksel anlatım Matematiksel Çözüm 08.05.2018 Matematik Dünyası Matematiksel anlatım Matematiksel Çözüm Gerçek hayat problemi Gerçek hayat probleminin çözümü Gerçek Dünya

Bu döngü basit bir problem üzerinde şöyle açıklanabilir: 08.05.2018 Bu döngü basit bir problem üzerinde şöyle açıklanabilir:   Gerçek hayat problemi: Öğrencileri pikniğe götüreceğiz. Nasıl? Matematiksel anlatım : Okulumuzun 102 öğrencisi var ve 16 kişilik minibüsler kiralanacaktır. Kaç araç gerekir? Matematiksel çözüm: 102/16 = 6,375 Gerçek hayat probleminin çözümü: 7 minibüs gerekir.

08.05.2018 Sonuç: Etkinlikte yer alan problemlerin her birinin çözümünde kullanılan işlem aynı, fakat her birinin cevabı farklıdır. 1. cevap 7 minibüs 2. cevap 6 perde 3. cevap 6,375 gr ilaç

Problem Çözme Öğretimi 08.05.2018 Problem Çözme Öğretimi Bütün problemlerin çözümünde kullanılan belirli bir yol ya da yöntem yoktur. Problem çözmenin kuralları yoktur, ancak sistematiği vardır. Öğretmenin temel görevi, öğrenciye problem çözmeyle ilgili sistematiği kavratmak ve bu sistematiği kullanırken başvurulacak stratejileri, problem çözmeyle ilgili temel becerileri kazandırmaktır.

Problem çözümünde kullanılan başlıca stratejiler 08.05.2018 1. sistematik liste yapma 2. tahmin ve kontrol 3. diyagram çizme 4. bağıntı bulma 5. eşitlik yazma 6. benzer problemlerin çözümünden yararlanma 7. geriye doğru çalışma 8. elemine etme 9. tablo yapma 10. muhakeme etme.

Dört İşlem Problemlerinin Çözümünün Öğretimi 08.05.2018 Dört İşlem Problemlerinin Çözümünün Öğretimi Bazı matematik ders kitapları hatalı bir tutumla sadece tek doğru cevabı olan problemlere yer verirler. Kitap hazırlarken veya ders hazırlığı yaparken tek doğru cevabı olan soruların yanı sıra aşağıdaki tür sorulara da yer vermek gerekir: çözümsüz (çözümü olmayan) birden çok çözümü olan eksik ya da fazla bilgi içeren bir formülün uygulanmasını gerektiren

sayısal veri içermeyen şekil ya da çizim yapmayı gerektiren 08.05.2018 sayısal veri içermeyen şekil ya da çizim yapmayı gerektiren gerçek hayatın bir uygulamasını konu edinen veri toplamayı gerektiren değişik zamanlarda çalışmak suretiyle tamamlanabilen tablo ve grafiklerin yorumunu gerektiren problemler.

Etkinlik : Problem türleri Grup : 3-4 kişi İşlemler : 08.05.2018 Etkinlik : Problem türleri Grup : 3-4 kişi İşlemler : Aşağıdaki soruların okunması ve yukarıdaki problem türlerinden hangisine girdiğinin belirlenmesi.

1000-TL bankaya yatırılırsa 6 ayda ne kadar faiz getirir? 08.05.2018 Kenarları tamsayı olan ve çevresi 20cm olan dikdörtgenin kenar ölçülerini bulunuz. 40 katırı her birine tek sayıda katır bağlamak koşuluyla 7 kazığa nasıl bağlarsınız? 1000-TL bankaya yatırılırsa 6 ayda ne kadar faiz getirir? 4 kişilik bir ailenin ortalama aylık masrafı ne kadardır?

problemde verilen ve istenenleri söyleme ve yazma 08.05.2018 İlköğretim Matematik Programı, çocukların iyi bir problem çözücü olması için, problem çözerken aşağıdaki adımlara uymasının uygun olacağını ve bu davranışlardaki eksikliklerin giderilmesi gerektiğini belirtmiştir. Bu adımlar,   problemde verilen ve istenenleri söyleme ve yazma problemi özet olarak yazma probleme uygun şema ya da şekil çizme problemin çözümünde başvurulacak işlemleri sebepleriyle birlikte sırasıyla söyleme ve yazma

işlem sonuçlarını ve problemin sonucunu tahmin edip, söyleme ve yazma 08.05.2018 işlem sonuçlarını ve problemin sonucunu tahmin edip, söyleme ve yazma işlemleri yapma, sonucu söyleme ve yazma problemin çözümünde yanlış yapılıp yapılmadığı, yapıldıysa yanlışı belirterek söyleme ve yazma problemin çözümünü (varsa) değişik yoldan yaparak sonucu söyleme ve yazma öğrenilen bilgileri kullanabilecek şekilde bir problem söyleme ve yazma.

08.05.2018 Örnekler: Dört işlem problemlerinin çözümlerini ilgilendiren temel becerilerle ilgili örnekler verelim.

1. Verilenleri ve İsteneni Yazma 08.05.2018 1.     Verilenleri ve İsteneni Yazma Bir satıcı, tanesini 20 Kr’dan aldığı 115 yumurtadan 12 tanesini kırdı. Kalanların tanesini 25 Kr’dan sattı. Bu satıştan kar mı, zarar mı etmiştir? Kar ya da zarar ne kadardır?   Verilenler İstenen Alınan yumurta : 115 tane Kar ya da zarar kaç liradır? Alış fiyatı : 20 Kr Kırılan yumurta : 12 tane Satış fiyatı : 25 Kr

2. Problemi Kendi Cümleleriyle İfade Etme 08.05.2018 2.     Problemi Kendi Cümleleriyle İfade Etme   Tanesi 20 Kr’dan 30 yumurta, tanesi 1 TL’den 6 kalem ve tanesi 50 Kr’dan 4 tane limon aldım. Satıcıya 20 TL verdim. Geriye kaç TL alacağım? Yumurta alımı Kalem alımı Limon alımı Verilen para Para üstü 20 Kr 1 TL 50 Kr 20 TL ? 30 tane 6 tane 4 tane

3. Probleme Uygun Şema ve Şekil Çizme 08.05.2018 3.     Probleme Uygun Şema ve Şekil Çizme 2 yumurta ve 2 ekmeğe 1.20 TL verdim. Bir yumurta 20 Kr olduğuna göre, bir ekmek kaç liradır? 3 misketten birini kaybettik. Geriye kaç misketimiz kaldı?

08.05.2018 Gizem ’in parası Can ‘ın parasının 3 katı, Onur ‘un parası Gizem ‘in parasının 2 katından 5 lira fazladır. Üçünün toplam parası 85 lira olduğuna göre, her birinin parası kaç liradır? Onur # # # # # # + 5 Gizem # # # Can #

4. Matematik Cümlenin Yazılması 08.05.2018 Ali‘ nin renkli kalemleri vardı. 5 tane de ben verdim, böylece 11 tane renkli kalemi oldu. Acaba başlangıçta Ali’ nin kaç renkli kalemi vardı? Adımlar Cümle Matematik anlatım I Ali’ nin kalemleri var # II 5 kalem de ben verdim # + 5 III 11 kalemi oldu # + 5 = 11 # = 6 kalem.

5. Sonuçların Tahmin Edilmesi 08.05.2018 5.     Sonuçların Tahmin Edilmesi   3mm kalınlığında bir pencere camının metrekaresi 5 TL’dir. 48cm x 95cm boyutlarında bir cam kaç lira tutar? Pencere camı fiyatının en kestirme tahmini, 48’i 50 ve 95’i de 100 almak suretiyle, satın alınan camın yaklaşık 0,5 metrekare dolayısıyla fiyatının da 2.50 TL civarında olacağına karar vermektir.

6. Problemin Çözümünün Değerlendirilmesi 08.05.2018 6.     Problemin Çözümünün Değerlendirilmesi Bu safhanın önemli çalışmalarından biri, çözümün analizi ve genellenmesidir. Çözülen problemin benzerlerinin ve veri değişikliği yapılanların nasıl çözüleceği öğrencilerle tartışılmalıdır.

1 günlük iş bedeli = 214.50 : 11 = 19.50-TL 08.05.2018 Aynı işte Ali 7 gün, Ahmet 4 gün çalışarak birlikte 214.50 TL kazanmışlar. Her birinin payı kaç liradır? Ali : # # # # # # # Ahmet : # # # # 214.50-YTL 1 günlük iş bedeli = 214.50 : 11 = 19.50-TL Ali’ nin payı = 19.50 x 7 = 136.50-TL Ahmet’ in payı = 19.50 x 4 = 78-TL

verilen matematik ifadeye uygun problem söyleme: 08.05.2018 Problemin çözümünün değerlendirilmesi çalışmalarından bir diğeri problem kurma çalışmalarıdır. Problem kurma etkinliklerinin başlıcaları şunlardır: verilen matematik ifadeye uygun problem söyleme: (# + 3) x 4 = 16 ifadesine uygun olarak; Hangi sayının 3 fazlasının 4 katı 16 eder? Probleminin söylenmesi gibi.

şemaya uygun problem söyleme: 08.05.2018 şemaya uygun problem söyleme: Yukarıdaki şemaya uygun olarak; 3 tabaktan birisi kırıldı, geriye kaç tane sağlam tabak kaldı? probleminin söylenmesi gibi.

cevabı zihinde tutarak sayı ilişkilerine dayanan problem söylenmesi: 08.05.2018 cevabı zihinde tutarak sayı ilişkilerine dayanan problem söylenmesi: Bir öğrencinin, aklında 7 yi tutarak arkadaşına Hangi sayının 5 katının 3 eksiği 32 eder? problemini söylemesi gibi.

7. Problemi Tanımlama ve Sınırlama Çalışmaları 08.05.2018 7.     Problemi Tanımlama ve Sınırlama Çalışmaları  Problem çözmede problemi kendine sorabilmek çok önemlidir. Problemi sormak onu yarı yarıya çözmek demektir. Bu amaçla ilköğretimde, Bir eşkenar dörtgenin alanını bulmak için nelerin verilmesi yeterlidir? Bir üçgenin çizilmesi için nelerin verilmesi gerekir? Veri fazlası bulunan bir problemde fazla veriler hangileridir? Eksik veriyle sunulan bir problemde daha neyin verilmesi gerekir? türünden çalışmalara yer verilmelidir.

Sıradışı (Rutin Olmayan) Problemlerin Çözümleri 08.05.2018 Sıradışı (Rutin Olmayan) Problemlerin Çözümleri   Sıradışı problemlerin çözümünde kullanılan bazı temel stratejiler ve örnekleri şöyledir:

1. Sistematik liste yapma 08.05.2018 1.     Sistematik liste yapma   Üzerinde 1, 5 ve 10 sayıları bulunan bir dart tahtasına arka arkaya 3 atış yapan bir kimse kaç değişik puan almış olabilir?

I. Atış II. Atış III. Atış Toplam puan 10 10 10 30 5 5 5 15 1 1 1 3 08.05.2018 I. Atış II. Atış III. Atış Toplam puan 10 10 10 30 5 5 5 15 1 1 1 3 10 10 5 25 10 10 1 21 10 5 1 16 5 5 1 11 5 5 10 20 1 1 5 7 1 1 10 12

2. Tahmin ve Kontrol Stratejisi 08.05.2018 2.     Tahmin ve Kontrol Stratejisi   Bir öğrenci 1 ve 2 puanlık sorulardan oluşan bir sınavda 56 soruya doğru cevap vermiş ve 78 puan almıştır. Bu öğrenci kaç tane 1 puanlık soruya doğru cevap vermiştir?   1 puanlık soru sayısı 2 puanlık soru sayısı Toplam puan 40 16 72 30 26 82 35 21 77 34 22 78

08.05.2018 3.     Diyagram Çizme 20 kişinin katıldığı bir toplantıda herkes birbiri ile el sıkışıyor. Kaç el sıkışması olur?

A B A B A B C C D

Kişi sayısı El sıkışma sayısı 2 1, 1 = 0 + 1 3 3, 3 = 1 + 2 1                                        0 2                                        1, 1 = 0 + 1 3                                        3, 3 = 1 + 2 4                                        6, 6 = 1 + 2 + 3 . 20 1 + 2 + 3 + ... + 19 = 190

4. Bağıntı Bulma Birden 150 ye kadar tek sayıların toplamı kaçtır? 08.05.2018 4.     Bağıntı Bulma Birden 150 ye kadar tek sayıların toplamı kaçtır?   1+ 3 = 4 = 22 1+ 3 + 5 = 9 = 32 1+ 3 + 5 + 7 = 16 = 42 . 1 + 3 + 5 + ... + 149 = 752 = 5625

08.05.2018 5.     Değişken Kullanma   Bir bisikletli bir yolu 16km/saat hızla gidiyor ve aynı yolu 20km/saat hızla dönüyor. Dönüş süresi 4 saat olduğuna göre, bisikletli gidiş için kaç saat harcamıştır? Giderken alınan yol = 16 x T Dönüşte alınan yol = 20 x 4 16 x T = 20 x 4 eşitliğinden, T = 5 saat bulunur.

6. Geriye Doğru Çalışma Hangi sayının 3 katının 19 fazlası 100 eder? 08.05.2018 6.     Geriye Doğru Çalışma Hangi sayının 3 katının 19 fazlası 100 eder?   100 – 19 = 81 ve 81 : 3 = 27 bulunur.

08.05.2018 7.     Muhakeme Etme  Bir tepside bulunan hepsi aynı görünümlü olan 9 pingpong topundan 8 inin ağırlıkları aynı birinin ağırlığı diğerlerinden 1gr daha fazladır. Kütlesi fazla olan topu en az kaç tartıda bulabilirsiniz?

08.05.2018 Padişah bir gün ülkedeki 10 kuyumcuyu çağırtıp onlara 1kg lık 10 ar tane altın külçe yaptırmış. Kuyumculardan birisi 1kg yerine 900gr lık 10 tane külçe getirmiş. Acaba padişah kuyumcuların getirdiği külçeleri sadece bir kez tartarak hangi kuyumcunun hile yaptığını bulabilir mi?

Şeker satıcısına içi görünmeyen üç kutu gelir Şeker satıcısına içi görünmeyen üç kutu gelir. Bir kutuda naneli, bir kutuda limonlu ve sonuncu kutuda da naneli ve limonlu şekerler vardır. Kutuların üzerinde NANE, LİMON ve KARIŞIK yazan etiketler vardır. Satıcıya tüm kutuların üzerindeki etiketlerin yanlış olduğu söylenir. Acaba bu durumda satıcı kutuların içinde ne olduğunu bulmak için en az kaç şeker almalıdır?