İşletme Ve Ekonomi İçin İstatistik Olasılık Bölüm 3

Beyin Fırtınası Madeni Para İle Yazı Tura Attığımızda Yazı Gelme Olasılığı Nedir? Eğer Denersek Gelmeyebilir ama Diğer Seçenek ise Mutlaka Doğrudur. Parayı Tekrar Atalım.Yazı mı, Tura mı,Gelecek?Burada ki Anlam Nedir?

Yapılan Birçok Deneme! Toplam Tura Kısmı / Yapılan Yazı-Tura Denemesi 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 25 50 75 100 125 Yapılan Yazı-Tura Denemesi

Deneme, Sonuç & Olay

Deneyler Ve Sonuçlar 1. Deney 2. Örnek 3. Örnek Kütle (S) Gözlem Yapma İşlemi, Sonuç Veya Basit Bir Olaydır 2. Örnek Deneyin En Temel Sonuçlarıdır 3. Örnek Kütle (S) Olabilecek Bütün Sonuçların Toplamıdır Örnek Kütle Deneysel Olmalıdır

Sonuç Örnekleri Deney Örnek Uzay Yazı-Tura atılır Tura,Yazı 2 Para Yazı-Tura atılır TT, YZ, TY, YY Kart Seçildiğinde, 2, 2, ..., A (52) Kart Seçildiğinde Kırmızı, Siyah Futbol Oynanınca Kazanır,Kaybeder,Eşit Kaliteye Bakılınca Bozuk, Tamam Cinsiyete Bakılınca Erkek,Bayan

Sonuç Özellikleri 1. 2. Erkek Veya Bayan Deney: Cinsiyet Gözlemi İki sonuç aynı anda gerçekleşemez Bir İnsan Hem Erkek Hem Bayan olamaz 2. Örnek kütlenin en az bir sonucu olmalı Erkek Veya Bayan © 1984-1994 T/Maker Co.

Olay Örnek Noktaların Bazılarının Toplamı 2. Basit Olay Sonucun tek bir özelliği vardır. Sonuçların Ve Basit Olayların Toplanması 2 Veya Daha Fazla Özellik Ortak Olay 3. Bileşik Olay 2 Olay Eş zamanlı Olabilir

Örnek Olay Bir deneyde: İki defa para atılırsa …sonuçlar. Olay Olayın Sonucu Örnek Kütle TT, TY, YT, YY 1 Tura & 1 Yazı HT, TH İlki Tura TT, TY Sonuncu Tura TT, TY, YT İki Yüzde Yazı TT Typically, the last event (Heads on Both) is called a simple event. Berenson & Levine do not follow this.

Örnek Kütle

Örnek Kütlenin Gösterimi 1. Listelenmesi S = {Yazı, Tura} 2. Venn Şeması 3. Olasılık Tablosu 4. Ağaç Şemasının Yorumlanması

S Venn Şeması Yazı Deney: 2 kere Yazı Tura Atalım. YT TY TT TT Bileşik Durum YT Other compound events could be formed: Tail on the second toss {HT, TT} At least 1 Head {HH, HT, TH} TY Sonuç TT TT S S = {TT, TY, YT, YY} Örnek Kütle

Olasılık Tablosu Deney: 2 Kere Parayı Atalım. 2 Para Toplam 1 Para nd 2 Para Toplam Sonuç: (Her zaman Gösterilen toplam %’lik hesaplanır) st 1 Para Tura Yazı Basit Olay (İlkinde Tura) To be consistent with the Berenson & Levine text, a simple event is shown. Typically, this is not considered an event since it is not an outcome of the experiment. Tura TT YT TT, TY Yazı YT YY YT, YY Toplam TT, YT TY, YY S S = {TT, TY, YT, YY} Örnek Kütle

Ağaç Şeması T TT T Y TY T YT Y Y YY Deney: 2 Adet Parayı Atın ve Sonucu Kaydedin. T TT T Y TY Sonuç T YT Y Y YY S = {TT, TY, YT, YY} Örnek Kütle

Olayların Birlikte Gerçekleşmesi

Olayların Birlikte Gerçekleşme Şekli 1. Kesişim Sonuçlar Aynı Olaylarda ise A Ve B ‘VE’ İfadesi  Sembol’ü (i.e., A  B) 2. Beraber Sonuçlar Ayrı Olaylarda ise A Veya B Veya Her ikiside ‘Veya’ İfadesi  Sembol’ü (i.e., A  B)

Kesişim Olayı: Venn Şeması Deney: Bir Kart Çekin. Rengini Ve Şeklini Kaydedin Siyah Olay Siyah: 2B, ..., AB Örnek Kütle: 2R, 2R, 2B, ..., AB As S As olayı: AR, AR, AB, AB Ortak Olay (AS  Siyah): AB, AB

Kesişim Olayı: Olasılık Tablosu Deney: Bir Kart Çekin. Rengini Ve Şeklini Kaydedin Renk Basit As Olayı: AR, AR, AB, AB Örnek Kütle (S): 2R, 2R, 2B, ..., AB Çeşit Siyah Toplam Kırmızı As AS ve Kırmızı As ve Siyah Ace As olmayan Kırmızı ve olmayan Siyah ve olmayan As ve olmayan As olayı ile siyahı bağlayın Siyah: AB, AB Toplam Kırmızı Siyah S Basit Siyah Olayı: 2B, ..., AB

Olayların Bağlanması : Venn Şeması Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin. Siyah Olay: Siyah 2B, 2B,..., AB Örnek kütle: 2R, 2R, 2B, ..., AB As S Olay AS: AR, AR, AB, AB Sonuç (As  Siyah): AR, ..., AB, 2B, ..., KB

Olayların Bağlanması : Olasılık Tablosu Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin. Renk Basit olay As: AR, AR, AB, AB Çeşit Örnek Kütle (S): 2R, 2R, 2B, ..., AB Kırmızı Siyah Toplam As As & As & As Kırmızı ve olmayan Kırmızı Siyah Hiçbiri & As ve as olmayan As olmayan Bağlanmış Olay AS veya Siyah AR, ..., AB,2B, ..., KB Siyah Toplam Kırmızı Siyah S Basit olay Siyah: 2B, ..., AB

 Özel Durumlar 1. Boş Küme 2. Olayın Tümleyeni Bir Kart Çekilmesinde Sinek veya Karo 2. Olayın Tümleyeni A olayı için, Bütün Olaylar A olayının içinde değildir A: A’ 3. Birbirini Dışlayan Olaylar Olaylar Eşzamanlı Oluşmaz Boş olayı 

Olayın Tümleyeni Örneği Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin. Siyah Örnek Kütle: 2R, 2R, 2B, ..., AB S Siyah Olayı: 2B, 2B, ..., AB Siyah Olayının Tümleyeni : 2R, 2R, ..., AR, AR

Birbirini Dışlayan Olaylara Örnek Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin.  Kalp Olayının Sonucu : 2, 3, 4, ..., A Örnek Kütle: 2, 2, 2, ..., A Mutually Exclusive What is the intersection of mutually exclusive events? The null set.  S Maça Olayı: 2, 3, 4, ..., A Olaylar  & Birbirini Dışlayan

Olasılık

Olasılık Nedir? 1 1. Olabilirliğin Sayısal Ölçümünde P(Olay) P(A) Olasılık(A) 2. 0 & 1 Arası Geçersizdir. 3. Olayların Toplamı 1’dir Kesin .5 İmkansız

Olaylara Olasılık Atamak 1. (Deneyden Önce) Önsel Klasik Yöntem 2. Deneysel Klasik Yöntem 3. Öznel Yöntem Olasılık nedir?

Önsel Klasik Yöntem 1. Yöntem Öncesi Bilgi 2. Deneyden Önce 3. P(Olay) = X / T X = Olay Sonuçlarının Sayısı T = Örnek Kütleden Çıkan Toplam Sonuç Her bir T Sonucu Eşit Olasılıktadır P(Sonuç) = 1/T © 1984-1994 T/Maker Co.

Deneysel Klasik Yöntem 1. Doğru Datalar Toplandı 2. Deneyden Sonra 3. P(Olay) = X / T Deney T Kere Tekrarlanır Olay X Kere Gözlemlenir 4. Böylece Göreceli Frekans Yöntemi Olarak Adlandırılır 100 Parça İncelendi,Sadece Tanesi Hatalı

Öznel Yöntem 1. Bireylerin Bilgisinin Durumu 2. Deneyden Önce 3. 1 Kere Yapılır Tekrar Edilemez Kişilere Göre Değişik Olasılıklar Vardır Örnek…. at yarışı - borsa endeksi © 1984-1994 T/Maker Co.

Birlikte Gerçekleşen Olayın Olasılığı; 1. Olasılığın Sayısal Ölçümün de Bileşik Olay oluşacaktır. 2. Olasılık Tablosu Sıkça Kullanılır Sadece 2 Değişken için 3. Formül Metotları Toplama-Toplama Kuralı Şartlı-Şartlı Olasılık Kuralı Çarpım-Çarpma Kuralı

Örnek Kütleler Bütün Sonuçların İhtimallerinin Toplamı Ör. Zarın 6 Tane yüzü: Ör. Briç Destesi’nin 52 kağıdı:

Olaylar Tek Olay: Örnek Kütlenin Sonucunun Kendi özgü bir özelliği vardır Örnek. Kart Destesindeki Kırmızı Kart. Ortak Veya Bileşik Olay: Eşzamanlı 2 Sonucu İçerir Örn. Kart Destesindeki As Aynı Zamanda Kırmızı Karttır . AS aynı zamanda Kırmız Karttır

Olayların Canlandırılması Olasılık Tablosu Ağaç Gösterimi As As olmayan Toplam Siyah 2 24 26 Kırmızı 2 24 26 Toplam 4 48 52

Basit Olaylar Mutlu Yüzlerin Olayı 18 Tane işaretten 5 Tanesi Mutlu Yüz

Mutlu Yüzlerin Olayı ve Açık Renkler Ortak Olaylar Mutlu Yüzlerin Olayı ve Açık Renkler 3 yüz Açık Renklidir

Bileşik Olaylar Mutlu Yüzlerin Olayı Veya Açık Renklilerin 12 öğe, 5 Mutlu Yüz Ve 7 Farklı Renkli öğe

Bağımlı Ve Bağımsız Olaylar Verilen Mutlu Yüzler Açık Renklidir E = Mutlu Yüz ç Acık Renk 3 Öğe, Verilen 3 Mutlu Yüz Açık Renklidir

Olasılık Tablosu 52 Kart Destesi Kırmızı As AS Toplam Kırmızı 2 24 26 As olmayan AS Toplam Kırmızı 2 24 26 Siyah 2 24 26 Toplam 4 48 52 Örnek Kütle

Ağaç Gösterim Olay İhtimalleri As Kırmızı kartlar As olmayan As Siyah Dolu Kart Destesi As Siyah Kartlar As olmayan

Olasılık Tablosu Kullanarak Olayların Olasılıkları Toplam 1 2 A P(A  B ) P(A  B ) P(A ) 1 1 1 1 2 1 A P(A  B ) P(A  B ) P(A ) 2 2 1 2 2 2 Toplam P(B ) P(B ) 1 1 2 Bileşik Olasılık Marjinal (Basit) Olasılık

Olasılık Tablosu Örneği Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin. Renk Çeşit Kırmızı Siyah Toplam As 2/52 2/52 4/52 As olmyn. 24/52 24/52 48/52 P(As) Toplam 26/52 26/52 52/52 P(As VE Kırmızı) P(Kırmızı)

Beyin Fırtınası Olasılık Nedir? P(A) = P(D) = P(C  B) = P(A  D) = P(B  D) = Olay Olay C D Toplam Let students solve first. Allow about 20 minutes for this. A 4 2 6 B 1 3 4 Toplam 5 5 10

Çözüm* Olasılıklar: P(A) = 6/10 P(D) = 5/10 P(C  B) = 1/10 P(A  D) = 9/10 P(B  D) = 3/10 Olay Olay C D Toplam A 4 2 6 B 1 3 4 Toplam 5 5 10

Toplama Kuralı

Toplama Kuralı 1. Bağdaşır Olaylar İçin Olasılıkların Bileşenleri Kullanılır 2. P(A Veya B)= P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 3. Bağdaşmayan Olaylar İçin: P(A Veya B)= P(A  B) = P(A) + P(B)

Toplama Kuralı Örnek Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin. Renk Çeşit Kırmızı Siyah Toplam Try other examples using this table. As 2 2 4 As olmyn 24 24 48 Toplam 26 26 52 P(As Veya Siyah) = P(As) + P(Siyah) - P(As  Siyah) 4 26 2 28     52 52 52 52

Beyin Fırtınası Toplama Kuralını Kullanarak Olasılık Nedir? P(A  D) = P(B  C) = Olay Olay C D Tolam Let students solve first. Allow about 10 minutes for this. A 4 2 6 B 1 3 4 Toplam 5 5 10

Çözüm* Toplama Kuralını Kullanarak Olasılıklar: P(A  D) = P(A) + P(D) - P(A  D) 6 5 2 9     10 10 10 10 P(B  C) = P(B) + P(C) - P(B  C) 4 5 1 8     10 10 10 10

Koşullu Olasılık

Koşullu Olasılık 1. Olayın Olasılığı Başka Bir Olayın Olmasına Bağlıdır 2. Yeni Bilgiler için Orijinal Örnek Kütlemizin Hesaplarını Gözden Geçirelim Kesin Olan Sonuçları Çıkaralım 3. P(A | B) = P(A and B) P(B)

Koşullu Olasılığı Venn Şemasında Kullanalım Siyah ‘Oldu’: Diğer Sonuçları Çıkaralım Siyah Siyah As S (S) Olay (As VE Siyah)

Koşullu Olasılığın Olasılık Tablosunda Kullanımı Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini Kaydedin. Renk Çeşit Kırmızı Siyah Değiştirilmiş Örnek Kütle Toplam Try other examples using this table. As 2 2 4 As Olmyn 24 24 48 Toplam 26 26 52 P(As | Siyah) = P(As VE Siyah) P(Siyah) 2 52 26 /

İstatistiksel Bağımsızlık 1. Olayın Oluşu Başka Bir Olayın Olasılığına Etki Etmez. 1 Parayı 2 Keren Yazı-Tura Atın 2. Nedensellik Olmaz 3. Testler: P(A | B) = P(A) P(A Ve B) = P(A)*P(B)

Ağaç Gösterimi Deney: 20 Kalemden 2 Tanesini Seçin: 14 Mavi & 6 Kırmızı. Yerlerini Değiştirmeyiniz. K P(R|R) = 5/19 P(R) = 6/20 K M P(B|R) = 14/19 K P(R|B) = 6/19 Bağımlı! M P(B) = 14/20 M P(B|B) = 13/19

Beyin Fırtınası Tablo Ve Formül’ü Kullanarak Olasılık nedir? P(A|D) = P(C|B) = C & B Bağımsızlar mıdır? Olay Olay C D Toplam Let students solve first. Allow about 20 minutes for this. A 4 2 6 B 1 3 4 Toplam 5 5 10

Çözüm* Formülü Kullanarak Olasılıklar Aşağıdaki Gibidir: P(A  D) 2 / 10 2 P(A | D) =   P(D) 5 / 10 5 P(C  B) 1 / 10 1 P(C | B) =   P(B) 4 / 10 4 5 1 P(C) =  Bağımlı 10 4

2-4 Şartlı Olasılık Şartlı Olasılığın Kuralları: Bundan dolayı Eğer A ve D olayları istatiksel Bağımsız ise: Bundan dolayı

Olasılık Tablosu – Örnek 2-2 Hesap AT& T IBM Toplam IBM tarafından üstlenilen Projenin Olasılığı Verilmiştir .Bu Bir Haberleşme Projesidir. Haberleşme 40 10 50 Bilgisayar 20 30 50 Toplam 60 40 100 Olasılıklar AT& T IBM Total Haberleşme .40 .10 .50 Bilgisayar .20 .30 .50 Toplam .60 .40 1.00

2-5 Olayların Bağımsızlığı A ve B Olaylarının istatiksel Bağımsızlığı İçin Koşullar: P A B VE ( ) = I P As Kalp ( ) = I 1 52 13 P Kalp As ( ) = I 1 52 4 P AS Kalp As ( ) I = 4 52 13 1

Joint Probability Using Contingency Table Olay Olay B1 B2 Toplam A1 P(A1 and B1) P(A1 and B2) P(A1) A2 P(A2 and B1) P(A2 and B2) P(A2) Toplam P(B1) P(B2) 1 Bileşik Olasılık Marjinal (Basit) Olasılık

Çarpım Kuralı

Çarpım Kuralı 1. Olayların Kesişimi için Olasılıkların Bileşenleri Kullanılır Bileşik Olayı Olarak Adlandırılır 2. P(A ve B) = P(A  B) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B) 3. Bağımsız Olaylar İçin: P(A ve B) = P(A  B) = P(A)*P(B)

Çarpma Kuralına Örnek Deney: Bir Kart Seçin Ve Rengini Şeklini Kaydedin. Renk Çeşit Kırmızı Siyah Toplam Try other examples using this table. As 2 2 4 As olmyn 24 24 48 Toplam 26 26 52 ÷ ø ö ç è æ = × 52 2 4 As) | P(Siyah P(As) Siyah) VE P(As

Beyin Fırtınası Çarpma Kuralını Kullanarak Olasılık Nedir? P(C  B) = P(B  D) = P(A  B) = Olay Olay C D Toplam Let students solve first. Allow about 10 minutes for this. A 4 2 6 B 1 3 4 Toplam 5 5 10

Çözüm* Çarpma Kurallarını Kullanarak Çözüm: P(C  B) = P(C)  P(B| D) = P(B)  P(D| B) = 4/10 * 3/4 = 3/10 P(A  B) = P(A)  P(B| A) 

Bir Kart Seçin: Örnek Kütle As ve Kalp Olaylarının Bileşimi Kalpler Karolar Sinekler Maçalar A A A A Olay ‘As’ K K K K Q Q Q Q P As n S ( ) = 4 52 1 13 J J J J 10 10 10 10 P Kalp As n S ( ) U = 16 52 4 13 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 As Ve Kalp Olaylarının Kesiştiği Yer İki kere Çember İçine Alınan Noktadır : Kalplerin As’ıdır. Olay ‘Kalp’ P Kalp n S ( ) = 13 52 1 4 P Kalp As n S ( ) I = 1 52

Ders Kitabınızdan Notlar

İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK

Koşullu Olasılık P(Arasıra izleme;Orta Gelır)=P(Arasira izleme n Orta Gelir) / P(Orta Gelir) =0.11/0.41 = 0.27

P(Arasıra izleme;Orta Gelir)=P(Arasira izleme n Orta Gelir) / P(Orta Gelir) =0.11/0.41 = 0.27 P(Orta Gelir : Arasira Izleme)=P(Arasira izleme n Orta Gelir) / P(Arasira Izleme) =0.11/0.27 = 0.41