Doğrusal programlama:İkililik teorisi (Duality theory)

İkililik teorisi İkilik teorisi önemli teorilerden biridir. Bu teori ilk defa doğrusal programlama problemleri çözülürken ortaya çıkmıştır ama doğrusal olmayan programlama, bilgisayar ağları ve oyunlar teorisi gibi birçok alanda uygulamaları vardır.

Doğrusal programlamada bu teorinin kısa özeti şudur: Her doğrusal programa karşılık gelen ve bu programın ikilisi ismi verilen başka bir doğrusal program vardır. İkilisi karşısında olan orijinal probleme esas problem denir. Esas ve ikili problem arasındaki bağıntıyı öğrenen teoriye ikililik teorisi denir.

Örnek Ofis mobilyaları üretmek üzerine kurulmuş olan küçük bir şirketi ele alalım. Bu şirket büyük masa, yazı masası ve sandalyeler üretmeyi planlamaktadır. Bu şirkete bir büyük masayı üretmek için 8 kg ahşap, 5 kg metal, bir yazı masasını üretmek için 6 kg ahşap ve 4kg metal ve bir sandalye üretmek için 4 kg ahşap ve 4 kg metal gerekmektedir. Şirket bir büyük masayı 80 TL ye, bir yazı masasını 60 TL ye ve 1 sandalyeyi 50 TL ye satmayı planlamaktadır. Şirketin deposunda 100 kg ahşap ve 60 kg metal vardır. Şirkete en çok gelir sağlayabilecek stratejiyi bulmak istiyoruz.

Problem P1

Problem1 Şimdi ise ofis mobilyalarını uzun yıllardır üreten büyük bir şirketin de olduğunu varsayalım. Bu şirket piyasaya yeni bir şirketin girmesini arzu etmemektedir. Buna göre de yeni şirketin üretime geçmeden deposunda bulunan tüm malzemelerini satın almayı planlamaktadırlar.

Problem1. Büyük şirket küçük şirkete ahşapın bir kg ve metalın bir kg ı için bir fiyat önermektedir. Doğal olarak bu fiyatın küçük şirketi tatmin etmesi gerekmektedir ki üretimden vazgeçebilsin. Büyük şirket küçük şirkete öyle bir teklifte bulunmalıdır ki, küçük şirketin 8kg ahşapın ve 5kg metalın satışından elde ettiği gelir 80 TL den, 6kg ahşap ve 4kg metalin satışından elde ettiği gelir 60 TL den ve 4kg ahşap ile 4kg metalın satışından elde ettiği gelir 50 TL den az olmasın. Ve doğal olarak, büyük şirket de küçük şirkete mümkün oldukça az para vermek istemektedir. Bu kısıtlamaları dikkate alırsak aşağıdaki problemi elde ederiz.

Problem D1

Esas ve İkili problem P1 problemi esas problem, D1 problemi ise bu problemin ikilisidir.

Diyet Problemi Bir kişi et ve patates yiyerek zayıflamak istemektedir ama bu kişi doktoru tarafından her gün 400 birim protein, 200 birim karbohidrat ve 100 birim yağ alması gerektiği konusunda uyarılmıştır. 10 TL değeri olan bir kg biftekte 80 birim protein, 20 birim karbohidrat ve 30 birim yağ olduğu bilinmektedir. 2 TL değeri olan bir kg patates yemeyinde ise 40 birim protein, 50 biirm karbohidrat ve 20 birim yağ vardır. Bu kişi diyet için en az parayı harcamayı ama gereken besin değerlerini de almayı planlamaktadır.

Problem P2

Problem2 devam Şimdi bir ecza fabrikasının bu kişiyi yiyerek diyet yapması yerine protein, karbohidrat ve yağ hapları alarak zayıflayabileceğine ikna etmeye çalıştığını düşünelim. Bu fabrikanın bu haplara öyle bir fiyat biçmesi gerekir ki, örneğin bu kişi protein hapından 80 biirm, karbohidrat hapından 20 biirm ve yağ hapından 30 birim aldığında vereceği para 10 TL yi geçmesin ve benzer olarak protein hapından 40 birim, karbohidrat hapından 50 birim ve yağ hapından 20 birim aldığında da harcayacağı para 2 TL yi geçmesin. Ecza fabrikası da doğal olarak bu satıştan mümkün oldukça çok gelir elde etmeyi planlamaktadır.

Problem D2

P2 ve D2 problemi P2 problemi esas ve D2 problemi ikili problemdir.

Doğrusal programın ikili problemini bulma Standart biçimde verilmiş esas problemin ikili problemini aşağıdaki gibi bulabiliriz.

Esas problemin standart biçimi

Standard form of the Dual Problem

İkili Doğrusal programlama problemi max dönüşerek min olacak x değişkeni olmayacak RHS coefficients swap places with objective function coefficients y değişkeni ortaya çıkacak Ters dönecek L.P.

İkili Probleme örnek L.P.

Standart biçimde verilmeyen doğrusal programın İkili problemini bulma Bu yöntem simpleks algoritma uygulamadan önce soruyu standart biçime dönüştürme yöntemine benzer. Bir istisna var: biz burada yeni değişken eklemiyoruz. “=“ kısıtlamaları yerine “<=“ kısıtlamaları yazıyoruz.

Possibility This is possible here because we do not require here that the RHS is non-negative.

Standard form!

Example

Conversion Multiply through the greater-than-or-equal-to inequality constraint by -1 Use the approach described above to convert the equality constraint to a pair of inequality constraints. Replace the variable unrestricted in sign, , by the difference of two nonnegative variables.

Dual

Streamlining the conversion ... An equality constraint in the primal generates a dual variable that is unrestricted in sign. An unrestricted in sign variable in the primal generates an equality constraint in the dual.

Example

+ + correction

Primal-Dual relationship Primal Problem Dual Problem opt=max opt=min Variable i : yi >= 0 yi urs Constraint j: >= form = form Constraint i : <= form = form Variable j: xj >= 0 xj urs

Example

equivalent non-standard form

Dual from the recipe

Weak Linear Programming Duality Any feasible solution to primal LP has value no greater than that of any feasible solution to the dual LP. L.P. Jose Rolim

Weak Linear Programming Duality (continued) L.P.

Finding a Dual Solution Finding a dual solution whose value is equal to that of an optimal primal solution… L.P.

Optimality L.P. .

Maximum Flow As you remember Given a directed graph , two vertices and a capacity for each edge We want to find a flow function so that the flow value is maximal

Maximum Flow But, we are subject to some rules: What goes in must come out: Capacity restrictions:

Max Flow with Linear Programming We’ll show by a simple example: 3 1 1 3 2

Max Flow with Linear Programming Formally: 3 2 1 But we don’t permit equalities

Max Flow with Linear Programming So we’ll add another edge, and change the problem’s representation a little. 3 1 1 ∞ 2 3

Minimum Cut As you remember from Algorithms I Given a directed graph , two vertices and a weight for each edge We want to find a minimal-weight subset of edges such that if we’ll remove them, we won’t be able to travel from to .

Minimum Cut In other words: We’ll choose , where: , , such that the cut value, is minimal.

Min Cut with Linear Programming Going back to the example: 3 1 1 3 2

Min Cut with Linear Programming 3 2 1 What about: Is that enough? We haven’t ensured paths from to are cut. This look like And we know that

Min Cut with Linear Programming 3 2 1 Beside a variable for every edge , we’ll want a variable for every vertex , such that:

Min Cut with Linear Programming 3 2 1 Let’s take for instance: If is in the cut that means that , If is not in the cut , that means that either or or So it is the same to constraint:

Max Flow with Linear Programming Formally: 3 2 1 In order to ensure

Max Flow – Min Cut Theorem We now see that the problems are dual So also according to the Strong Duality Theorem, Max Flow = Min Cut