ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR DERS 5 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR: Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç noktasına ( 0’a ) olan uzaklık (uzunluk) söz konusudur. x R x = 5, söz konusu noktanın başlangıç noktası 0’a olan uzaklığının 5 br olduğunu gösterir. x = 8-5 = 3, 0’a 8 br uzaklıktaki nokta ile 5 br uzaklıktaki nokta arasındaki uzaklığın 3 br olduğunu gösterir.

R2 kümesi bir düzlemin noktalarından ibaret olup iki boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy ya da uzunluk-genişlik söz konusudur. (x,y) x y x ile y arasında bir bağırtı varsa y = f(x) yazılır. y=f(x) bir değişkenli bir fonksiyondur. (x,f(x)) ikilileri (noktaları) düzlemde bir eğri ya da doğrunun noktalarıdırlar. Bu noktalar kümesi eğrinin ya da doğrunun grafiğidir.

R3 uzayın noktalarından ibaret olup üç boyutlu uzayı temsil eder R3 uzayın noktalarından ibaret olup üç boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy-yükseklik söz konusudur. P(a,b,c) b a (0,0,0) y (a,b,0) z x c z ile x ve y arasında bir bağıntı varsa z = f(x,y) yazılır. z = f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyondur. (x,y,f(x,y)) üçlüleri (noktaları) uzayda bir yüzey belirtir.

Rn kümesine n boyutlu uzay denir. ise fonksiyonuna n değişkenli fonksiyon denir.

z y x (0,1,1) (0,0,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,0) (0,1,0) O (1,0,0) (1,1,0)

Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı: Çok değişkenli fonksiyonlar günlük yaşamın pek çok alanında karşımıza çıkar. Örnek: 1 Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı: y x A = A(x,y) = xy bir iki değişkenli fonksiyon;

Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi: Örnek: 2 Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi: x z y V = V(x,y,z) = xyz bir üç değişkenli fonksiyon; Örnek:3 Basit faiz için kullandığımız A(P,r,t) = P + Prt denklemi bir üç değişkenli fonksiyondur. A(100,0.05,4) = 100 + 100·(0.05)·4 = 120 dir.

Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi: Örnek 4 Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi: h r V = V(r,h) =  r2 h Bir iki değişkenli fonksiyondur.

Örnek:5 A ve B gibi iki tür ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit gideri 5000 TL, ürün başına haftalık gideri A ürünü için 700 TL, B ürünü için 800 TL ise, bu işletmenin haftada x adet A ve y adet B türü ürün üretmesi durumunda haftalık toplam gideri : Gi(x,y) = 5000 + 700x + 800y TLdir. Bu haftalık gider fonksiyonu bir iki değişkenli fonksiyondur. Bu örnekte Gi(10,15) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 24 000, Gi(15,10) = 5000 + 700.15 + 800.10 = 23 500, Gi(a,b) = 5000 + 700a + 800b, Gi(x+h, y) = 5000 + 700(x+h) + 800y, olur.

İşletme A ürününün haftalık üretim miktarını h kadar artırmaya karar verirse haftalık gideri kadar artar. İşletme B ürününün haftalık üretim miktarını k kadar artırmaya karar verirse haftalık gideri kadar artar.

UZAYDA NOKTA KÜMELERİ: y = 0 , z = 0 ; (x,0,0) x ekseni üzerindeki noktaları verir. x = 0 , z = 0 ; (0,y,0) y ekseni üzerindeki noktaları verir. x = 0 , y = 0 ; (0,0,z) z ekseni üzerindeki noktaları verir. x y z x- ekseni = {(x, 0, 0) : x R} y- ekseni = {(0, y, 0) : y R} (0,0,z) z- ekseni = {(0, 0, z) : z R} (0,y,0) (x,0,0)

z = 0 : xOy-düzlemi, {(x, y, 0) : x, y  R} y = 0 : xOz-düzlemi, {(x, 0, z) : x, z  R} y = 0 y x z x = 0 : yOz-düzlemi, {(0, y, z) : y, z  R} x = 0

z = 3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim üstündeki düzlem: {(x, y, 3) : x, y  R} (0,0,3) z = 3 z = -3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim altındaki düzlem: {(x, y, -3) : x, y  R} y x z (0,0,-3) z = -3

İki Değişkenli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi z = f(x, y) fonksiyonunun tanım kümesi f in tanımlı olduğu en geniş kümedir. Örnek: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Örnek: Çözüm: z y x

İki değişkenli bir fonksiyonunun grafiği: z y x z = f(x, y) nin grafiği genel olarak bir yüzeydir. z = f(x,y) z=(x,y, f(x, y)) (x, y, 0)

xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : Örnek: z = x2 + y2 nin grafiği xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x2 + y2 = 0. (0,0,0) yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti: x = 0, z = y2 z y x xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti: y = 0, z = x2 x2 + y2 = 4 z=4 düzlemi ile arakesiti: x2 + y2 = 4 (0,-2,4) (2,0,4) (0,2,4) (-2,0,4) z = y2 z = x2 z = x2 + y2 (0,0,0)

Örnek: z = 4 -x2 - y2 nin grafiği: xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x2 + y2 = 4 yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti : x = 0, z = 4 - y2 xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti : y = 0, z = 4 - x2 (0,-2,0) (2,0,0) (0,2,0) (-2,0,0) (0,0,4) z y x z = 4 - x2 - y2 (0,0,0)

xoy- düzlemi ile kesişim : z = 0, yoz- düzlemi ile kesişim : x = 0, Örnek: nin grafiği. xoy- düzlemi ile kesişim : z = 0, yoz- düzlemi ile kesişim : x = 0, xoz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z y x (-1,0,0) (0,0,1) (0,-1,0) (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) Yarım Küre

İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK: y x A(a, b, c) X(x, y, z) d (x, y,0) z-c (a, b,0) z c a b x y x-a y-b

KISMİ TÜREVLER: Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımını hatırlayalım: y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun x = a noktasındaki türevi olarak tanımlanmıştı.

Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımından hareketle, z = f(x,y) denklemi ile verilen iki değişkenli fonksiyonun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri f(x,y) nin (a,b) de x e göre kısmi türevi f(x,y) nin (a,b) de y ye göre kısmi türevi olarak tanımlanır.

a + h = x yazılırsa, h = x – a ve olur. z = f(x,y) fonksiyonunun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri f(x,y) nin (a,b) de x e göre kısmi türevi b + h = y yazılırsa, h = y – b ve olur. f(x,y) nin (a,b) de y ye göre kısmi türevi olarak tanımlanır.

Herhangi bir noktadaki x e göre kısmi türev f(x,y) in x e göre kısmi türevi Herhangi bir noktadaki y ye göre kısmi türev f(x,y) in y ye göre kısmi türevi olur.

Diğer gösterimler:

GEOMETRİK YORUM: z z = f(x, y) z = f(x, b) y Eğim : z = f(x, b) z = f(x, y) (a,b, f(a, b)) (a+h,b, f(a+h, b)) (a, b, 0) fx(a,b) türevi, (x,b) noktası x - ekseni doğrultusunda değişirken z=f(x,b) nin nasıl değiştiğini gösterir. (a+h, b, 0)

Eğim : z y x z = f(a, y) (a,b, f(a, b)) z = f(x, y) (a,b+k, f(a, b+k)) (a, b, 0) (a, b+k, 0) fy(a,b ) türevi, (a,y) noktası y - ekseni doğrultusunda değişirken z= f(a,y) nin nasıl değiştiğini gösterir.

Şimdiye kadar verilen tanımlardan ve onların geometrik yorumlarından görülebileceği üzere, f (x,y) nin x e göre kısmi türevi fx hesaplanırken, y sabit kabul edilerek x e göre türev alınır; fy hesaplanırken de x sabit kabul edilerek y ye göre türev alınır. Bu hesaplar yapılırken daha önce bir değişkenli fonksiyonlar için elde edilmiş olan tüm türev alma kuralları geçerlidir.

Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu: İki girdiye dayanan bir üretim sonucu elde edilen tek bir çıktıyı o girdiler cinsinden ifade etmek için kullanılan Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, üretimde kullanılan yıllık işgücünün parasal karşılığı x ve toplam sermaye y, bir yıllık toplam çıktının parasal karşılığı z = f(x,y) ile gösterilmek üzere gibi bir denklemle tanımlanır. Denklemde görülen C, m ve n sabitlerdir. C sabiti, girdiler dışında toplam çıktıya etki eden unsurları, örneğin, ekonominin uzun vadede teknolojik dinamizmini yansıtan bir sayıdır. m sabiti, işgücünde bir değişim söz konusu olduğunda, toplam çıktıda meydana gelen değişim yüzdesinin işgücündeki değişim yüzdesine oranı olarak tanımlanır

Örnek olarak, m = 0.2 ise, işgücündeki %1 lik artış, toplam çıktıda yaklaşık % 0.20 lik artışa yol açar. n sabiti, sermayede bir değişim söz konusu olduğunda, toplam çıktıda ortaya çıkan değişim yüzdesinin sermayedeki değişim yüzdesine oranı olarak belirlenir. Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda m+n=1 kabul edilir ki bu durumda f(2x,2y)=2f(x,y),yani işgücü ve sermaye her ikisi de iki katına çıkarıldığı takdirde toplam çıktı da iki katına çıkar. Cobb-Douglas üretim fonksiyonları, bir tek endüstrinin verimliliğini açıklamak için kullanılabileceği gibi birkaç endüstrinin birden hatta bir ülkenin tüm endüstrilerinin verimliliğini analiz etmek için de kullanılabilir.

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu f nin x e göre kısmi türevi , üretilen ürünün karşılığının kullanılan işgücüne göre değişim oranını vermektedir ve marjinal işgücü verimliliği olarak adlandırılır. kısmi türevi de üretilen ürünün karşılığının kullanılan sermayeye göre değişim oranını vermektedir ve marjinal sermaye verimliliği olarak adlandırılır. Örnek: Bilgisayar üreten bir şirketin verimliliği, x birim işgücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda yaklaşık olarak denklemi ile tanımlanan Cobb-Douglas üretim fonksiyonu ile verilmiştir.

a) Şirket şu anda 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik sermaye kullandığına göre marjinal işgücü verimliliğini ve marjinal sermaye verimliliğini bulunuz. b) 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılırken işgücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleyiniz. Çözüm: a) olup dir. Dolayısıyla, 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılması durumunda marjinal işgücü verimliliği 35.56 marjinal sermaye verimliliği de 12.91 olur.

b) 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılırken sermaye sabit tutulmak kaydıyla işgücündeki her 1 birimlik artış verimlilikte 35.56 birimlik artış sağlayacak; işgücü sabit tutulmak kaydıyla sermayedeki her 1 birimlik artış ise verimlilikte 12.91 birimlik artış sağlayacaktır. Bu nedenle, işgücü artırılarak verimlilikte daha çok artış sağlanacağı görülmektedir. Örnek: Bir şirketin ürettiği ürünün parasal değeri, x birim işgücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda yaklaşık olarak denklemi ile ifade edilmektedir.

a) Şirket şu anda 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye kullandığına göre marjinal işgücü verimliliğini ve marjinal sermaye verimliliğini bulunuz. b) 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye kullanılırken işgücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleyiniz. Çözüm: a) olup dür.

Dolayısıyla, 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılması durumunda marjinal işgücü verimliliği 35.56 marjinal sermaye verimliliği de 12.91 olur. b) 300 birimlik iş gücü ve 250 birimlik sermaye kullanılırken sermaye sabit tutulmak kaydıyla işgücündeki her 1 birimlik artış verimlilikte 6.98 birimlik artış sağlayacak; işgücü sabit tutulmak kaydıyla sermayedeki her 1 birimlik artış ise verimlilikte 3.94 birimlik artış sağlayacaktır. Bu nedenle, işgücü artırılarak verimlilikte daha çok artış sağlanacağı görülmektedir.

Örnekler: z = f(x,y)=x2 (2 – 3y)+5y+1 için veya

(2,3) noktasındaki türevleri bulalım.

z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için

z = f(x,y) = x4 y7 için

İKİNCİ MERTEBEDEN KISMİ TÜREVLER: z = f(x,y) verilsin. Birinci mertebeden kısmi türevler zx = fx (x,y) , zy = fy (x,y) İkinci mertebeden kısmi türevler

Daha yüksek mertebeden kısmi türevlerin de benzer biçimde tanımlanabileceği açıktır. Örneğin, zxyyxy ifadesi, sırasıyla x e göre türevi, sonra onun y ye göre türevi, sonra elde edilenin yine y ye göre türevi, sonra elde edilenin tekrar x e göre türevi ve nihayet sonda elde edilenin y ye göre türevi alınacağını gösterir.

Örnekler: z = f(x,y)=2x2 – 3x2y+5y+1 için z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için z = f(x,y)=x4 y7 için

Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türevler. Değişken sayısı ikiden çok olan fonksiyonlar için de kısmi türevler benzer biçimde tanımlanır. Bir değişkene göre kısmi türev hesaplanırken, diğer değişkenler sabit kabul edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örneğin, w = f (x,y,z) denklemi ile tanımlanan üç değişkenli f fonksiyonunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi dır.

Bu durumda da benzer gösterimler kullanılır: Örnek: w = f (x,y,z) = için

ÖDEVLER Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki değerlerini hesaplayınız. Ambalaj kutusu üreten bir firmada aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üstü açık bir kutu imal edilecektir. Kullanılacak malzemenin alanını veren F fonksiyonunu yazınız ve F(10,12,6) değerini bulunuz.

Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir. A türü ilacın fiyatı p, B türü ilacın fiyatı q TL dir. A türü ilaç için haftalık talep x adet, B türü ilaç için haftalık talep y adettir. A ilacı için haftalık fiyat-talep denklemi B ilacı için haftalık fiyat talep denklemi Haftalık gider fonksiyonu dır. a) Haftalık gelir ve kar fonksiyonlarını yazınız. a) A türü ilaçtan 10 adet, B türü ilaçtan 15 adet üretilip satılması durumunda elde edilen geliri ve karı hesaplayınız.

Fonksiyonu veriliyor. a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemleri ile ara kesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemleri ile arakesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. 5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini R3 te çiziniz..