Nümerİk Analİz (SayIsal ANalİz) 1.Sunu

Ders Konuları Giriş, Modelleme ve Mühendislik Problemlerinin Çözümü Nümerik Hesaplar, Yaklaşım, Yuvarlatma ve Kesme Hataları Lineer Olmayan Eşitliklerin Çözümü - Kapalı Yöntemler Lineer Olmayan Eşitliklerin Çözümü - Açık Yöntemler Polinomların Köklerinin Bulunması Lineer Sistemlerin Çözümü Özel Matrisler ve Çözümleri Arasınav Lineer Olmayan Denklem Takımlarının Çözümü Sonlu Farklar İnterpolasyon Sayısal Türev Sayısal Integral Eğri Uydurma Yöntemleri Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Final

Kaynaklar Kitap Sayısal Analiz ve Müh. Uygulamaları,İrfan KARAGÖZ. Nümerik Analiz,Prof.Dr.H.Hilmi Hacısalihoğlu Online SAYISAL YÖNTEMLER,DERS NOTLARI,Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Bayıroğlu SAYISAL YÖNTEMLER,DERS NOTLARI,PAU ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK Fak.,MAKİNE Müh. NÜMERİK ANALİZ, Ders Notları,Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN NÜMERİK ANALİZ, Ders Notları, Ahmet Topçu SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI, Doç. Dr. Cihat ARSLANTÜRK, Doç. Dr. Yusuf Ali KARA Sayısal Analiz Ders Notları,Arzu Erdem

Giriş Nümerik analizin amacı karmaşık, analitik olarak ，çözümü zor ve olanaksız olan problemlere sadece basit aritmetik işlemler kullanılarak ，çözümler bulmaktır. Bir problem verildiğinde uygulamalı matematikçi bu problemin çözümü için gerekli olan matematiksel modeli kurar, nümerik analizci ise bu problemi çözer.

Giriş Problemin çözümünde genellikle elektronik hesaplayıcılardan faydalanılır. Dolayısıyla nümerik analizin gelişimi bilgisayarın gelişimine paraleldir. Bu nedenle nümerik analize ”bilgisayar mühendisliği ve matematik ” adı da verilebilir.

İlgi Alanları Lineer Denklem takımlarının çözümü Non-Lineer denklem takımlarının çözümü Sonlu Farklar ve İnterpolasyon teknikleri Eğri Uydurma ve Regresyon Analizi Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon Adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü Kısmı diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü

Matematiksel Modelleme Matematik bir model, en genel anlamıyla, fiziksel bir sistemin veya bir sürecin ana özelliklerini matematik terimlerle ifade eden bir eşitlik veya formül olarak tanımlanabilir. En genel halde matematik model aşağıdaki biçimde bir fonksiyonel ilişki olarak gösterilebilir. Bağımlı değişken=f (bağımsız değişkenler, parametreler, zorlayıcı fonksiyonlar)

Matematiksel Modelleme Burada bağımlı değişken sistemin davranışını veya konumunu belirten bir özelliktir, bağımsız değişkenler genellikle zaman veya konum gibi sistemin davranışını belirleyen boyuttur, parametreler sistemin özelliklerini ve yapısını yansıtırlar, zorlayıcı fonksiyonlar ise sistemi etkileyen dış etkenlerdir.

Matematiksel Modelleme Çözümü istenen problemi tanımlamak ve sonuca varacak yöntemi saptamak genellikle aynı bilim adamının işidir. Bu nedenle problemi tanımlayanın bir nümerik analizcinin sahip olduğu bilgilerin en azına sahip olması gerekir. Problemin çözümünde bir takım aşamalardan geçilerek sonuca varılır. Bu aşamalardan ilki problemin formüle edilmesidir.

Matematiksel Modelleme Fiziksel bir olayın matematiksel modelinin formüle edilmesinde nümerik analizci, problemini bilgisayar ile çözümleyebileceğini göz önünde bulundurmalıdır. Formülasyon yapıldıktan sonra problemin çözümü için hata analizi ile birlikte nümerik yöntem en iyi yaklaşımla sonuç elde edilecek şekilde seçilmelidir. Nümerik çözüm yöntemi, belirtilen ya da istenilen hassaslıktaki yaklaşımla ve belli sayıda ardışık tekrar işlemlerinden sonra matematiksel probleme çözüm getirmelidir.

Matematiksel Modelleme Nümerik çözüm yöntemleri genellikle önceden saptanmış aritmetik ve mantıksal işlemlerden oluşur. Bu işlemlerin tümüne çözüm algoritması denir. Algoritma belli sayıda işlemlerden sonra probleme çözüm getirir. Problemin bilgisayar ile çözümünde üçüncü aşama, algoritmanın bilgisayarda çözümünü sağlayacak programlama aşamasıdır. Programlama; C, Pascal, Basic, Cobol, Fortran,Matlab gibi bilgisayar dillerinden birisi ile yapılır.

Matematiksel Modelleme Bunun yanı sıra Sembolik hesaplama yapan programlar da geliştirilmiştir (Maple, Mathematica, Mathcad, Mupad, Scilab, Derive gibi ). Bu programlar sayesinde diferansiyel denklemler bile sembolik olarak çözülebilmektedir.   Hatta son zamanlara Excel programına ilave edilen Matematiksel Fonksiyonlardan (Matris Tersi, Matris Çarpımı gibi) sonra, Sayısal Analiz ile ilgili bütün sonuçlar Microsoft Excel kullanılarak da elde edilebilmektedir.

Matematiksel Modelleme Farklı modelleme yaklaşımlarını üç ana başlık altında inceleyebiliriz. Bunlar:   1. Matematiğin gerçek hayat uygulamalarını ifade eden uygulama problemleri, 2. Öğrencilerin modelleme becerilerini geliştirmesi öngörülen sözel problemler (uygulamalı problem çözme), 3. Otantik gerçek hayat bağlamlarında öğrencilerin önemli matematiksel düşünme yapılarını, modelleri geliştirdikleri, genelledikleri ve paylaştıkları sürece vurgu yapan modelleme problemleri.

Matematiksel Modelleme Örnek 1: [Kertil (2008)’den alınmıştır.] Telefonunuzla uzun bir süre görüşme yapmayı düşünüyorsunuz. Kullandığınız hattın ücret tarifesi şu şekildedir. Görüşme süresinin ilk dakikası 100 kuruştur. Devam eden süreçte her bir dakika 20 kuruş üzerinden ücretlendirilmektedir. Bu telefon görüşmesi sonunda her hangi bir t görüşme süresi için borcunuzu ifade edecek bir matematiksel model ve bir grafik gösterimi bulmaya çalışınız.

Matematiksel Modelleme Yukarıdaki soru örneği parçalı fonksiyonlar kullanılarak matematiksel çözümü yapılabilecek bir sorudur. Problem bağlamı gerçek hayattan bir durumu ifade etmekte, fakat öğrencinin neden bir matematiksel model veya grafik bulması gerektiği sorunun içerisinde tam olarak verilmemektedir. Problemin sorulma tarzı, parçalı fonksiyonlar konusu öğretildikten sonra öğrencilerin uygulama yapabilecekleri bir bağlam örneği göstermeye yöneliktir.

Matematiksel Modelleme Örnek 2: [Shternberg ve Yerushalmy (2003)’den uyarlanmıştır.]   Arabanın Durma Mesafesini Belirleyin Bir yarış arabasının ayrıntılı test edilme sürecinde belirli bir sürede durabilme mesafesi belirlenmesi için test yapılacaktır. Arabanın ilk hızı 20 metre/saniye olarak kayda başlanan bir testte araba 10 saniye sonra durmuştur. Bu 10 saniye sürecinde araba monoton azalan bir hızla hareketine devam etmiştir.

Matematiksel Modelleme Aşağıdaki tablo arabanın hızının değişen değerlerini göstermektedir. Zaman(sn) Hız (Metre/sn) 20 2 14 4 9 6 5 8 10 Sorunun içerdiği gerçek hayat durumu integralin uygulanabileceği idealleştirilmiş bir bağlam örneği olarak kabul edilebilir

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Mühendislikte doğadaki olayların ve oluşumların bilimsel yöntemlerle anlaşılan işleyiş kuralları çok önemlidir. Bu kurallar insanlığın kullanımına sunulacak alet, cihaz, makine, yapı ve sistemlerinin oluşturulmasında, işletilmesinde ve geliştirilmesinde kullanılmaktadır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Doğadaki olaylar ve oluşumlar bilimsel yöntemlerle incelenirken değeri değiştikçe olayların seyrini veya oluşumların sonucunu etkileyen büyüklüklere değişkenler denir. İnceleme sonucunda değişkenler arasındaki ilişkilerden tablo değerleri çeşitli grafikler veya cebirsel, diferansiyel ve integral denklemler veya sistemleri elde edilir.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü İkinci dereceden cebirsel denklemler sayısı fazla olmayan cebirsel denklem sistemleri lineer diferansiyel denklemler ve sistemleri , düzgün geometriye sahip kısmi türevli lineer diferansiyel denklemler ve sistemlerinin analitik yöntemlerle çözüme gidilmesine karşılık diğer durumlarda pek kolay olmamaktadır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Hatta çoğu kere bu imkansızdır. Bundan dolayı büyük denklem sistemleri, lineer olmama durumu ve karmaşık geometri durumlarında sayısal yöntemler veya deneysel yöntemler uygulanmaktadır. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sayısal yöntemlerin yoğunluğunu ve etkinliğini artırmıştır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Bir mühendislik probleminin çözümünde izlenmesi gereken başlıca adımlar şu şekildedir ; 1. Problemin Tanımı: Problemin ve ilgili sistemin her yönüyle ortaya konulduğu adımdır. Bu aşamada problemin anlaşılmasına katkı sağlayacak mevcut bütün bilgiler ve giriş verisi, çözüm sonucu ne istendiği açık olarak ortaya konur.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü 2.Fiziksel Modelin Oluşturulması: Bu aşamada olayı basitleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için bir takım kabuller ve ihmaller yapılır. Yapılacak olan kabul ve ihmallerin sonucu etkilemeyecek veya en az etkileyecek şekilde olması gerekir. Bunun için temel mühendislik konularına ait bilgi ve deneyimin olması kolaylık sağlayacağı gibi hatası az, amaca uygun model oluşturulmasını da mümkün kılar. Ayrıca istenen sonucun kapsamlı olup olmaması da yapılacak kabuller üzerinde etkili olacaktır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü 3.Matematiksel Modelin Oluşturulması: Fiziksel sistemin formülize edildiği bir başka ifade ile fiziksel yasaların ve bağıntıların kullanıldığı aşamadır. Yapılan kabullere bağlı olarak kullanılması gereken denklemler ile denklemlerin çözümü için gerekli sınır ve başlangıç şartları, varsa özel sınırlamalar ortaya konur.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Matematik modelin oluşturulmasında kullanılacak bilgi yine mühendislik öğrenimi boyunca alınan temel bilgiye dayanır. Dolayısıyla bilgi ve deneyimin iyi olması kurulacak matematik modelin de o derece de iyi olmasını sağlayacaktır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü 4.Çözümün varlığı ve tekliğin analizi: Bilinmeyen ve çözümü istenen parametreleri elde etmek için gerekli denklemlerin olup olmadığı,bu denklemlerin çözülüp çözülemeyeceği incelenir.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü 5.Uygun bir yöntemle Matematik Modelin Çözümü: Sayısal analiz teknikleri bu aşamada devreye girer. Matematik modelin içerdiği denklem veya denklemlerin analitik çözümü varsa analitik çözüm yapılarak istenen değerler elde edilir ve sonuçlar değerlendirilir.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Bu çözümde ve sonuçların değerlendirilmesinde bilgisayar kullanılabilir veya bilgisayar programı yazılabilir. Ancak matematik model çok basit değilse denklemlerin analitik çözümü mümkün veya analitik çözüm olsa bile bulunması ve kullanılması kolay olmaz.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Bu durumda sayısal analiz yöntemlerinden bir veya birkaçının kullanılması gerekir. Bir problemi çözmek için değişik yöntemler mevcut olabilir. Bunların içerisinden en hızlı ve en hassas sonuç veren yöntem seçilmelidir.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü İleride görülebileceği üzere sayısal çözüm çok sayıda aritmetik işlem içerir. Bu işlemlerin elle yapılması çok zaman alıcı ve bazen de imkansızdır. Dolayısıyla sayısal çözüm yapılacaksa çoğu zaman bilgisayar programı yazmak gerekir. Zaten sayısal analizin günümüzde çok kullanılmasının nedeni bilgisayar alanındaki çok hızlı ilerlemedir.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü 6.Hata Analizi: Kullanılan sayısal yöntemler ile bulunan çözümün hata analizi yapılması gerekir. Hata analizi çok kaba olabileceği gibi çok detaylı da olabilir. Öncelikle sonuçların mantıklı olup olmamasına bakılabilir. Basit analitik çözüm sonuçları ile veya deneysel sonuçlarla mukayese edilebilir. Hata mertebesinin teorik olarak hesabı yapılabilir.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Sayısal çözüm yaklaşık bir çözümdür. Yani sonuçlar daima belli bir hata payı içerir. Önemli olan hataların kabul edilebilir sınırlar veya verilen tolerans sınırı içerisinde kalmasıdır. Sonuçtaki hataların çok büyük olması durumda hata nedenleri araştırılmalıdır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü Kurulan modelden veya yazılan programdan kaynaklı hatalar olabileceği gibi ileri de bahsedilecek hata kaynakları da olabilir. Önceki adımlara dönülerek hataların nedenleri giderilmelidir. Hatalar kabul edilebilir sınırlar içerisine çekilmelidir.