3. KONU: KÜTLE AKTARIM DİFÜZYON DENKLEMLERİ Kütle denkliği kurulurken ilgilenilen bölgede bir kontrol hacmi alınmalıdır.

İkili bir karışımda A maddesi için bir kütle denkliği kurulursa, reaksiyon varsa: Kütle denklikleri hız cinsinden kurulur. (kütle cinsinden kurulmaz)

Hacim elemanı üzerinde kütle akış hızı: y nA,y+Δy nA,z nA,x+Δx nA,x x Δy Δz Δx z nA,z+Δz nA,y

Net Akış Hızları (Madde çıkış – madde giriş hızları): x yönünde: (nA,xΔyΔz)x+Δx- (nA,xΔyΔz)x y yönünde: (nA,yΔxΔz)y+Δy- (nA,xΔxΔz)y z yönünde: (nA,zΔxΔy)z+Δz- (nA,zΔxΔy)z Hacim elemanı içinde birikim olur. Bu nedenle eşitlikler hacimle çarpılır:

Birikim hızı= Reaksiyonla üretim hızı: Genel Denklem:

Eşitliğin her iki tarafı hacimle bölünürse: Limit alınırsa:

A için kütle denkliği: (1) Aynı eşitlik B maddesi içinde yazılabilir. (2) (1) ve (2) eşitlikleri toplandığı zaman

Toplam yoğunluk ve kütle akıları dikkate alınarak denklem düzenlenirse toplam kütle denkliği ve A ve B’nin mol cinsinden denklikleri bulunabilir.

Yukarıdaki A ve B’nin akı eşitlikleri toplanırsa: Mol cinsinden toplam kütle denkliği: Kütle transferi işlemlerinde kullanılan denklem:

A maddesi için kütle transfer eşitliği: Kartezyen koordinat sisteminde, Silindirik koordinat sisteminde,

Silindirik koordinat sistemi: Silindir koordinatları (r, θ, z)’dır. z z y r θ x y x

Küresel koordinat sistemi: Küresel koordinatlar (r, θ, Φ)’dır. z r θ z y r Φ x y x

Küresel koordinat sisteminde, Genel akı denkliği: Akı denklemini kartezyen koordinat sistemine göre üç boyut için ayrı ayrı yazarsak:

Aşağıdaki NA,x, NA,y ve NA,z denklemlerini, alttaki ifadede yerine yazarsak:

Koordinat sisteminde toplam ifade: Kabuller: 1) Sistemdeki DAB bütün yönlerde birbirine eşittir. 2) Durgun akışkan için; izotermal ve izobarik şartlar geçerlidir.

Sıkıştırılamayan akışkanlarda toplam (ρ, C=sbt) Sıkıştırılamayan akışkanlarda toplam (ρ, C=sbt). Sistemde akış varsa, akış türbülent değil laminerdir (Çünkü ρ ve C’nin sbt olması sistemin homojenliğini ve laminer akış olduğunu göstermektedir). Bu kabuller doğrultusunda ifadeler açıldığında

Sıkıştırılamayan sıvılarda hız gradyenti 0’dır. Yukarıdaki duruma göre denklemi yeniden düzenlensek: Denklemde yer alan terimler: (1) konsantrasyon cinsinden A için kütle terimi, sistemdeki artma ve azalma ile ilişkilidir. (BİRİKİM)

(2) Konveksiyonla aktarım, yani yığın hareketinin katkısı (v)’ler sistemdeki akışkanın hızıdır.(YIĞIN HAREKETİ) (3) İkinci dereceden türevler. Konsantrasyon farkı katkısıdır. (MOLEKÜLER DİFÜZYON) katkısıdır. (4) Sistemde (REAKSİYON) varsa RA’yı dikkate alırız. RA’nın dikkate alınması için hacim elemanı içinde reaksiyonun homojen olarak meydana gelmesi gereklidir.

Yukarıdaki denklemi operatörler kullanarak daha basit halde yazabiliriz: Genel denklem (mol cinsinden):

Genel denklem (kütle cinsinden): Denklemin kullanılışı: 1) Sıkıştırılamayan akışkanlarda koordinat sisteminde akışkan hızları 0’dır. 2) Kütle transfer bölgesinden reaksiyon yoksa RA ve rA hız terimleri dikkate alınmaz

3) İncelenen ortamda akışkan hareketi yoksa v=0’dır. 4) Sistem kararlı ise (sistemin herhangi bir özelliği zamanla değişiyorsa kararsızdır):

2. FICK DİFÜZYON EŞİTLİĞİ Bu denklemde yalnızca birikim ve difüzyon terimleri yer almaktadır. 2. Fick eşitliğini kartezyen sistemine göre açarsak:

2. Fick eşitliğini silindir sistemine göre açarsak:

ÖZET (şimdiye kadar çıkarılmış denklemler)

Örnek 3.1) Nükleer reaksiyon veren madde içeren katı bir silindirik çubuk içinde nötron üretim hızı, nötron konsantrasyonu ile 1. Mertebeden orantılıdır. Genel kütle aktarım eşitliklerini kullanarak sistemdeki kütle aktarım prosesini tanımlayan diferansiyel eşitliklerini yazınız? Çözüm 3.1) Nötron üretim hızı RA=kCA Sistem silindirik olduğu için silindirik koordinat üzerinden hesap yapılır.

Silindirik koordinatlar için kullanılacak denklem: Katı çubuk L z r

Kütle transferinin gerçekleştiği bölge silindirin içidir. Sistem kararsızdır, çünkü konsantrasyona bağlı nötronlar bir z ve bir de r yönünde hareket ederler. Ayrıca; açısal yönde bir hareket yoktur. Bu nedenle; açısal yönde akı 0’dır. L>>r olduğundan L yönünde akı ihmal edilebilir.

z yönündeki akı değişimini 0 alabiliriz Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra yukarıdaki denklem:

Silindir kesiti, üsten görünüşü ve yarıçap boyunca kons. Değişimi: Silindirin üstten görünüşü R Silindir kesiti

Genel difüzyon denklemi (2 Genel difüzyon denklemi (2. Fick yasası)=(silindirik koordinat sistemine göre) Konsantrasyon cinsinden yazılan kütle denkliği için katı çubuk içinde bir hareketten bahsedilmemektedir. Vr=Vθ=Vz=0

Bu durumda silindirik çubuk içinde kütle transfer denklemi: Silindirde 2 doğrusal bir açısal yön vardır. Doğrusal yönler (z,r) ve açısal yön (θ)=0 (dönme yoktur) Örnek 3.2) Bir yanma odasında O2 durgun hava filmi içinde C yüzeyine difüze olarak aşağıdaki reaksiyonu vermektedir.

3 C + 2 O2 2 CO + CO2 a) C yüzeyinin düz olduğunu kabul ederek, genel diferansiyel kütle eşitliğini sistemi tanımlayan özel hale indirgeyin? b) O2 için sadece O2 terminalinde Fick kanununu ifade edin? Çözüm 3.2) İlkönce; kütle transferi açısından reaksiyonun gerçekleştiği yüzeyi ve film tabakasını tespit edelim.

Hareket halinde bir akışkanla-katı bir temas yüzeyi oluşturmuşsa, akışkan filmine eşit bir durgun film kabülü yapılır ve o film içinde bir yığın hareket yoktur. Film tabaka O2 CO CO2 Z=δ Z=0 Kömür (saf C)

İlgilendiğimiz madde O2=A C yüzeyi düzgün olduğundan dolayı tek yön sözkonusudur. Oksijen açısından birikim yoktur. Dolayısıyla 4. terim 0’dır. Reaksiyon yalnızca z yönünde olduğundan dolayı, diğerleri 0’dır.

Rxn katının yüzeyinde olmasından dolayı RA=0’dır Rxn katının yüzeyinde olmasından dolayı RA=0’dır. Çünkü film kısmında rxn olmaz. Reaksiyon yalnızca kül filminde meydana gelmektedir. Yukarıdaki eşitlik Genel denklem yazılırsa:

Film tabaka durgun olduğundan Vx=Vy=VZ=0 (Çünkü akışkan hareketsizdir). b) A=O2 Sistemde üretilen yada tüketilen azot yoktur. z yönünde azotun akısı 0’dır.

Gaz akış yönleri birbirlerine göre ters olduğu için akılarda (-) işaret kullanılmaktadır. Bu değerler yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa akı eşitlliği: elde edilir. yA ve z için sınır şartları yazılarak integral alınır.

Örnek CO + ½ O2 CO2 reaksiyonu gerçeleşek olursa; Şekilden görüleceği gibi film tabaka kalınlığı içerisinde yukarıdaki reaksiyon gerçekleştiği için RA≠0 olur. O2 CO2 z=δ CO z=0 Kömür (saf C)

Örnek 3) Aşağıdaki çizim ağır hidrokarbon gazlarının katalitik bir yüzeye difüze olarak yüzeyde parçalanma reaksiyonu vermelerini göstermektedir. H 3 L z=0 H L Durgun film z=f Parçalanma ürünleri Ağır HK gazları

a) Katalizör yüzeyini düzgün kabul ederek uygun kabullerle kararlı halde genel kütle diferansiyel denklemlerini bu sistemi tanımlayan özel hale indirgeyiniz? b) Aynı işlemleri küresel katalitik yüzey için yapınız? c) Sadece H terimleri cinsinden H için molar akı ifadesini gösteriniz? Çözüm 3) Kartezyen koordinat sistemi kullanıldığında yalnızca yüzey dikkate alınır.

Kartezyen koordinat sistemine göre durgun film tabakasındaki kütle transferi: H’ın çıkaracağı gaz A olsun. Birikim 0’dır. (kararlı hal) Durgun film içinde reaksiyon yoktur. Yüzey düz olduğundan x ve y yönünde akı değişimleri 0’dır.

Yukarıdaki kabuller neticesinde: Film tabaka durgun olduğundan, yığın sözkonusu olmadığından hız değişimi ve hız terimleri 0’dır.

O halde; denklemin son hali: b)Küresel katalitik yüzeyde: H r δ L

Küresel koordinatlar için kullanılan genel eşitlik: Sistem kararlı olduğundan birikim=0 θ ve Φ terimleri de 0’dır. Reaksiyon yüzeyde meydana geldiğinden reaksiyon terimi 0’dır. Yukarıdaki kabuller dikkate alındığı zaman denklem aşağıdaki şekilde düzenlenebilir

Denklem: Küresel koordinatlar için kullanılan genel denklem:

c) K = Karışım NL,z=-3 NH, z Denklem:

Örnek 4) Bir argon difüzyon hücresi gazları gazların difüzyon katsayılarını ölçmek için kullanılan basit bir cihazdır. Saf A sıvısı hücrenin alt kısmında bulunmaktadır. Sıvıda çözünmeyen bir gaz A’nın buharını taşıyarak tüpün üst kısmından akmaktadır. İzotermal, izobarik şartlar altında A’nın evaporasyonu kararlı hal prosesidir. a) Kütle transferi için genel difüzyon eşitliği bu sistemi kanıtlayacak şekilde indirgeyin

Çözüm 4) a) A sıvısında çözünmeyen B gazı A’nın buharını taşır. b) A’nın Fick difüzyon kanunundan molar akısını yazıp, sınır şartları kullanarak diferansiyel eşitliği çözünüz? Çözüm 4) a) A sıvısında çözünmeyen B gazı A’nın buharını taşır. B z=z2 Silindirik sistem z=z1 Saf A sıvısı

Silindirik sisteme ait denklem: Kararlı halde birikim yoktur. r ve θ yönündeki akı değişimi 0’dır. Madde z yönünde taşınıyor z yönünde reaksiyon yoktur. Yukarıdaki işlemler sonucunda denklem:

b) A’nın Fick difüzyon kanunundan molar akısını yazıp, sınır şartları kullanarak diferansiyel eşitlik kurulabilir. B gazı A içinde çözünmediğinden z yönünde B’nin bir hareketi sözkonusu değildir.

İntegrasyon işleminde sınır şartları yerine yazılırsa akı denklemi: Başlangıçta A içerisindeki konsantrasyon, buharın doygunluk miktarıdır. Son aşamada z2’de buharlaşma duruyor z2’de A=0’dır.

Örnek 5) Bir soğuk su borusu etrafındaki sıcak nemli hava içindeki nem yoğunlaşmakta olduğu soğuk yüzeye sürekli olarak difüze olmaktadır. Genel diferansiyel denklemleri bu sistemi tanımlayan özel hale indirgeyiniz ve sistemin çözümü için kullanılması gereken sınır şartlarını belirleyiniz?

Soğuk su borusu çizilerek kütle transferi tanımlanabilir. Borunun etrafında sıcak hava yoğunlaşarak boruya doğru hareket ediyor. Durgun hava filmi δ r

Silindirik şartlar; Sistemde herhangi bir reaksiyon yoktur. Sistem kararlı haldedir, bu yüzden birikim=0’dır. Yayınım açısal ve eksenel yönde olmadığına göre denklem:

Açısal yöndeki akı değişimi 0 olur. Silindirik şartlarda ikinci denklem: Birikim terimi 0’dır. Yığın hareket katkısı yoktur. θ ve z yönlerinde konsantrasyon değişimi 0’dır.

Sistemde reaksiyon olmadığına göre denklem: Sınır şartları: (Çevre sıcaklığındaki havanın mutlak nemliliği) r=r+δ yA=yA∞ (Boru yüzeyindeki mutlak nem) r=r yA=yAo (T=To)

Örnek 6) Düzgün bir naftalin tabakası üzerinden hava akmaktadır Örnek 6) Düzgün bir naftalin tabakası üzerinden hava akmaktadır. Yüzeye dik mesafede hava akış hızı vx=ay olarak verilmektedir. Burada a bir sabit y ise yüzeye dik mesafedir. Konsantrasyon cinsinden genel diferansiyel denkliği sistemi tanımlayan özel hale indirgeyin? Çözüm 6) y akışkanlar mekaniğinden hız=0’dır. Yüzeyden uzaklaştıkça hız artar.

vx=ay akış hızına bağlı olarak gerekli ihmaller yapılır. Hava naftalin üzerinden geçerken süblimasyon olur. Naftalin buharlaşarak havaya karışır. vx=ay akış hızına bağlı olarak gerekli ihmaller yapılır. v∞ y Hava 2 1 Naftalin yüzeyi x vx CA yüzey z

Geometri: Kartezyen koordinat sistemi Sistem kararlıdır. A=Naftalin Birikim yoktur. z yönünde değişim olmadığından z yönündeki konsantrasyon terimleri 0 olur. Gelişmekte olan bir akış sözkonusudur. Bu yüzden hız yüzeye tam paralel değildir.

Gelişmiş akımda vy=0 olur. x yönünde: vx>>vy’dir. Gelişmiş akımda vy=0 olur. x yönünde: vy vz vx

x yönündeki difüzyon ters yöndedir x yönündeki difüzyon ters yöndedir. Çünkü ikinci konumda naftalin daha çok süblimleşir 1. konumdan daha çok madde olur. Konsantrasyon farkından dolayı madde 1. konuma hareket eder. Örnek 7) İnsan hücresinde O2 taşınımı ile ilgili yapılan bir çalışma August Krough’a nobel ödülü kazandırmıştır. Hücrenin silindirik kan damarlarını sardığını dikkate alarak oksijenin kandan hücreye

Transfer olurken hücre içinde yakılarak tüketildiğini ve bu tüketimin sıfırıncı mertebe reaksiyon olduğunu bulmuştur. Genel diferansiyel kütle denkliğini sistemi tanımlayan özel hale indirgeyin. Çözüm 7) RA=-m olsun Geometri: Silindirik. Sistem kararlıdır. Birikim=0 Hücre dokusu içinde vr=vθ=vz=0

z yönündeki konsantrasyon değişimi çok azdır. 0 alınabilir. Yığın hareketi yoktur. Damar Doku hücre CO2 kan O2 İncelen bölge

Konsantrasyon değişimi yalnızca r yönündedir. Denklem: