Eşitsizlikler Hasan KORKMAZ İzmir Fen Lisesi Tümevarım Eşitsizlikler Hasan KORKMAZ İzmir Fen Lisesi

Tümevarım (Eşitsizlikler) Çarpımları 1 olan, pozitif iki sayı en az kaç olabilir? Örneğin; 1/2 ile 2 ; 1/2 +2 =2,5 Öneğin; 2/3 ile 3/2 ; 2/3+3/2=13/6=2,16667 Öneğin; 21/22 ile 22/21 ; 21/22+22/21=2,002265 Acaba siz bu değeri daha da küçülten örnekler verebilir misiniz? Toplamı mümkün mertebe küçültmek için sayıları nasıl seçersiniz?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Çarpımları 1 olan, pozitif 3 sayı en az kaç olabilir? Örneğin; 1/2, 3/2, 4/3 ; 1/2+3/2+4/3 =3,3333 Örneğin; 11/12, 32/33, 9/8 ; 11/12+32/33+9/8 =3,011364 Acaba siz bu değeri daha da küçülten örnekler verebilir misiniz? Toplamı mümkün mertebe küçültmek için sayıları nasıl seçersiniz?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Çarpımları 1 olan, pozitif n sayı en az kaç olabilir? Toplamı mümkün mertebe küçültmek için sayıları nasıl seçersiniz?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Teorem: Çarpımları 1 olan, pozitif n tane reel sayının toplamı en az n dir. Yani;

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: 1. Adım: n=2 için ispat; Böylece; teorem n=2 için doğrudur.

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: 2. Adım: Teorem n-1 için doğru olsun; Yani;

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: 3. Adım: n için ispat: Bu n tane sayının hepsi de 1 ise toplamları n dir ve teorem bu özel durumda doğrudur.

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: 3. Adım: n için ispat: b) Bu n tane sayının hepsi de 1 değilse; en az biri 1 den küçük ve en az biri de 1 den büyük olmak zorundadır. Örneğin; ve olsun;

Tümevarım (Eşitsizlikler) 3. Adım: n için ispat (devam): Eşitsizliğin sol tarafına ile sayılarını ekleyelim ve çıkaralım;

Tümevarım (Eşitsizlikler) 3. Adım: n için ispat (devam): Sol taraftan negatif bir sayıyı silersek eşitsizlik kuvvetleneceğinden; bulunur. Hani Alkış..?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: İki pozitif reel sayının toplamlarının yarısı AO, çarpımlarının karekökü GO, ve 2 nin çarpmaya göre tersleri toplamına bölümü HO’yu hesaplayalım. Sonra bunları sıralayalım.

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: Örneğin sayılar 4 ve 9 olsun; Örneğin sayılar 6 ve 6 olsun; Küçükten büyüğe doğru sıralamayı nasıl yapmalıyız?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: Üç pozitif reel sayının toplamlarının 3 e bölümü AO, çarpımlarının küp kökü GO, ve 3 ün çarpmaya göre tersleri toplamına bölümü HO’yu hesaplayalım. Sonra bunları sıralayalım.

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: Örneğin sayılar 5, 8 ve 11 olsun; Örneğin sayılar 7, 7 ve 7 olsun; Küçükten büyüğe doğru sıralamayı nasıl yapmalıyız?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: Verilen örneklerden hareketle sizce, AO, GO ve HO arasındaki sıralama için; sıralamalarından hangisi daha uygun. Eşitlik ne zaman gerçekleşir?

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: Tanım: n tane pozitif reel sayının, toplamlarının n e bölümüne “Aritmetik Orta”, çarpımlarının n. dereceden köküne “Geometrik Orta”, n nin; sayıların çarpmaya göre tersleri toplamına bölümüne de “Harmonik Orta” denir.

Tümevarım (Eşitsizlikler) Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar: Yani; için, dir.

Tümevarım (Eşitsizlikler) Teorem: n tane pozitif reel sayının; aritmetik ortası AO, geometrik ortası GO ve harmonik ortası HO arasında; bağıntısı vardır. Yani ; için, dir.

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: Eşitsizliği iki parçaya ayıralım:

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: I: “n tane pozitif reel sayının çarpımları 1 ise toplamları n den büyük ya da eşittir” teoremi gereğince;

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: ( I devam) I: Bu eşitsizliğe, Aritmetik-Geometrik Eşitsizliği denir.

Tümevarım (Eşitsizlikler) İspat: II: sayılarına Aritmetik-Geometrik Eşitsizliğini uygulayalım. her iki tarafın çarpmaya göre tersini alalım: Böylece ispat tamamlanır. Nerede Alkışım…?

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm: Yani; bulunur.

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm: Eşitsizlikleri taraf-tarafa çarpalım:

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm:

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm:

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm:

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm:

Tümevarım ( Eşitsizlik Uygulamaları ) Soru: Çözüm: