Elektrik Devrelerinin Temelleri dersinde ne yapacağız? Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını öngörme akım ve gerilim Hatırlatma Teori oluşturken işe nasıl başlarız? Tanımlanmamış büyüklükler Aksiyomlar Sonra ne yaparız? Yeni büyüklükler için: Tanımlar Yeni sonuçlar için: Teoremler

Elektrik Devre Teorisi Tanımlanmamış büyüklükler Akım Gerilim i(t) [A] v(t) [V] Hatırlatma İ 1 (t) + _ v 1 (t) 1 2 uyumlu çift

Aksiyomlar 1. Toplu Parametreli Devre Fiziksel devrede her aletin uçlarındaki akım i(t) ve gerilim v(t) her t anında tam olarak tanımlanmışsa, devre toplu parametreli devredir. Ne demek? Kirchhoff’un Gerilim Yasası (1845) n düğümü olan toplu parametreli, birleşik bir devrede herhangi bir düğümü referans düğümü olarak seç. seçilen referans düğümüme göre n-1 tane düğüm gerilimi tanımla Önce biraz hazırlık k n-1 n e n =0 + _ + _ + _ + + _ _ e1e1 e2e2 e3e3 ekek e n-1 k. düğüm ile j. düğüm arasındaki gerilim farkı: v kj V kn-1 Hatırlatma

2. Kirchhoff’un Gerilim Yasası (KGY) Tüm toplu parametreli birleşik devrelerde referans düğümü keyfi seçilmek üzere tüm k, j düğüm çiftleri için, her t anında bağıntısı geçerlidir. 2. Kirchhoff’un Gerilim Yasası (KGY) Tüm toplu parametreli birleşik devrelerde tüm kapalı düğüm dizileri için, her t seçilen kapalı bir düğüm dizisi için düğümden düğüme gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır. Hatırlatma Teorem: Düğüm gerilimleri cinsinden Kapalı düğüm dizileri cinsinden KGY KGY

Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) Tüm toplu parametreli devrelerde, tüm Gauss yüzeyleri için her t anında Gauss yüzeyini kesen akımların cebirsel toplamı sıfırdır. 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) (Düğümler için) Tüm toplu parametreli birleşik devrelerde, her t anında, herhangi bir düğümden çıkan akımların cebirsel toplamı sıfırdır. 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) Gauss Yüzeyi + _ içi ve dışı tanımlı, sadece devre elemanlarını birleştiren bağlantıları kesecek şekilde çizilmiş yüzey Hatırlatma

KAY ve KGY toplu parametreli devrelerde geçerli KAY ve KGY elemanların özelliklerinden bağımsız KAY ve KGY ile elde edilen denklemler katsayıları 1,-1,0 olan lineer lineer, cebrik, homojen denklemler

Örnek 1-a) Şekildeki devrede 5 Gauss yüzeyi belirleyin ve KAY yazın. b) Tüm düğümler için KAY yazın. c) Tüm elemanların gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yazın. d) 3, 4, 5 düğümden oluşan ikişer tane kapalı düğüm dizisi belirleyin ve KGY’sını yazın L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York

Graf Teorisi Pregel Nehri

Leonard Euler ( ) 1736’da Königsberg’in yedi köprüsü problemini graf teorisinden yararlanarak çözdü

Bir graf nasıl tanımlanır? düğüm kümesi çizgi kümesi Elektrik devrelerine ilişkin çizeceğimiz graflarda çizgi yönlüdür

2-uçlu elemana ilişkin uç-grafı İ 1 (t) + _ v 1 (t) Sadece ok yeterli, neden? Tanım: (Ani Güç) [Amper] [Volt] [Watt] Ani güç, t anında elemanın bağlı olduğu devre tarafından elemana aktarılan güç

_ _ _ 3- uçlu eleman V 21 V 32 V 13 İ 1 (t) İ 2 (t) İ 3 (t) 3-uçlu elemana ilişkin uç-grafı Hangisini, nasıl seçeceğiz?

_ _ 3- uçlu eleman V2V2 V1V1 İ 1 (t) İ 2 (t) Referans nerede? 12 3 İ 1 (t) İ 2 (t) Referans 3 düğümü

_ + _ 3- uçlu eleman V1V1 V3V3 İ 1 (t) İ 3 (t) Referans nerede? Referans 2 düğümü İ 1 (t) İ 3 (t)

Referans nerede? 12 3 _ + + _ 3- uçlu eleman V2V2 V3V3 İ 2 (t) İ 3 (t) 12 3 Referans 1 düğümü İ 2 (t) İ 3 (t)

Bu graf gösterimleri ile birşeyler kayboldu, neler? Kaybolanları nasıl bulacağız? _ _ _ 3- uçlu eleman V 21 V 32 V 13 İ 1 (t) İ 2 (t) İ 3 (t) 2132 Kapalı düğüm dizisi için KGY yazalım G1G1 G 1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım

n-uçlu elemana ilişkin uç-grafı 1k n n- uçlu eleman İ 1 (t) İ k (t) 2 İ 2 (t) n-1 İ n-1 (t) n İ 1 (t) 12 İ 2 (t) n-1 İ n-1 (t) k İ k (t) Tanım: (Ani Güç)

2-kapılılar, çok kapılılar S 1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: S 2 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: 2-kapılıya ilişkin uç-grafı Tanım: (Ani Güç) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York

2- kapılı eleman içeren devre ayrık olmaz mı? S 1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: S1S1 Devre grafı: Verilen bir devre için devredeki her elemana ilişkin uç grafı çizilerek elde edilen grafa devre grafı denir. L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York

Örnek L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York

GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar Tanım: (Derece) Bir düğüme bağlı eleman sayısına o düğümün derecesi denir. Tanım: (Yol) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan G y alt grafına yol denir: G y ‘nin n çizgisi, n+1 düğümü vardır. G y ‘deki çizgiler e 1, e 2,...,e n düğümler d 1,d 2,....,d n+1 olmak üzere sırasıyla öyle numaralanabilirler ki e k çizgisinin düğümleri d k ve d k+1 olur. d 1 ve d n+1 düğümlerinin dereceleri bir diğer düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Birleşik Graf) Verilen G grafında herhangi iki düğüm arasında en az bir yol varsa buna birleşik graf denir.

Tanım: (Çevre) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan G a alt grafına çevre denir: G a birleşik bir graftır. G a ‘daki bütün düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Ağaç) Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan G T alt grafına ağaç denir: G T, G’nin tüm düğümlerini kapsar. G T çevre içermez. Tanım: (Dal) Ağaç’ın elemanlarına dal denir. Tanım: (Kiriş) G grafından G T çıkarıldığında geriye kalan alt grafa kirişler kümesi denir. Sonuç: n d düğümlü bir G grafında seçilecek dal sayısı n d-1 dir.