çıkış ANA SAYFA Fonksiyonun tanımı Denk kümeler Bir fonksiyonun grafiği Özdeş(birim) fonksiyon Bire bir fonksiyon Sabit ve sıfır fonksiyon Bileşke fonksiyon Örten fonksiyon İçine fonksiyon Ters fonksiyon Konularla ilgili test

Doğru Tasarımları İzleyin Ana Sayfa FONKSİYON A kümesi {Ali, Veli, Nuri} şeklinde çocuklardan oluşan bir küme olsun. B kümesi de {Ayşe,Fatma} şeklinde annelerden oluşan bir küme olsun. Bu iki küme arasında A dan B ye öyle bir eşleme olsun ki ; Birincisi her çocuğun bir annesi olacağından A kümesindeki bütün çocuklar eşlemeye katılacak İkincisi her çocuğun bir tek annesi olacağından (iki annesi olamayacağından) bütün çocuklar bir kez eşlemeye katılacak şekilde bir eşleme tasarlayın. Örneğin;{(Ali,ayşe),(Veli, Fatma),(Ali,Fatma)} gibi bir eşleme olamaz. Çünkü Ali’nin annesi hem Ayşe, hem de Fatma olamaz. Bu arada Nuri eşlemeye katılmamış! A B Yanlış Tasarı Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Doğru Tasarımları İzleyin Yanlış Tasarı

Ana Sayfa Venn şemasıyla Bu iki şartı sağlayan eşleme bir fonksiyonu ifade eder. Tüm bu eşlemelerin ifade ettiği bağıntılar bir fonksiyondur. O halde fonksiyon Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma Ali Veli Nuri Ayşe Fatma

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler FONKSİYONUN TANIMI A ile B boş küme olmasın. f bağıntısı A dan B ye tanımlanmış bir bağıntı olmak üzere; Eğer f bağıntısı: A kümesinde eşlenmedik eleman kalmıyorsa Yani; için en az bir y B öyle ki (x,y) f ve A nın her elemanını B nin yalnız bir elemanıyla eşliyorsa Yani; her x, y, z A için (x,y) f ve (x,z) f olduğunda y=z oluyorsa bu f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir   b)   f: A B veya A f B ile gösterilir. A B f f(A) Görüntü kümesi y=f(x) x. A kümesi tanım kümesidir. B kümesi değer kümesidir.

Ana Sayfa KOORDİNAT EKSENİ     x ve y koordinat eksenleri için x bayanlar ekseni y baylar ekseni olsun. Bayanlar ekseninde Ayşe, Nur ve Neriman, baylar ekseninde bu bayanların eşleri Ahmet, Can ve Ali bulunsun.Aşağıdaki eşlemeyi izleyin.   y (Neriman,Ahmet) Ahmet Can (Ayşe,Can) (Nur,Ali) Ali x Ayşe Nur Neriman

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler   BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ   Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için önce fonksiyonun elemanı olan (x,y) ikililerine koordinat sisteminde karşılık gelen noktalar belirlenir, daha sonra grafiği çizilir.Mesela;{(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,1)} fonksiyonunun grafiğini çizmek için önce eksende koordinatları belirliyoruz. Sonra sırayla bu noktaların üzerinden geçerek grafiği çiziyoruz. x

Yanlış Tasarı Ana Sayfa B A f BİRE BİR FONKSİYON A kümesi {Fahri, Cankat, Çağrı} şeklinde öğrencilerden, B kümesi de basket potalarından oluşsun.{kırmızı pota ,mavi pota, siyah pota}Her öğrencinin sadece bir potaya bir kez basket atabileceğini düşünün. A kümesinden B kümesine olan eşlemeyi f ile gösterelim. A B f Örneğin; yandaki eşleme istenilen eşleme olabilir mi? Fahri Cankat Çağrı Yanlış Tasarı

Ana Sayfa Bire bir Bire bir değil f Bire bir Fahri Fahri Cankat Cankat BİRE BİR FONKSİYON Fahri Cankat Çağrı Fahri Cankat Çağrı Bire bir Bire bir değil f “Bire bir” kelimesi size ne ifade ediyor? Bu örnekle bire bir ifadesini nasıl ilişkilendirirsiniz? Fahri Cankat Çağrı Bire bir

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler BİRE BİR FONKSİYON f: A B fonksiyonu için, A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Yani; Her x1,x2 A için x1=x2 iken f(x1)=f(x2) ya da f(x1)=f(x2) iken x1=x2 oluyorsa f bire bir dir. D C A B g f p. ç. t. s. a. b. c. d. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. g fonksiyonu bire bir değildir. f fonksiyonu bire birdir.

Yanlış Tasarı Ana Sayfa f ÖRTEN FONKSİYON Örneğin; A B A kümesi şehirlerden B kümesi bölgelerden oluşan bir küme olsun. Nasıl bir eşleme tasarlayabilirsiniz? (Her şehrin mutlaka ait olduğu bir bölgesinin var olduğunu unutmayın!) Örneğin; Her şehrin mutlaka bir bölgesi olacağından B kümesinde açıkta bölge kalmasın. A ={Trabzon,Rize, Eskişehir,Van} B={Karadeniz bölgesi, İçanadolu bölgesi,Doğuanadolu} olsun A B f Trabzon Rize Eskişehir Van Karadeniz İçanadolu Doğuanadolu Yanlış Tasarı

Ana Sayfa   A.    ÖRTEN FONKSİYON A B f Trabzon Rize Eskişehir İstanbul İzmir Antalya Van Karadeniz İçanadolu Marmara Ege Doğuanadolu Akdeniz f fonksiyonu örten bir fonksiyondur.Çünkü bölgesi olmayan bir şehir olamayacağından B kümesinde açıkta hiç eleman kalmayacaktır.

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler   A.      ÖRTEN FONKSİYON f: A B fonksiyonu verilsin. Değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa f’e örten fonksiyon denir. Yani f(A)=B ise f fonksiyonu örtendir. Bir f fonksiyonu örtense her y B için f(x)=y olacak şekilde en az bir x A vardır. A C D B f g 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. a. b. c. a. b. f fonksiyonu örtendir g fonksiyonu örten değildir.

Bir sonraki konu denk kümelerle ilgilidir. Ana Sayfa İÇİNE FONKSİYON A kümesi 2 kişi, B kümesi 3 tane koltuktan oluşan kümeler olsun.Her kişinin sadece bir koltuğa oturabileceği bir eşleme düşünün. Bir sonraki konu denk kümelerle ilgilidir. Bir sonraki konu denk kümelerle ilgilidir. Örneğin Elvan Asel Her olasılıkta bir koltuk mutlaka boş kalacaktır? Öyleyse bu eşlemeyi sağlayan fonksiyon içine fonksiyondur. Tanımı düşünün.

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler İÇİNE FONKSİYON f: A B fonksiyonu için değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa, yani, f(A)=B ise f’e içine fonksiyon denir. C A B g D f 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. a. b. c. d. a. b. f, içine fonksiyondur. g, içine fonksiyon değildir.

Ana Sayfa 1 f 2 1 2 3 Yanlış tasarı DENK KÜMELER Aralarında bire bir ve örten eşleme olan iki küme tasarlayın. A B 1 2 3 f 1 2 1. 2. 3. a. b. c. A B dir. Yanlış tasarı A ve B boştan farklı iki küme olsun. f: A B bire bir ve örten fonksiyon ise A kümesi ile B kümesi denk kümelerdir. Denk kümeler olan A ve B, A B ile gösterilir. A kümesi ile B kümesi denk kümeler ise eleman sayıları eşit midir?

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler DENK KÜMELER Bir baloda eşit sayıda kız ve erkek bulunmaktadır. Her erkek bir kızla dans etmek zorunda ise oluşan dans edenler kümesi aşağıdaki özelliklerden hangilerini sağlar? (şıkları sırayla tıklayın) Bire bir fonksiyon Örten fonksiyon İçine fonksiyon Fonksiyon olmaz doğru doğru Bir sonraki konu birim fonksiyonlarla ilgilidir. Bir sonraki konu birim fonksiyonlarla ilgilidir. yanlış yanlış Kız ve erkeklerin kümesine denk kümelerdir diyebilir miyiz? doğru EVET ......... HAYIR ........ yanlış

Konu ile ilgili örnekler Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler ÖZDEŞ (BİRİM) FONKSİYON Aşağıda f: A A fonksiyonunda için f(x)=x fonksiyonunu görüyorsunuz. Bu fonksiyon için ne söylenebilir? A f A 1. 2. 3. 1. 2. 3. f fonksiyonuna A da tanımlı özdeş fonksiyon (birim fonksiyon ya da etkisiz fonksiyon) denir. f(1)=1 f(2)=2 f(3)=3

SABİT FONKSİYON VE SIFIR FONKSİYONU Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler SABİT FONKSİYON VE SIFIR FONKSİYONU f, A B fonksiyonu için A kümesinin bütün elemanları B kümesinin yanlızca bir elemanı ile eşleşiyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Yani; için f(x)=c (c B) ise f sabit fonksiyondur. f, A B fonksiyonunda, için f(x)=0 oluyorsa, f fonksiyonuna sıfır fonksiyonu denir. A B f 1. 2. 3. -1. 0. 1. Bir sonraki konu bileşke fonksiyonlarla ilgilidir. Bir sonraki konu bileşke fonksiyonlarla ilgilidir. f, sabit aynı zamanda sıfır fonksiyonudur.

FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ Ana Sayfa FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ A kümesi {ahmet,hasan,mazlum} B kümesi {güner,ebru,asel} C kümesi {ev,araba}olsun. A ile B kümesi arasındaki eşleme “eş”i temsil etsin.(Yani ahmet’in eşi asel gibi) B ile C kümesi arasındaki eşleme de “mülk”ü temsil etsin.(Yani güner’in mülkü ev dir.)Venn şemasıyla gösterirsek; B C A f g mazlum Hasan Ahmet Güner Ebru Asel Ev Araba f(mazlum)=güner okunuşu “mazlum’un eşi günerdir.” f(hasan)=ebru okunuşu “hasan’ın eşi ebrudur.” f(ahmet)=asel okunuşu “ahmet’in eşi aseldir.” g(güner)=ev okunuşu “güner’in mülkü evdir” g(ebru)=araba okunuşu “ebrunun mülkü arabadır.” g(asel)=araba okunuşu “asel’in mülkü arabadır.” Devam et Devam et Devam et

FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ Ana Sayfa FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ B C A f g gof iki fonksiyonun bileşkesini göstersin. mazlum Hasan Ahmet Güner Ebru Asel Ev Araba gof gof(mazlum)=g(f(mazlum))=g(güner)=ev (f eşi, g mülkü temsil ediyorsa bileşkenin okunuşu “mazlum’un eşinin mülkü evdir.” gof(hasan)=g(f(hasan))=g(ebru)=araba Okunuşu “hasan’ın eşinin mülkü arabadır.” gof(ahmet)=g(f(ahmet))=g(asel)=araba Okunuşu “ahmet’in eşinin mülkü arabadır. Devam et Devam et Devam et NOT: Aynı şekilde fog yi okumaya çalışın. okunamadığını görüyor musunuz?

FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ Ana Sayfa FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ Bu örnekte f ve g yi “görüntü” kelimesi temsil etsin. Yani f(1)=4 okunuşu 1’in f altındaki görüntüsü 4 g(4)=1 okunuşu 4’ün g altındaki görüntüsü 1 B C A f g 1 2 3 4 5 6 1 2 3 gof gof(1)=g(f(1))=g(4)=1 okunuşu 1’in f altındaki görüntüsünün g altındaki görüntüsü 1 dir. gof(2)=g(f(2))=g(5)=2 okunuşu 2’nin f altındaki görüntüsünün g altındaki görüntüsü 2 dir gof(3)=g(f(3))=g(6)=3 okunuşu 3’ün f altındaki görüntüsünün g altındaki görüntüsü 3 dür NOT: Aynı şekilde fog yi okumaya çalışın. okunabiliyor değil mi?

FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ f:A B ve g:B C, x y=f(x), y z=g(y) fonksiyonları için A dan C ye z=g(y)=g(f(x)) ile tanımlı fonksiyona, f ile g nin bileşke fonksiyonu denir. “gof” ile gösterilir. gof: A C x (gof)(x)=g(f(x)) A B C g f z. z=g(y)=g(f(x))=(gof)(x) x. Y=f(x) gof

Şimdi bu eşlemenin tersini düşünelim: Ana Sayfa BİR FONKSİYONUN TERSİ A kümesi {Ali,Ahmet,Nuri} B kümesi{Ayşe,Aslı,Fatma} olsun.Aşağıdaki gibi eşleri temsil eden bir eşleme olduğunu düşünelim: A B f’e “eşi” adını verirsek eşlemenin okunuşu f(Ali)=Aslı okunuşu Ali’nin eşi Aslı’dır f(Ahmet)=Ayşe okunuşu Ahmet’in eşi Ayşe’dir f(Nuri)=Fatma okunuşu Nuri’nin eşi Fatma’dır. f Ali Ahmet Nuri Ayşe Aslı Fatma Şimdi bu eşlemenin tersini düşünelim: Şimdi bu eşlemeyi okumaya çalışın. Okunabildiğini görüyor musunuz? Tanım kümesi B kümesidir, diyebilir miyiz? B A Ayşe Aslı Fatma Ali Ahmet Nuri A kümesinde Nuri olmadığını düşünün. Tıklayın

Şimdi bu eşlemenin tersini düşünelim: Ana Sayfa BİR FONKSİYONUN TERSİ A kümesi {Ali,Ahmet} B kümesi{Ayşe,Aslı,Fatma} olsun.Aşağıdaki gibi eşleri temsil eden bir eşleme olduğunu düşünelim: A B f f’e “eşi” adını verirsek eşlemenin okunuşu f(Ali)=Aslı okunuşu Ali’nin eşi Aslı’dır f(Ahmet)=Ayşe okunuşu Ahmet’in eşi Ayşe’dir Ali Ahmet Ayşe Aslı Fatma Şimdi bu eşlemenin tersini düşünelim: Şimdi bu eşlemeyi okumaya çalışın. Tanım kümesinde Fatma’nın açıkta kaldığını ve eşlemeye katılamadığını görüyor musunuz? Bu ters eşlemeye fonksiyon diyebilir miyiz? O halde bir fonksiyonun tersinden söz edebilmemiz için Bazı şartların olması gerekiyor değil mi? B A Ayşe Aslı Fatma Ali Ahmet hayır

Test için hazırsanız tıklayın Ana Sayfa Konu ile ilgili örnekler BİR FONKSİYONUN TERSİ f fonksiyonu, A dan B ye tanımlanmış, bire bir ve örten fonksiyon ise fog=gof=I(birim fonksiyon) şartını sağlayan fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir. f - 1 ile gösterilir. fonksiyonunun grafiği f fonksiyonunun grafiğine y=x doğrusuna göre simetriktir. f- -1 y=x f - 1 A A B B f-1 f 1. 2. 3. .4 .5 .6 .4 .5 .6 .1 .2 .3 f Konular bitti. Konular bitti. Test için hazırsanız tıklayın

    Kesin olarak tanımlanmasa bile kümenin “iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğu” olduğunu biliyoruz. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.    

    A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A x B nin her alt kümesine A dan B ye bir ikili bağıntı denir. A x A nın her alt kümesine de A dan A ya bir ikili bağıntı denir. Buna kısaca A da bir bağıntı denir.

  AA ile B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A nın, ikinci bileşeni B nin elemanı olmak üzere oluşturulabilen tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve A x B ile gösterilir.

  x ve y gibi iki elemandan sırası önemli olmak koşulu ile oluşturulan (x,y) ikilisine, sıralı ikili denir.  

    f fonksiyonu x elemanına y elemanını karşılık getiriyorsa bu y elemanına x in f altındaki görüntüsü denir. y=f(x) şeklinde gösterilir.  

Hazırsanız başlayalım TEST Hazırsanız başlayalım ANA SAYFA

SORU 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? a) Her bağıntı bir fonksiyondur. b) Her fonksiyon bir bağıntıdır. c) Bağıntı ve fonksiyon aynı şeylerdir.

SORU 2: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere aşağdakilerden hangisi A dan B ye bir fonksiyonun tanımıdır? a) A nın bütün elemanlarını B nin tüm elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. b) A nın yalnız bir elemanını B nin her elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. c) A nın her elemanını B nin yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir.

SORU 3: Aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bir fonksiyondur? 1.2. 3. 4. 3. 4. 1.2. c) 3. 4. 1.2.

SORU 4: A={1,2} ve B={3,4} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi A kümesinden B kümesine bir fonksiyondur? a) b) c)

SORU 5: Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? a) Görüntü kümesi ile değer kümesi aynı şeylerdir. b) Görüntü kümesi değer kümesinin bir alt kümesidir c) Değer kümesi görüntü kümesinin bir alt kümesidir.

A B f SORU 6: Yandaki şekle göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 1. 2. 3. 4. 5. f(A) 6. a) A görüntü kümesi, B tanım kümesi, f(A) değer kümesidir. b) A tanım kümesi, B değer kümesi, f(A) görüntü kümesidir. c) A değer kümesi, B görüntü kümesi, f(A) tanım kümesidir.

SORU 7: ise aşağıdaki grafiklerden hangisi bu fonksiyonun grafiği olamaz.   -1 -1 4 4   c) -1 4

SORU 8: Aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bire bir fonksiyondur. 1. 2. 3. 4. 5. 6. b) 1. 2. 3. 4. 5. 6. c) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

A B SORU 9: A={ 2,4,6} ve B={5,9,13,15} olsun. f, A dan B ye bir fonksiyon olduğuna göre f(x)=2x+1 bire bir midir? 5. 9. 13. 15. 2. 4. 6. a) f bire bir dir. b) f bire bir değildir. c) Bir şey söylenemez

SORU 10: Aşağıdakilerden hangisi örten fonksiyondur? 1. 2. 3. 4. 5. 6. b) 1. 2. 3. 4. 5. 6. c) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

SORU 11: Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) Bir fonksiyonun fonksiyon olabilmesi için bire bir ve örten olmak zorundadır. b) Bir fonksiyonun fonksiyon olabilmesi için birebir veya örten özelliklerinden birine sahip olması gerekir. c) Bir fonksiyon hem birebir hemde örten özelliklerinden hiçbirine sahip olmayabilir.

SORU 12: Aşağıdakilerden hangisi içine fonksiyondur? b) a) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. c) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

SORU 13: Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? a) Örten olmayan her fonksiyon içine fonksiyondur. b) Bir fonksiyonun değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa bu fonksiyon içine fonksiyondur. c) Örten olmayan her fonksiyon içine fonksiyon değildir.

SORU 14: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinde A kümesi ile B kümesi denk kümelerdir? 1. 2. 3. 4. 5. 6. b) 4. 5. 6. 1. 2. 3. c) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

SORU 15: Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? a) A ile B kümesi denk kümeler ise eleman sayıları birbirine eşittir. b) A ile B kümesi denk kümeler ise elemanları aynıdır. c) A ile B kümesi denk kümeler ise aralarında bire bir ve örten bir eşleme vardır.

SORU 16: f: A B için f(x)= 0 fonksiyonu veriliyor SORU 16: f: A B için f(x)= 0 fonksiyonu veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) f sabit fonksiyondur. b) f sıfır fonksiyonudur. c) Her ikiside doğrudur.

SORU 17: Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? a) fog=gof dir. b) fog=gof dir. c) ho(gof)=(hog)of=hogof dir.

g: R R g(x)=x-1 olduğuna göre (fog)(x) aşağıdakilerden hangisidir? 2 SORU 18: f: R R f(x)=x g: R R g(x)=x-1 olduğuna göre (fog)(x) aşağıdakilerden hangisidir? 2 a) x - 1 2 b) x - 2x +1 2 c) x + x -1

SORU 19: Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? a) Her fonksiyonun tersi vardır. b) Bir fonksiyonla tersinin grafiği y=x doğrusuna göre simetriktir. c) Bir fonksiyonun tersi varsa bu fonksiyon bire bir ve örtendir.

y SORU 20: Yandaki şekilde verilen fonksiyonun grafiğinin tersi aşağıdakilerden hangisi olabilir? x c) a) b)

test bitti ANA SAYFA

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

DOĞRU

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ

YANLIŞ