Tacettin İnandı Olasılık ve Kuramsal Dağılımlar 1

Tanım 2  Olasılık kuramı rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdırastgelematematik İstenen durum sayısı / tüm durumların sayısı

3

4

5

6

Olasılık işlemlerinde 7  Toplama  Çarpma  Permütasyon  Kombinasyon

Kavramlar 8  Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney denir.  Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.  Olay: Örnek uzayın bir altkümesine Olay denir.  Ayrık Olay: İki olay aynı anda meydana gelemiyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir. Diğer bir ifadeyle kesişimleri boş küme olan olaylara ayrık olaylardenir.  Olasılık: Her olaya 0 ile 1 arasında bir gerçel sayı tahsis eden bir fonksiyondur. Olasılık fonksiyonunun belirtildiği örnek uzaya olasılık uzayı denir.

Basit olay; 9  Tek bir sonuç; Paranın bir kez atılması  Olay: Tura gelmesi Örneklem uzayı= T,Y

Olay 10  En az bir tura gelmesi  TT gelmesi  YY Gelmesi

11

Bileşik olay 12  Paranın iki kez atılması  En az bir tura gelmesi Örneklem uzayı= TT, TY, YY, YT

Örnek Uzayının Belirlenmesi 13  Ven şeması, ağaç diyagramı TT YT YY YT

Ağaç şeması Parattttyyytyy

15 Para atılması Venn ve A ğ aç diyagramı ile örneklem uzayı

Paranın iki kez atılması 16

Örneklem uzayı 17  S ile gösterilir  Olabilecek tüm durumların oluşturduğu kümedir  Sayma kuralı: Bir para 3 kez atıldığında evren uzayı nedir?

18

Temel İlkeler 19  Olasılık 0 ile 1 arasında değişir  Tüm basit olayların olasılık toplamı 1’dir  M, İmkansız olayın olasılığı, p (M) = 0  N, Kesin olayın olasılığı, p(N)= 1

Olasılık Kuramları 20  Ayrık olasılık kuramı sayılabilir örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örnegin: Zar atılması, küp deneyleri, iskambil kartlarını çekmek veya rastgale yürüyüş olaylarısayılabilirZarküp deneyleriiskambil kartlarınırastgale yürüyüş  Sürekli olasılık kuramı sürekli örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler.

Klasik olasılık tanımı 21  Sonuçları eşit olasılıklı, olayın görülme sıklığı için  A olayının görülme olasılığı P(A) A olayı içindeki sonuç sayısı / toplam sonuç sayısı n A /n

Örnekler 22  Bir paranın bir kez atılması ve T gelmesi  Zarın bir kez atılması ve tek sayı gelme olasılığı

Dağılımlar 23  Kesikli  Süreli

Kesikli Dağılımlar 24  Bernoulli dağılımı  Binomiyal dağılım  Poison dağılım  Uniform (tek biçemli) dağılımlar

25

Binom dağılımı 26

Örnek 27  Bir kutuda bulunan 10 tabletten 5 tanesi aspirindir. Bu kutudan yerine koyarak 3 tablet çekildiğinde 2 tanesinin aspirin olması olasılığı nedir?

28

Poison dağılımı 29

30

Geometrik Dağılım 31

Sürekli Dağılımlar 32  Bir rassal değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene “Sürekli rassal değişken” adı verilmektedir. Sürekli rassal değişkenin aldığı değerler sayılabilir olmayıp, gerçek sayılar eksenindeki bütün değerleri alabilir

33

34

35

Normal dağılım 36  Aritmetik ortalama, tepe değer ve ortancanın birbirine eşit  Tepe noktasında standart sapma 0  Sağ ve sol tarafları birbirine eşittir ve bu nedenle dağılım simetriktir  Eğrinin sağı ve solu sonsuza kadar uzanır, eğri tabanı kesmez  Eğrinin altındaki toplam alan 1 birim

Normal Dağılım  Normal dağılım şekilde görüldüğü gibi çan şeklinde bir dağılımdır. Dağılım aritmetik ortalama ve standart sapma parametreleriyle ifade edilmektedir. Dağılımın tanım aralığı -∞ ve +∞ aralığındadır.

Standart Normal Dağılım 38  Normal dağılımı kullanarak bazı olasılık değerlerini elde etmek çok zor ve zahmetli bir iştir. Bu yüzden elde edilen normal dağılımın ortalaması 0 a ve varyansı da 1 e eşitlenerek daha kolay işlem yapılması sağlanabilir. Bu işlem için kullanılan yönteme ise standart normal dağılım denir. Normal dağılımı  Daha önce belirtildiği gibi µ ve  ’ nın her farklı değeri için farklı bir normal dağılım vardır. Dolayısıyla µ ve  değerlerine dayanan sonsuz sayıda normal dağılım elde etmek mümkündür. Bu sonsuz sayıdaki normal dağılımı tek bir dağılımla ifade edebilmek için normal değişkenin bir dönüşüme tabi tutulur.

39

40  Normal dağılımda alınan verilerden: -%68 i (+1) ile (-1) -%95 i (+2) ile (-2) -%99 u (+3) ile (-3) standart sapma değerleri arasında yer alır

41

Kaynaklar 42 FARUK AŞIK ZEYNEP AKÇA MURAT Ş İ MŞEK