Tanım: Bir x 0  A = [a,b] alalım. f : A  R ye veya f : A -{x 0 }  R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x 0 } Cümlesine ait ve x 0 ’a yakınsayan her ( x n ) dizisi için (f(x n )) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L  R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f fonksiyonunun x 0 noktasındaki limiti denir ve şeklinde gösterilir. Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x 0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir. 1 2 x y Yandaki şekilde x=2 için fonksiyon tanımsız olmasına rağmen aynı noktada fonksiyonun limiti var ve 1’dir.

Örnek: Çözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x 3, x-3 0 olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim. bulunur. Sonuç: Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir.

1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve şeklinde gösterilir. x y. L. 2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve şeklinde gösterilir. x y L Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır. 1. Parçalı sürekli fonksiyonlar 2. Mutlak değer fonksiyonlar 3. İşaret fonksiyonlar 4. Tam değer fonksiyomlar bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır.

ÖRNEK 1: Yukardaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3’ün sağında ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik noktada limiti bulalım:

olduğundan limiti mevcut değildir. ÇÖZÜM:

ÖRNEK2: Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir?

NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz. ÇÖZÜM:

ÖRNEK1: Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz.

ÇÖZÜM: X -  1 +  1 - x x -(1 - x)

ÖRNEK2: Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limiti bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in limiti var mıdır?

ÇÖZÜM: X -   x x 2 +4 x 2 -4 x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır.

ÖRNEK1: Fonksiyonunun x = 3 noktasında limitini araştıralım. X -  3 +  x ÇÖZÜM:

NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır. Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur.

ÖRNEK2: Limitini hesaplayınız

‘dır. ÇÖZÜM:

Tam değer fonksiynu  x  R için x’den küçük olan en büyük tam sayıya tamdeğer x denir ve sembolüyle gösterilir. Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken oldığundan sağdan yaklaşırken aynı değer alınır. Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır. NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır. Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur.

ÖRNEK1:

ÖRNEK2:

ÇÖZÜM: Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım. X -2 2 x x + + -

LİMİT TEOREMLERİ: Tanımlı iki fonksiyon ve olsun. 1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir. dir. b)Sabit terim limitin dışına alınabilir. i) ii) iii) 2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir.

ÖRNEKLER:

Sonuç: 3. Sonuç:

ÖRNEKLER:

1) 2)

3)

Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz şeklindeki bir limitte i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a 1 /b 1 dir. Başka bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır. ÖRNEK: ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır. ÖRNEK: iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit dur. ÖRNEK:

ÖRNEK:

Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için eşitliğinden yararlanacağız. ÖRNEK:

İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi belirlenir. i) p(x)’in derecesi çift ise ii) p(x)’in derecesi tek ise dir yani sadece en büyük üslü terinim limitini almak yeterlidir.

ÖRNEK:

Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada süreklidir. i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olması ii) limiti olmalı iii) olmalıdır.

f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre: 1) olmak üzere.f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir. 2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir. 3) olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir. 4) fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir.

ÖRNEK: fonksiyonuŞeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olması için a ne olmalıdır.

ÇÖZÜM: noktasında tanımlıdır. i) ii) eşitliğinde a = 1 dir.

SORULAR:

Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.

İse ifadesinin değeri nedir?

X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan İse ifadesinin değeri nedir?

İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir

? 32 2 lim 0              xx xx x

?              xx xx x

1 1 y y x x fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur. fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.

x 2x-1 3 3

Olduğuna dikkat ediniz.

)()( lim...)( 0 2    h xfhxf xxxf h İfadesinin eşiti nedir?

)()( lim...)( 0 2    h xfhxf xxxf h İfadesinin eşiti nedir?