İÇİNDEKİLER: TÜREV KAVRAMI TÜREV ALMA KURALLARI FONKSİYON TÜREVLERİ TÜREV UYGULAMALARI

TÜREV KAVRAMI: Tanım:f:A B, y=f(x) fonksiyonu ve sürekli olmak üzere, limiti bir reel sayı ise;bu değere f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir. Bu f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi, veya sembolleri ile gösterilir. Dolayısıyla f fonksiyonunun a noktasındaki türevi; ( h>0 ) ‘dır

ÖRNEK:f:R R fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım. bulunur. ÇÖZÜM: fonksiyonu x =2 de süreklidir. Türev tanımından, dir. O halde, tür.

SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV: Tanım:A  R,a  A da sürekli ve f:A R fonksiyonunda: 1. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve şeklinde gösterilir. 2. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve şeklinde gösterilir. ise, f fonksiyonu a noktasında türevlidir ve dır. ise a noktasında türevi yoktur.

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ: Teorem:A  B,a  A olmak üzere; f:A B fonksiyonu a noktasında türevli ise,bu noktada süreklidir.Bu teoremin tersi olarak f fonksiyonu a noktasında sürekli değilse,türevsizdir de diyebiliriz. ÖRNEK: fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir? ÇÖZÜM:f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız, dolayısıyla süreksizdir.  x = -1 ve x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan f fonksiyonu bu noktalarda türevsizdir.

TÜREV ALMA KURALLARI:  Sabit fonksiyonun türevi:A  B, f:A B, f(x) = c ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi f ’(x) = 0 dır.Örneğin; f (x) = 5 ise, f ‘(x) =0 f (x) = -3 ise, f ‘(x) = 0 dır.  n  N+ için Fonksiyonunun Türevi:  n  N+ için f:R R, fonksiyonunun türevi; dir.Bu kural n negatif olsa da geçerlidir.Örneğin; dır.

 Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi: c  R ve f fonksiyonu, x noktasında türevli bir fonksiyon ise, dır.Örneğin;  İki Fonksiyonun Toplamının Türevi: f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f+g fonksiyonunun türevi, [f(x) +g(x)] ’=f ’(x)+g’(x) dır.yani her fonksiyonun ayrı ayrı türevi alınarak bulunur.Örneğin; ise, dır.

 İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi: f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f.g fonksiyonunun türevi, [f(x).g(x)]‘ =f ‘(x).g(x)+g ‘(x).f(x) dır.Örneğin; fonksiyonu veriliyor. dır.  Ikı Fonksiyonun Bölümünün Türevi: f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ve g  0 ise f/g fonksiyonunun türevi, dır.

FONKSİYON TÜREVLERİ  Bileşke Fonksiyonun Türevi: g,x te türevlenebilen; f, g(x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak üzere fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve dır. Bu işleme türevde zincir kuralı denir.Sonuç olarak, biçiminde verilen üslü fonksiyonun türevi, bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulanarak şeklinde bulunur.

ÖRNEK: 1- fonksiyonunun türevini, şeklinde buluruz. 2- fonksiyonuna göre f ´(1) nedir? türevinde x terine 1 yazarsak; buluruz.

 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri: f:R R,f(x) = sin x fonksiyonunun türevi f´(x) = cos x dir. f:R R,f(x) = cos x fonksiyonunun türevi f´(x) = -sin x dir. u x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere; f(x) = tan u dur. f(x) = cot u dur.

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ  MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ: f:A R, y=|f(x)| verilsin.a  A, f(a)  0 olmak üzere fonksiyonunun türevi; y`= f `(x)= -f `(x), f(a) <0 f `(x), f(a) >0 f(a)=0 ise,fonksiyonun bu noktadaki türevi olmayabilir.Bunu araştırmak için,fonksiyonun sağdan ve soldan türevine bakılır.Soldan ve sağdan türevler eşitse,fonksiyon bu noktada türevlidir.Aksi halde türevi yoktur.

ÖRNEK: fonksiyonu veriliyor. f``(-2) ve f``(1) değerleri varsa hesaplayalım.  x=-2 için fonksiyon sıfırdan büyük olduğundan aynen çıkar yani, dır.  x=1 için fonksiyon sıfıra eşittir.Dolayısıyla sağdan ve soldan türevlere bakılır. olduğundan f `(1) yoktur. ÇÖZÜM:

 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ: f:A R, verilsin.Eğer fonksiyonu a  A nokyasında sürekli ise,fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır. Sürekli değilse türevi yoktur. fonksiyonunda f(x)  Z ise süreklidir ve türevi sıfırdır.Fakat f(x)  Z ise sürekli olup olmadığına bakılır. Süreksizse türev yoktur.

 İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ: f:A R,y = sgn f(x) fonksiyonu verlsin.Eğer a  A noktasında sürekli ise,bu noktada türevi sıfırdır.Süreksizse türevi yoktur. y´= 0,f(a)  0 ise Yoktur, f(a)= ise dır.Örneğin; fonksiyonu veriliyor.f´(1) değerini bulalım. x=1 için ifadesinin değeri -6  0 olduğundan f´(1)=0 dır.

 KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ: Tanım:x ve y değişken olmak üzere,F(x,y)=0 denklemiyle verilen Bağıntılara kapalı fonksiyon denir.Kapalı fonksiyonların türevi hesaplanırken önce x sonra da y sabit alınarak türev bulunur. bulunur.

ÖRNEK: bağıntısı veriliyor. Bunun türevini bulalım. ÇÖZÜM:Bu bağıntının türevini bulurken önce x’e daha sonra da y’ye göre türev alıp,birbirine böleriz. buluruz.

 PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ: Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirine t parametresi ile bağlıdır. x=h(t) ve y=g(t) denklemlerinden t parametresi yok edilerek, x ile y arasında y=f(x) bağıntısı elde edilir.Buradan y nin x e göre türevi bulunur.

ÖRNEK: parametrik fonksiyonunun türevini bulalım. ÇÖZÜM: x= t – 2  t = x+2 değeri türevde yerine konulursa y´= 2(x+2) – 1= 2x+3 bulunur.

 TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ: u x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ: Bileşke fonksiyonda yazdığımız teoremden de yararlanarak logaritmik fonksiyonlar için şu sonuca varabiliriz; u,x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere; 1- 2-

ÖRNEK: 1-f(x)=ln(sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm: buluruz. 2-ln(sin y)+ln(cos x)-1= 0 ise dy  dx değerini bulunuz. Çözüm: buluruz.

 ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ: u, x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere; Örneğin; fonksiyonunun türevini bulalım. bulunur.

A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar 1) Her x 1, x2 x2 A için, x 1 <x 2 iken, f(x 1 )< f(x 2 ) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

2) Her x 1, x 2  A için, x 1 f(x 2 ) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

SONUÇ: f:[a,b]  R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır. ab f’(x) f(x) artan

Sonuç: f:[a,b]  R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir. Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır. f’(x) f(x) a b azalan

B) YEREL MAKSİMUM NOKTASI: Tanım: f:[a,b]  R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x 0  (a,b) ve  > 0 olsun. f fonksiyonu, (x 0 - ,x o + ) ) aralığında en büyük değerini x0 x0 noktasında alıyorsa, (x 0,f(x 0 )) noktasında bir yerel maksimumu vardır. f(x 0 ) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir. x 0 -  x o +  x0x0 f(x 0 ) ab Y=f(x) f ’(x) f(x) a x 0 b +- f(x 0 ) Maksimum

C)YEREL MİNİMUM NOKTASI: Tanım: f:[a,b]  R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x 0  (a,b) ve  > 0 olsun. f fonksiyonu, (x 0 - ,x o + ) ) aralığında en küçük değerini x0 x0 noktasında alıyorsa, (x 0,f(x 0 )) noktasında bir yerel minimumu vardır. f(x 0 ) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum değeri denir. Y=f(x) x 0 -  x o +  x0x0 ab f(x 0 ) f ’(x) f(x) a x 0 b +- f(x 0 ) Minimum

SONUÇ: a f(a) b f(b) c f(c) d f(d) y=f(x) f ’(x)>0 f ’(x)<0 Yerel maksimum f ’(x)>0 Yerel minimum

f:[a,b]  R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun: a b y=f(x) A B x1x1 x2x2   Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır. a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat edelim.

y=f(x) a b A B x1x1 x2x2   Bu teğetlerin eğimleri; m 1 = tan  =f’(x 1 ) ve m 2 =tan  =f’(x 2 )   tan  < tan   f’(x 1 ) < f’(x 2 ) ‘dir.Yani; x 1 0 ‘dır.

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: a b A B x1x1 x2x2   a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri; m 1 = tan  =f’(x 1 ) ve m 2 = tan  =f’(x 2 ) ‘dir.

a b A B x1x1 x2x2     tan  > tan  f’(x 1 ) > f’(x 2 ) ‘dir. Yani; x 1 f’(x 2 ) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.

SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)<0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur. f’’(x)< 0  Konkav(İç bükey) Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)>0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur. f’’(x)> 0  Konveks(Dış bükey)