Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik Tartılı Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik Tartılı Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar."— Sunum transkripti:

1 Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik Tartılı Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar – Mod – Medyan

2 I. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır. Ortalamaların Faydaları 1.Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir. 2.İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir. 3.Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya imkan tanır. 4.Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

3 Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta incelenir. 1.Analitik (Hassas ortalamalar) Verideki bütün değerleri dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap tarzına göre dört farklı şekilde elde edilir. 1.1. Aritmetik ortalama 1.2. Geometrik ortalama (G) 1.3. Harmonik ortalama (H) 1.4. Kareli ortalama (K).

4 Aritmetik ortalama serideki gözlem değerleri toplamının toplam gözlem sayısına oranıdır. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride X i : i. gözlem değeri f i : i. değerin frekansı m i : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı 1.1. Aritmetik ortalama

5 Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Nisan ayı yağışları (Kg) (X i ) 60 75 80 100 120 130 155 ∑X i =720

6 Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Parça üretim süresi(dk)(X i ) İşçi sayısı (f i ) f i.X i 12224 13565 1410140 157105 16464 Toplam28398

7 Örnek Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Görüşme süresi Görüşme sayısı (f i ) mimi fimifimi 0 - 2515 2 - 410330 4 - 6405200 6 - 8307210 8 - 10259225 Toplam 110670

8 Tartılı Aritmetik Ortalama Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride

9 Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Dersler Notlar (X i ) Kredi (t i ) tiXitiXi İstatistik703210 Matematik604240 Fizik503150 Kimya802160 Toplam260  t i =12  t i X i =760

10 Örnek Bir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna bu işletmede ortalama saat ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Saat ücreti (milyon) (YTL) İşçi sayısı (f i ) Ortalama kıdem (t i ) mimi fitifiti fitimifitimi fimifimi 1.00 – 1.40102.51.202530.012.00 1.40 – 1.60305.01.50150225.045.00 1.60 – 1.80509.51.70475807.585.00 1.80 – 2.001513.01.90195370.516.90 2.00 – 2.50518.02.2590202.511.25 Toplam1109351635.5170.15

11 Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler Tezgah lar Üretim miktarı (t i ) Kusurlu oranı (X i ) tiXitiXi A1000.033 B2000.0510 C500.010.5  t i = 350X i = 0.09t i X i = 13.5 - Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır. -Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır. -Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır. Örnek Bir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu tezgahlarının ürettiği mamul kütlesinin kusurlu oranını bulunuz.

12 Aritmetik ortalamanın özellikleri 1 - Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir. 2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin toplam değeri elde edilir. 3- Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı sıfır olur. 4- Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur. 5- Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir. 6- Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur.  X =  Y +  Z

13 2- Geometrik Ortalama (G) Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır. olup yazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır. Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.

14 ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; olup düzenlenirse, Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.

15 Tasnif edilmiş seride; logaritmik olarak; olur. Gruplanmış seri için; Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür. Geometrik bir diziye logaritması alınarak aritmetik diziye dönüşür.

16 Kusurlu parça sayısı (X i ) logX i 30.477 50.699 80.903 151.176 301.477  log X i = 4.732 Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz.

17 Örnek 1.10) Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. =13,918 G=13,918 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı (f i ) mimi logm i f i logm i 0 – 10550.698973.49485 10 – 13811.51.06068.4848 13 – 1510141.14611.46 15 – 201217.51.24314.316 20 – 405301.4777.385  f i = 40  f i logm i = 45.74065

18 Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla Kullanımı Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. Bir malın fiyatı için: Po: başlangıç dönemi değeri, Pn: n. Dönemin değeri, r : bir dönemlik değişim yüzdesi şeklinde olur.

19 Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı 10000 TL, 2003 yılı fiyatı 300000 TL olduğu bilindiğine göre; a)Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız b)2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz c)1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilir d)1999 yılı fiyatını tahmin ediniz e)Hangi yılda fiyatlar 50000000 TL olur? Çözüm P 1995 = 10000 P 2003 = 300000 n= 8 (2003-1995) Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53 b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir. P 2010 = P 2003 (1,53 )( 2010-2003 ) P 2010 = 300000(1,53) 7 = 300000(19,626) P 2010 = 5887800 TL olur.

20 Geometrik ortalamanın özellikleri 1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin çarpımı elde edilir. G N = X 1  X 2  X 3  X N G N =  Xi 2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları çarpımı 1’e eşittir. 3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur  (logXi - logG) = 0  logXi - NlogG = 0 4) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas değildir.

21 5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur. 6) Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. 7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.) XiXi logX i 30,477 90,954 271,431 811,908 2432,386

22 4. Kareli Ortalama (K) Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküdür.Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

23 Örnek: Bir otomobil servis istasyonuna günlük olarak gelen araçların dağılımı aşağıda verilmiştir. Araç sayısı (X i ) Gün sayısı (f i ) 1414 28432 3129108 41016160 5625150 Toplam∑f i = 40

24 Örnek Bir şehirdeki konutlarda elektrik enerjisi tüketimi üzerine yapılan araştırmada, 200 konut rasgele seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Aylık elektrik Tüketimi (Kwh) Konut sayısı (f i ) mimi fimi2fimi2 0 – 60 10 30 9000 60 – 100 20 80 128000 100 – 120 40110 484000 120 – 140 50130 845000 140 – 180 451601152000 180 – 250 352151617875 Toplam2004235875

25 Kareli ortalamanın kullanıldığı yerler Diğer ortalamaların kullanılmadığı durumlarda kareli ortalama kullanılabilir. Bir seride sıfır ve/veya farklı işaretli değerler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz, hesaplansa da mantıklı sonuçlar vermez. Eğer aritmetik ortalama da makul bir sonuç vermiyorsa kareli ortalama kullanılabilir. Kareli ortalama özel olarak sapmalar serisinin ortalamasında kullanılır. Sapmalar serisi verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarını veren seridir. Yani serisidir. Zira sapmalar serisinin toplamı sıfır olduğundan { = 0 }, bu serinin ortalaması kareli ortalama ile hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan ortalamaya standart sapma adı verilir. SPSS’te kareli ortalama işlemi yapılamamaktadır. Bu sebeple kareli ortalamayı Excel kullanarak hesaplayacağız. Analitik ortalamalar arasındaki ilişkiler Normal bir seride ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir büyüklük ilişkisi vardır. K >  X > G > H

26 Örnek: Bir işletmede gerçekleştirilen günlük üretim miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle; Aritmetik ortalamayı, Geometrik ortalamayı, Harmonik ortalamayı, Kareli ortalamayı bulunuz. Aritmetik ortalama: 137,63 logGeometrik ortalama: 2,105 Harmonik ortalama: 112,64 Geometrik ortalama: 127,36 Kareli ortalama: 145,53 K = 145,53>  X = 137,63 > G = 127,36> H = 112,64 olduğu görülür. Üretim (Kg) fifi mimi f i.m i f i /mimi2mi2 fimi2fimi2 logm i f i logm i 0 – 601030 3000,333390090001,4771214,771 60 – 1002080 16000,2564001280001,9030938,062 100 – 12040110 44000,3636121004840002,0413981,656 120 – 14050130 65000,38462169008450002,11394105,7 140 – 18045160 72000,28132560011520002,2041299,185 180 – 25035215 75250,16284622516178752,3324481,635 Toplam200275251,7756423587512,0721421,01

27 Analitik olmayan ortalamalar Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar. 1. Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

28 Mod = 5günMod= 6 gün Örnek:Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı 3 4 5 5 5 6 6 7 Ay sayısı 32 44 57 69 74

29 Gruplanmış seride modun hesaplanması Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. Yukarıdaki formülde; l 1 : mod sınıfının alt sınırı  1 : mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı,  2 : mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s: seride sabit olan sınıf aralığı

30 Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (YTL/gün)Öğrenci sayısı 0 – 0,530 l 1 = 1 0,5 – 150  1 = 100 – 50 = 50 1 – 1,5100  Mod sınıfı 1,5 – 270  2 = 100 – 70 = 30 2 – 2,520 s = 0,5

31 Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin a) Aritmetik (13,52)b) Geometrik (12,77) c) Harmonik (12,03)d) Kareli ortalamalarını (14,25) e) modunu bulunuz. (11,67) Üretim süresi Parça sayısı (f i )mimi fimifimi 5-947280,57149196 9-1310111100,9091211210 13-177151050,4672251575 17-21419760,2113611444 21-25223460,0875291058 Toplam273652,2455483

32 Modun Grafikle Gösterilmesi modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

33 Modun özellikleri Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

34 2. Medyan (Ortanca) Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına düşer. Medyan = 20,5 olur.

35 Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz. Çözüm: Medyanın serideki sırası Medyan = 18 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı 10210 ve daha az2 12312 ve daha az5 15415 ve daha az9 16616 ve daha az15 181018 ve daha az25 205 214 252 Toplam (N)36

36 Gruplanmış seride medyanın hesaplanması Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. l 1 : Medyan sınıfının alt sınırı N m : Medyan sınıfının frekansı S m : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

37 Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. sıradaki değer medyandır. Bu değer 700-800 sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır. Saat ücreti (Bin TL)İşçi sayısı 500 – 60010600 den az10 l 1 =700 600 – 70050700 den az60N/2=150/2=75 700 – 800  Medyan sınıfı40  800 den az  100  Ni= 60 800 – 100030N m =40 1000 – 150020S m = 800-700 = 100 Toplam150

38 Medyanın grafikle belirlenmesi Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir. Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi Kümülatif frekans dağılımıTers kümülatif frekans dağılımı Saat ücreti (Bin TL)fifi fifi 500 den az0500 den çok150 600 den az10600 den çok140 700 den az60700 den çok90 800 den az100800 den çok50 1000 den az1301000 den çok20 1500 den az1501500 den çok0

39 Medyanın grafikle gösterilmesi

40 Medyanın özellikleri 1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır.  Xi-medyan   minimum 5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

41 Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler 1- Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur.  X = medyan = mod 2- Sağa çarpık serilerde 3- Sola çarpık seride 4- Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır.

42 Örnek: Konutlarda tüketilen aylık elektrik ve su miktarları için aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Değişim katsayılarını bularak hangi grupta değişikliğin daha fazla olduğunu araştırın. Elektrik Tüketimi İçin: Değişim katsayısı: Elekt. Tük.(kw/h)Konut Say.(f i ) mimi f i.m i f i.m i 2 50-100107575056250 100-150201252500312500 150-200301755250918750 200-300152503750937500 300-5005400200800000

43 Su Tüketimi İçin değişim katsayısı; Bu verilere göre elektrik tüketiminin değişkenliği (DK=44,8) su tüketiminin değişkenliğine göre (DK=39.7) daha fazladır. Su Tük.(ton/h)Konut Say. mifi.mifi.mi 2 5-1510 1001000 15-25302060012000 25-354030120036000 35-45204080032000 45-65105555030250


"Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik Tartılı Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları